円錐の体積計算 　　2011. 7.11.〜

球 と 錐の トポロジー 　　　　あゆみ（歩）  　四角錐の体積　四角錐を切り分けてわかる３で割る３つの理由 　円錐の体積 と 球の表面積　　円錐の体積計算 　球の体積　　似-牟合方蓋 と 陽馬３兄弟

円錐の個有体積

●＜■ 　⇒　円錐の大きさは四角錐よりも小さい。 　円錐の大きさについては、それが四角錐に包摂されている様子を見るだけにして、個有の体積は言わないようにしていました。右の例題は、そんな私が最初に取り組むには、不必要に難しすぎます。基本を示すという意味でも、ごく初歩的な問題にしてほしいので、つぎのように改めました。 　今有円錐、下周３尺、高１尺。問積幾何。 　但し、円周率（○/｜）は ３ とする。（注１）（注２） 　術曰、下周自乗、以高乗之、三十六而（にして）一。（注３） 　円錐の体積　Ｖ ＝ （３尺×３尺）×１尺 ÷ ３６ ＝ ９尺3 ÷ ３６ ＝ ２５０寸3 　答えていわく、２５０寸。 　〔図解〕　これは、解説（�@案此術）を忠実に再現しているつもりです。		淳風等按 ` 依密率 ` 以七乗之二百六十四而一 ゜ 亭也 ゜ �C 令径自乗者亦當以一百五十七之乗六百而一 ゜ 其説如圓 �B 円錐比於方錐 ` 亦二百分之一百五十七 ゜ 十二而一 ゜ �A 于徽術 ` 當下周自乗以高乗之 ` 又以二十五乗之九百四 而連除 ゜ 矣 ゜ 今求一圓 ` 復合十二除之 ゜ 故令三乗十二得三十六 高乗之 ` 合三而一得大錐方之積 ゜ 大錐方之積合十二圓 �@ 按此術 ` 圓錐下周以為方錐下方 ゜ 方錐下方令自乗 ` 以 術曰 ` 下周自乗 ` 以高乗之 ` 三十六而一 ゜ 之四十七 ゜ 淳風等按 ` 依密率 ` 為積一千六百五十六尺八十八分尺 于徽術 `當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三 ゜ 答曰 ` 一千七百二十五尺十二分尺之五 ゜ 今有圓錐 ` 下周三丈五尺 ` 高五丈一尺 ゜ 問積幾何 ゜
■大方の体積　　　　　　　　　　　　　　　■大方錐の体積　　　　　　　　　　　　　●円錐の体積 　　（|||尺 × |||尺）× |尺　⇒　|||||||||尺3 ÷ |||＝|||尺3 　　⇒　　　|||尺3 ÷ ||||||||||,|| ＝ |/||||尺3   .　　 　　　　　〔総合して〕　大方（底面９尺2・高１尺）の内に円錐３６個あり。 ....... ９尺3 ÷３６＝２５０寸3 （注１）　円錐の直径が１尺になるのがこつです。　徽術に拠る場合には、つぎのようにしてほしい。 　　　今有円錐、下周３丈１尺４寸。高１丈。　問積幾何。　答曰２６１尺３分尺の２。　但し、円周率（○/｜）は ３.１４ とする。　 しかし、�B円錐比於方錐、亦二百分之一百五十七。つまり、方錐１５７個に対して、円錐は２００個あるというのだから、図解は容易ではない。 （注２）　円周率（○/｜） ３ の至らなさを咎める前に、とても貴重な意見として再評価しておきたい。 　　　　これを算術（籌算）的にいえば、　□は |||| にして、○は ||| を数える。　また、■は ▲▲▲▲ にして、●は ▲▲▲ 。 　　　　　　　　　　　　　　 　　　正方形の数量を４本と数え取るのは当然です。ことがらをそのように把握すると、円の数量は３本ということになります。 　　　（正方形の辺４本の内から３本が寄り集って円をなしているという意見は、方向性としては決して間違ってはいない。） （注３）　 　三十六而一　/３６＝/（３）・（２）・（２）・（３） 　　（３）円周率は３。・（２）直径は半径の２倍。・（２）円の面積は２で割る。・（３）錐の体積は３で割る。 　３６を因数分解してみると、とても正しい公式になっていることがわかります。精密な値を知りたければ、 （３） に １５７/５０ （２２/７）を代入すればよい。

結論　

　円周率（○/｜） ３ はまことに英断といえます。これに対して、劉徽の １５７/５０ は正義を主張しているに過ぎない。

　

　　あゆみ（歩）