2004.11.21　馬場純雄
　　　　　　　　　　　　　　(C) SumioBaba　2004

　　　　　　　　　　　　　　　　　　[SB032]
　　　　　　MはM1,M2,M3,・・・の線形の重ね合わせではない

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　量子力学の不確定性原理および線形の重ね合わせについて考えて
みます。１個の素粒子は、「粒子」と「波」の中間の状態として表現され
ますが、

　　　　１つの「粒子」状態は、多数の「波」状態の重ね合わせ

であり、かつ、

　　　　１つの「波」状態は、多数の「粒子」状態の重ね合わせ

です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　１個の素粒子の位置座標xと運動量pの不確定性関係を、取り敢えず
一次元の問題として考えてみます。
　１個の素粒子の位置座標xが広がっている領域をx1,x2,x3,x4,x5,x6の６
つと考え、位置座標がそれぞれの領域内だけに広がっている状態を|x1〉,
|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉とします。運動量pの方も６つの領域p1,p2,p3,p4,
p5,p6を考え、この１個の素粒子の運動量pがそれぞれの領域内だけに
広がっている状態を|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉とします。
　まず、個々の|x1〉,|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉はどれも、運動量の方で見る
と、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉すべての重ね合わせだとします。

　　　　(1)　|x1〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ
　　　　(2)　|x2〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ
　　　　(3)　|x3〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ
　　　　(4)　|x4〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ
　　　　(5)　|x5〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ
　　　　(6)　|x6〉は、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉の重ね合わせ

　次に、位置座標xがx1,x2領域全体に広がっている状態は、|x1〉,|x2〉の
重ね合わせで表されますが、それらを重ねる時、|p4〉,|p5〉,|p6〉が打ち消 し
合って消滅し、|p1〉,|p2〉,|p3〉だけの重ね合わせになるとします。|x3〉,|x4〉
の場合や|x5〉,|x6〉の場合も同じだとすると、

　　　　(7) |x1〉,|x2〉の重ね合わせは、|p1〉,|p2〉,|p3〉の重ね合わせ
　　　　(8) |x3〉,|x4〉の重ね合わせは、|p1〉,|p2〉,|p3〉の重ね合わせ
　　　　(9) |x5〉,|x6〉の重ね合わせは、|p1〉,|p2〉,|p3〉の重ね合わせ

　さらに、位置座標xがx1,x2,x3領域全体に広がっている状態は、|x1〉,|x2〉,
|x3〉の重ね合わせで表されますが、それらを重ね合わせる時、|p3〉,|p4〉,
|p5〉,|p6〉が打ち消し合って消滅し、|p1〉,|p2〉だけの重ね合わせになるとし
ます。|x4〉,|x5〉,|x6〉の場合も同じだとすると、

　　　　(10) |x1〉,|x2〉,|x3〉の重ね合わせは、|p1〉,|p2〉の重ね合わせ
　　　　(11) |x4〉,|x5〉,|x6〉の重ね合わせは、|p1〉,|p2〉の重ね合わせ

　最後に、位置座標xがx1,x2,x3,x4,x5,x6領域全体に広がっている状態は、
|x1〉,|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉の重ね合わせで表されますが、それらを重ね
合わせる時、|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉が打ち消し合って消滅し、|p1〉だけが
残るとすると、

　　　　(12) |x1〉,|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉の重ね合わせは、|p1〉

となります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　不確定性原理の言っている事をイメージ的に表現してみました。|x1〉は、
素粒子の位置座標xがx1領域だけに比較的局所化した「粒子」に近い状
態ですが、これを運動量pの方で見ると、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉全部
という広い領域の状態を重ね合わせたものですから、

　　　　位置座標xが局所化すると、運動量pの不確定さが増す

ことを示しています。逆に|p1〉は、運動量pがp1領域だけに比較的局所化
した「波」に近い状態ですが、これを位置座標xの方で見ると、|x1〉,|x2〉,|x3〉,
|x4〉,|x5〉,|x6〉全部という広い領域の状態を重ね合わせたものですから、

　　　　運動量pが局所化すると、位置座標xの不確定さが増す

ことを示しています。6=1X6=2X3=3X2=6X1が、プランクの定数hに対応し
ます。
　しかもこの説明で面白いのは、個々の|x1〉,|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉の中
には、|p1〉,|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉のすべてが含まれているのに、|x1〉,
|x2〉,|x3〉,|x4〉,|x5〉,|x6〉のすべてを重ね合わせると、|p1〉だけが残り、
|p2〉,|p3〉,|p4〉,|p5〉,|p6〉のすべては打ち消し合って消滅する、という点で
す。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　さて、この説明が何の役に立つのかというと、脳と心の間にも、これとよく
似た関係が見付かるのです。
　私の脳Bを、B1,B2,B3,B4,B5,B6の６つの部分から成るとし、それらの領域
だけに随伴する心を、M1,M2,M3.,M4,M5,M6とします。私が知覚している外
界の状態も、W1,W2,W3,W4,W5,W6の６つの状態が量子力学的に重ね合わ
せられているとします。
　まず、個々のB1,B2,B3,B4,B5,B6の中には、外界についての情報が少しず
つしか含まれていないので、個々のM1,M2,M3.,M4,M5,M6の視点に立つと、
どれもが外界の状態をはっきり特定できず、W1,W2,W3,W4,W5,W6すべての
重ね合わせとしてしか知覚できないとします。
　ところがM1とM2を線形に重ね合わせると、外界の状態はW4,W5,W6が打
ち消し合って消滅し、W1,W2,W3だけの重ね合わせになるとしましょう。M1と
M2とM3とを線形に重ね合わせると、W3,W4,W5,W6が打ち消し合って消滅し、
W1,W2だけの重ね合わせになるとしましょう。さらにM1,M2,M3,M4,M5,M6の
すべてを線形に重ね合わせると、W2,W3,W4,W5,W6が打ち消し合って消滅し、
W1だけが残るとしましょう。そうすれば、M1,M2,M3,M4,M5,M6を線形に重ね
合わせるだけで、外界の状態は、W1,W2,W3,W4,W5,W6すべての重ね合わ
せから、W1だけの状態へと収縮するように見えます。つまり、

