前のページで、20個の方程式を解かなければなりませんでした。

    Aa = b
 

これを逆行列を用いて系統的に解くことを考えましょう。
もうちょっとだけ簡単な例で見ていきましょう。 次の式を因数分解することを考えます。

    f(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 + 2xy + 3xz + 3yz - x - y - 2
 

2次式なので因数分解できるとすれば1次×1次となります。

    f(x,y,z) = g(x,y,z)h(x,y,z)
    g(x,y,z) = a1 + a2x + a4y + a7z
 

このとき、

    f(x0,y0,z0) = g(x0,y0,z0)h(x0,y0,z0)
    f(x1,y0,z0) = g(x1,y0,z0)h(x1,y0,z0)
    f(x0,y1,z0) = g(x0,y1,z0)h(x0,y1,z0)
    f(x0,y0,z1) = g(x0,y0,z1)h(x0,y0,z1)
    f(x2,y0,z0) = g(x2,y0,z0)h(x2,y0,z0)
    f(x1,y1,z0) = g(x1,y1,z0)h(x1,y1,z0)
    f(x1,y0,z1) = g(x1,y0,z1)h(x1,y0,z1)
    f(x0,y2,z0) = g(x0,y2,z0)h(x0,y2,z0)
    f(x0,y1,z1) = g(x0,y1,z1)h(x0,y1,z1)
    f(x0,y0,z2) = g(x0,y0,z2)h(x0,y0,z2)
 

が成り立てば、因数分解できることになるので、

    b1 | f(x0,y0,z0)
          ...
    b10 | f(x0,y0,z2)
    
    a | b は"aはbの約数"という意味
 

となる b があって、

    Aa = b
 

が成り立たなければならない。ここで A は、

都合により次数が低い順に並べ替えると、

上の4行と下の6行を分けると、

左から (a₁, a₂, a₃, a₄) の整数解があるような (b₁, b₂, b₃, b₄) を求め、そのときに右から得られる (b₅, b₆, b₇, b₈, b₉, b₁₀) が条件を満たすかどうかを調べます。 こうして得られた1次の式で割ってみて割り切れるかどうかを調べます。
以上は、1変数多項式の因数分解とほぼ同じ考え方です。

ほぼ同じと書きましたが、次の点に注意しなければなりません。
b₁, ... , b₄ は f₁, ... , f₄ の約数なので有限の組み合わせしか取りえないということでした。 f_i が0のときはどうしましょう。
このときは f₁, ... , f₄ が全て0にならないように、 x₀, x₁, y₀, y₁, z₀, z₁ の値を変えましょう。
最初は、

    (x0, y0, z0) = (0, 0, 0)
    (x1, y1, z1) = (1, 1, 1)
 

としておき、f₁ = 0ならば、

    (x0, y0, z0) = (1, 0, 0)
                 = (0, 1, 0)
                     ...
 

と変えて、f₁ が0にならない組み合わせを見つけます。
同様に f₂ が0にならないように x₁ を変える、 などします。
このとき必ず、

    x0 ≠ x1, y0 ≠ y1, z0 ≠ z1
 

となるようにします。 これは、上の4×4の行列の行列式が0でないための必要十分条件だからです。

今回この因数分解のプログラムを作るために、行列オブジェクトを作りました。 これで簡単に逆行列を求めることができます。 この行列の要素は有理数です。 そのために分数オブジェクトも作りました。

    有理数型行列オブジェクト
    分数オブジェクト
 

要素が分数のため桁落ちはないのですが、 あまり大きな数になると答えがおかしくなる可能性もあります。

以上の考え方をまとめて、3変数2次多項式の因数分解のプログラムを作りました。

+ x + y + z + x² + xy + xz + y² + yz + z²

テキストボックスに整数を入力してボタンを押すと、 因数分解の結果が表示されます。
係数が大きいと、b₁, ... , b₄ の組み合わせは有限とはいえ大きくなり、 計算に時間がかかる可能性があります。 組み合わせが1000より大きいときに警告を出し、 スクリプトを続けるかどうか判断してもらいます。