球と円錐の体積〜円柱３分身の秘密〜　　　　　2011. 6.19.〜

  円柱３分身の秘密に触れて、恵方巻の謎を解くまで。
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１、立方体（円柱）の体積と、四角錐（円錐）の体積。

　１つの立方体は、同形同大の３つの四角錐（陽馬）から、できている。
　このことから、四角錐１つの体積は、立方体の〔^１/_３〕になることがわかる。
　四角錐の体積

３で割る理由については、次に〔円錐の体積〕が問題になりますが、同様に説明したかった。

　１つの円柱は、同形同大の３つの円錐から、できている。
　このことから、円錐１つの体積は、円柱の〔^１/_３〕になることがわかる。

　傾いた円錐というより、辷（すべ）った円錐

２、忍法・分身の術�Cは、体積保存の法則にしたがうこと。

　１つの立方体（円柱）から３つの（円錐）を取り出すことができる。

　ほとぼりが冷めたところで、円柱と円錐の関係を独り立ちさせたい。このときにはどういうか。

　１つの立方体から四角錐３個を取り出すことができる。
　したがって、
　１つの円柱から円錐３個を取り出すことができる。

　しかし、１つの円柱から、２つ目、３つ目の円錐は取り出せないのが実情です。これはどうしてかというと、円柱の側面が曲面をなしているからです。このような〔かたち〕の制約は案外に厳しくて、円柱が３つないことには３つの円錐は取り出せないとしたものです。

�Cは、一番高等技術だろうが、それはいざやるとなると仕組みが非常に難しいと思われる。考えられる技術的方向性としては、安部晴明が土塊を材料として土人形をつくり、それに命を吹き込んで使い魔としたように、何らかの材料に人間の装いをさせるという方法が現実的だろう。

ドラゴンボールの天津飯は四人に分身したが、その分パワーが四分の一になっていた。
これは原子の配列を間引きしながら身体を構成し直すという屁理屈が考えられる。

他にも、西遊記における孫悟空が髪の毛で分身を作っていたなんてのもある。あれは"一瞬で細胞分裂を繰り返して人間体となった。だから本体よりは経験が少なく、頭も弱いという妙な辻褄も合い、結構納得してしまう。

　立方体が四角錐（陽馬）で３分身を作っていたなんてのもあります。 →
　３分身とも真四角な底面を備えているので、裏から見ると、立方体が３個あると思ってしまいます。
　もっとも、この技（わざ）は、正直にかさを縮めて質量を正しくしているので、いかがわしい「分身の術」を避けて、「砕身の術」と呼ぶのが適当かもしれません。
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　　　○分身円柱１号　　○分身円柱２号　　○分身円柱３号

　円柱は、３方に向かって、３体に分身したその分、〔体積〕が３分の１になっていたというのは、質量保存の法則 (ラボアジェ)が 「体積保存の法則」である場合です。
　分身円柱も、間引きされた直後は、スカスカの発泡スチロール状態で体面を保っていたとしても、〔体積〕はギュツと詰まっていないといけないので、どうしても一方に凝り集って元の３分の１の大きさに縮まります。問題はそのかたちの決め方ですが、３つともに同じかたちが望まれているとき、円錐になるのは至極当然のことといえます。

　これは恐れ入りました。
　１つの円柱から.無造作に３つの円錐を取り出すことができました。
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３．氷の表面は滑りやすいので、分身円柱は斜（シャ）に構えてしまう。

　円柱の「体積」を間引き（分身）しながら..........�@　　円錐の身体を「斜に」構成し直す.........�A

　�@において、直立した円錐は、�Aにおいて、斜に構えた円錐になっていますが、
　この間に起きる変化は、傾くというより、辷（すべ）るという運動ではないかと考えています。
　〔辷る〕ことについては、円錐に辷る能力があることに加えて、つぎの点が考慮されるべきです。

　幾何学的に定義された平面の摩擦抵抗はゼロ（０）　⇒　つるつるすべすべ　　滑りやすい

　左図は円錐１の絵ですが、できたての円錐は頂点という１点で正方形の下面に接しています。
　しかし、その頂点は、表面に接していても、決して固着しているのではないので、非常によく滑るスケートリンクの中央に放置されると、姿勢が不安定になって辷りだします。

　辷り運動は、円錐のかたちの変えてしまいますが、体積はすこしも変わらない。
（辷り運動が全体に平行移動であれば、体積を増やす要素も減らす要素も見当たらない。）

この円錐が、斜に構えた四角錐（陽馬のことです）に包まれると、四角錐３個が組み合わさって１つの立方体を構成します。
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ということは、
　円柱：３ の内にあり比が：１である円錐にも、「球の体積」のことが、当然に含まれているわけです。
ただし、
　表面積については、 球の表面：２ は 円柱の側面：２ に等しい、というのが実際的です。

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　四角いジャングルではないけれども、こちらにも立体的なリングがあります。）
　円柱３分身達に向かって、「もちろん君たちにも各別のサービス精神があるのだから、それぞれに格別のサービスをしてみたらどうだい。」と、私は言いたい。「円柱の体積を素っ気なく受け渡している現状は、イメージの膨らみが無くて、面白みに欠ける。」という批判は作者に向かっていうことですが。
　こうして醜く言い争っているところに、.......アルキメデスの助け舟が..........
　円錐、球、円柱の体積の比が、１ ： ２ ： ３ になるという事実は、とても美しい。
我々はこの美しい事実（注）を渡りに舟としたい。そこで、「円錐」を「半球」と言い換えるならば、
　半球、球、円柱の体積の比が、１ ： ２ ： ３ になるという事実は、とても美しい。