　　　　M1,M2,M3,M4,M5,M6を「非局所的相互作用」で融合したもの
　　　　がMである、などと考える必要は無く、M1,M2,M3,M4,M5,M6を
　　　　線形に重ね合わせたもの(独立した和)を、そのまま脳B全体
　　　　に随伴する心Mだと見なしても、外界の波動関数の収縮
　　　　　　　　W1+W2+W3+W4+W5+W6→W1
　　　　を説明できるではないか?

という訳です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　ところがそうはいきません。似ているようで、異なるのです。[SB031]で
挙げた例を考えてみます。
　物体PQが、

　　　　(|P+〉+|P-〉)(|Q+〉+|Q-〉)
　　　　　　　　=|P+〉|Q+〉+|P+〉|Q-〉+|P-〉|Q+〉+|P-〉|Q-〉

という４つの量子状態の重ね合わせになっているとします。
　私の脳の機能を、多数の物質粒子や光子の世界線が複雑に絡み合っ
た世界線ネットワークBであるとし、Bを２つの部分B1とB2が接合されてい
ると解釈します。そして物体PQの状態が4つのうちどれかを私が観測した
時、B1に「Pは+である」という情報だけが、B2には「Qは+である」という情
報だけが入ったとします。
　もし、B1だけに随伴する心M1が発生したとすると、

　　　　M1にとっての物体PQの状態は|P+〉|Q+〉+|P+〉|Q-〉　・・・〈1〉

です。もし、B2だけに随伴する心M2が発生したとすると、

　　　　M2にとっての物体PQの状態は|P+〉|Q+〉+|P-〉|Q+〉　・・・〈2〉　

です。そして、もしB=B1+B2全体に随伴する心Mが発生したとすると、

　　　　Mにとっての物体PQの状態は|P+〉|Q+〉　　　　　　　　・・・〈3〉

です。〈1〉と〈2〉をどんな重みを付けて線形に重ね合わせても、〈3〉にする
ことはできません。|P+〉|Q-〉と|P-〉|Q+〉を打ち消すことができないのです。

　　　　「Mが知覚する物体PQの状態」|P+〉|Q+〉は、「M1が知覚する
　　　　物体PQの状態」|P+〉|Q+〉+|P+〉|Q-〉と「M2が知覚する物体PQ
　　　　の状態」|P+〉|Q+〉+|P-〉|Q+〉の線形の重ね合わせで表現でき
　　　　ない

すなわち、

　　　Mは、M1とM2の線形の重ね合わせ(独立した和)ではない

のです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　******

　これは、論理積andや論理和orが、線形の重ね合わせで表現できない
事実と対応しています。A,B,Cの３つが0または1の値を取るとし、AとBの
論理積Cを

　　　　C = A and B = aA+bB

という線形に表せたとすると、A=B=1のときにC=1ですから、

　　　　1=a+b

A=1,B=0のときにC=0ですから、

　　　　0=a

A=0,B=1のときにC=0ですから、

　　　　0=b

これら３式は矛盾しており、３式を同時に満たすa,bは存在しません。論
理和orの方も同様です。
　M1は「|P+〉|Q+〉または|P+〉|Q-〉」を知覚しており、M2は「|P+〉|Q+〉また
は|P-〉|Q+〉」を知覚している訳で、この両者に論理積andを取ると、答は
見事|P+〉|Q+〉となり、Mの知覚になります。

　　　　1/(a+b)　は　(1/a)+(1/b) とは異なる

というのにも似ています。
　M1は「Pは+である」という情報だけを持ち、M2は「Qは+である」という
情報だけを持ち、両者は独立しています。一方Mは、統合された「１つの
心」でありながら、「Pは+である」「Qは+である」の両方の情報を持ってい
ます。

　　　　M: 「丸」と「四角」の両方を知覚している心
　　　　M1: 「丸」だけを知覚している心
　　　　M2: 「四角」だけを知覚している心

とする時、

　　　　Mは、M1とM2の独立した和(線形の重ね合わせ)ではない

というのと同じです。
　M1とM2とが独立している時、両方の状態は、M1+M2という「和」で表さ
れるような状態です。それに対し、M1とM2とが融合して、統合された「１
つの心」Mになっている時には、むしろM1XM2という「積」で表すべき状態
になっている事を意味しています。
　Mが外界について持つ情報が増えれば増えるほど、Mが知覚する外界
の状態は限定されていき、波動関数は収縮していきます。そこまでは量
子力学の常識ですが、「１つの心」Mの中に大量の情報が詰め込めると
いう事実、すなわち、Mは大量の情報を持ちながら独立したM1-Mnの総
和に分裂していないという事実こそ、

　　　　絶対に有り得ない事が起きている!!

と叫びたいくらい奇妙な事実だと思います。

以上