Catch up with 〜 は追いつく、という意味の熟語で受験の時に覚えたと思います。Let's catch up! は おそらく Let's catch up with each other! の略で、長い間会っていないのでお互いの距離をつめよう、という意味で、よもやま話をしてこの１０年あったことを話す、などのことを指します。こういう場合の決まり文句です。