What kind of car do you drive? ないしは What kind of car do you have? は文法的には全く正しく、意味は通じますが「どんなタイプの車にのってますか？」という丁寧すぎる言い方になってしまい実際の会話ではあまり使われません。日本語でも「どんなタイプの車にのってますか？」よりも「車何のってますか？」の方がよく使われるように、What do you drive? の方が口語的で普通の会話で使われる頻度が多いようです。また、口語英語は書き言葉より省略されることが多いのも日本語と同じです。What do you drive? は What kind of car do you drive? から kind of car を省いた文です。
この質問に対するこたえは。例えば「スカイラインです。」はI drive a SKYLINE.
のように a をつけます。I drive SKYLINE.
だと、SKYLINE という会社を経営しています、みたいな意味に聞こえてしまいます。