単位分数列のかたち

〔単位分数列〕は〔１の１分の１〕に始まる。

^{１　１　１　１　１　１　１　１　１　１

　―　―　―　―　―　―　―　―　―　―・・・・・・

　１　２　３　４　５　６　７　８　９　10}

　「いくつ分の１」という分数が順序よく並んでいる。これが〔単位分数列〕です。その一番最初の分数は〔１の１分の１〕です。これは約すと１になる「仮分数」だというので〔１〕と表されるのが普通ですが、私は、１がおのれを１つに分けてみたとき、「１の自分としてある」という意識。これを強調したくて、このように表しています。だいたい〔１〕と表してしまえば、１の気持ちはどうしても「私は数（自然数）なのだ」という意識に傾き、「１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、・・・」と数え挙げる行為の端緒をなしてしまいます。〔１分の１〕と表したときに、ようやく「私は分数なのだ」という気分が芽生えて、「〔２分の１〕、〔３分の１〕、・・・」と測り数え挙げる行為の端緒にもなるのではないでしょうか。
　したがって、〔１分の１〕なる１は、最大の単位分数であり、〔単位分数列〕の始まりであるといえます。このページでは、この考えがさらに推し進められ、〔単位分数の国〕という１つの領域が構想されます。そこでも１は一方の極端に位置しますが、彼あるいは彼女の自己限定的な大きさによって、〔単位分数の国〕の秩序が定まってゆくところが見られると思います。

〔単位分数列〕は〔１の∞分の１〕に終わる？

　自然数は、〔10〕の次も〔11〕〔12〕〔13〕と数え続けて、どこまでも順序よく数え挙げることができます。　・・・〔100〕・・・〔1,000〕・・・〔10,000〕・・・億、兆、京、・・・。隣に１の差をなして続くその数は果てしなく「限りが無い」。あるいは「無限大（∞）の数が有る」とも言う。

∞-9..∞-8..∞-7..∞-6..∞-5..∞-4...∞-3..∞-2..∞-1..∞

　単位分数の場合はどうでしょうか。単位分数も、〔10分の１〕の次は〔11分の１〕〔12分の１〕〔13分の１〕と測り数え続けて、どこまでも順序よく数え挙げることができます。　・・・〔100分の１〕・・・〔1,000分の１〕・・・〔10,000分の１〕・・・〔億分の１〕〔兆分の１〕〔京分の１〕・・・。（分母が）隣に１の差をなして続くその数は果てしなく「限りが無い」。あるいは「〔無限大（∞）分の１〕が有る」とも言う。

.1.....1.....1.....1.....1.....1....,1.....1.....1....1
――..――..――..――..――..――..――..――..――..―
∞-9..∞-8..∞-7..∞-6..∞-5..∞-4...∞-3..∞-2..∞-1..∞

　また落語で「寿限無。寿限無。五劫の擦り切れ。」と言うのはこの時かもしれない。
　しかし、この〔無限大（∞）分の１〕をもって〔単位分数列〕の幕は目出度く閉じられたと見るのには一抹の不安があります。その先には、まだまだ小さな単位分数たちが並んでいて、自体の大きさを限りなく零（０）に近づけてゆくからです（・・・・ → 0 ）。このことについては、つぎの分数計算をしてみれば納得されると思います。

　.1.......1......∞－(∞-1).......1
　――.－.――.＝.―――――.＝.――――
　∞-1.....∞......(∞-1)∞.....(∞-1)∞

　つまり、〔（∞-1）分の１〕と〔∞分の１〕とが（念のために）背比べをしたとして、身長差の厳正な結果は、やはり分数によって測り数えて表すのが適当なので、そうしたところ、その分数というのが、今までにない恐ろしく小さな単位分数でした。
　〔無限大（∞）分の１〕を「最小の単位分数」とする考えは、これでだいぶ難しくなったような感じです。「限りが無いことにも限りが無い」ということでしょうか。もっともこれは、この国にしかない無限地獄であり、慌てて〔自然数の総定員〕の拡大を要求するのは考えものです。やはり〔無限大（∞）分の１〕のところで、〔単位分数列〕は、端然と切り分けられていると見定めて、後列にある一抹の不安は取るに足りないとするのが良いと思います。これは、トカゲが（身を護るために）安易に切り捨てる尻尾のようなものです。
　〔無限大（∞）分の１〕をもって〔単位分数列〕の幕は目出度く閉じられている。
この考えには、構造的な理由があり、大きな利用価値があることも、あとでわかります。

　あゆみ（歩）

.　単位分数を棒の長さであらわす。

　（マイナスの分数棒も用意しました。）