　立方世界の中心に球が君臨して、美しく華やかに円柱３分身。
　この話は、球と立方体の体積 さらに 似-牟合方蓋と陽馬３兄弟へと続きます。
　そこで、新しい分身円柱の構成を、新しいレシピを、予告編として記述しておきます。

　　円柱(本体)　　右腕_t　四分球_s　四分球_e　四分球_n　四分球_w　左腕_b

　　分身１号　　　右腕_t　−−−_s　−−−_e　−−−_n　−−−_w　左腕_b
　　分身２号　　　−−t　四分球_s　−−−_e　四分球_n　−−−_w　−−_b
　　分身３号　　　−−t　−−−_s　四分球_e　−−−_n　四分球_w　−−_b

　１号⇒双円錐１　　上面_t　−−_s　−−_e　−−_n　−−_4w　下面_b
　２号⇒双円錐２　　−−_t　南面_s　−−_e　北面_n　−−_4w　−−_b
　３号⇒双円錐３　　−−_t　−−_s　東面_e　−−_n　西面_4w　−−_b

　今はまさに、「球は、円柱３分身を遂行するために存在している。他には用はない。」という状況なので、遠慮は要りません。

　球は、円柱の側面を代表するものとして存在している。　⇒　球の表面積は、円柱の側面の面積に、等しい。

　面積という概念も、その数量も、それが表面に密着しているように、なるべく直感的にとらえたい。
　もし円柱の側壁を赤く塗るとしたら、球の表面に塗ったのと同量のペンキが要ります。
しかし、
　球の表面積を直感的方法で求めることは、難しい。
　（球の表面積が、球に外接する円柱の側面積に等しいことが言えればよい。）
　　　円と球の求積（直感的方法）　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

　球表面でもごく狭い地域においては、「円筒曲面の面積」との性質の相違も、克服できる程度のものになっているようです。

　〔ランベルト正積円筒図法〕の正しさを直感的に理解するには、どうしたらよいか。
　南極は、子午線＝経線上にあり、しかも赤道の下にある。そういうことがわかればよいと思う。

　一般に、地球上のあらゆる地点は、それ個有の赤道というべき大円を１本だけ持っているものです。
　ただし、北緯（南緯）０度上においては、あらゆる地点が唯１本の赤道を共有しています。
　また、北極点と、南極点は、個有の赤道を無数に持ち合っています。

　　経線はすべて大円であるが、緯線は（赤道以外）大円ではない。

　しかし、１本の緯線上においては、あらゆる地点が、個有の赤道を持っています。その大円の（本当の赤道に対する）傾きは皆同じです。これは、１本の緯線に１本の赤道（大円）が付いているようなものです。

棘（とげ）ある地点（＊）の投影

球表面と円筒面の相違を克服するために
ゴム帯によるルーズな面積測量

　　この広い野原いっぱい

　　咲く花を

　　一つ残らず　あなたにあげる

　　赤いリボンの　花束にして

（作詞；小園江圭子　作曲；森山良子　1967）

ということは、
　経緯が交わるところ、（地球上の）１億地点は、個別に保有している地面の面積が均一になっていたのです。一方、（円筒上の）１億地点は、もとより均等に配置されているのは当然です。

転車台

http://blogs.yahoo.co.jp/koutyan485_583/14370580.html

球の体積を直感的方法で求める。（例）

　この円柱は、立方体の外筒に厳しく包囲されて、身動きがとれない。ただし、回転軸を中心にしてコマのようにくるくると回ることができます。いわゆる回転体ですが、固体の中に密閉された内部の回転体というものは、円形を重ねたかたちをした可動域を自分の身体を張って確保しているので、可動域の容積＝回転体の体積です。
　回転体は常に回転しているとは限りませんが、回らなくなることはないでしょう。
　回転体が回転運動に耽っているとき、外部の物体は静止しているものと考えられますが、もし外部の物体が（回転体の回転軸を中心に）回転したとしても、回転体そのものの運動には何の影響も与えないという事実はあります。

　球の体積を直感的方法で求める。

　そのような円柱回転体の内部に、第二の可動域を開け拡げてフリーな立体を置くとします。「フリーな立体」というのは「回転軸の方向性を異にする立体」という意味です。
　したがって、この立体も回転体ですが、この立体のかたちはどんなかたちになるかというと、可動域の回転軸と回転体の回転軸の方向が異なるために、この立体のかたちは必ず球形になります。
　また、この立体（球）の体積は、円柱の ^２/_３ 、すなわち両腕の２倍になりそうです。

　私（球）のことを「円錐の使徒」と呼んでくれるのは嬉しいけれども、私は、じっと座っていただけで、何も仕事はしていません。目覚ましい活躍をしたのは、私の両腕ですよ。
　ただ、その両腕が、縦に、横に、活躍するたびに、行った先に体積を置いて、素寒貧で帰ってくるので、私の体積を半分半分にわけて移してやらないといけなかった。
　　はぁ〜 え〜湯じゃった　（「ゲゲゲの鬼太郎」における「目玉おやじ」のセリフ）
　自分の身体の水分100％を茶碗風呂のお湯にしたので、私自身の体積はまったく皆無になって、つまりは ３つの空洞の名義人になってしまいました。
　それでもって、私（球）の体積がどれほどのものか、およそ見当がつきますよね。

充実

　　空洞　　　空洞　　　空洞