四面どこでも九九表

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〔マイナス〕×〔マイナス〕⇒〔プラス〕　？
このわけを説明するために、
自然数の掛合せに限られていた九九表を、
整数（-,+）も掛合せられるようにしてみました。

四面どこでも九九表

　「九九」の数は自然数です。〔４掛ける３＝〕は「三四、十二」。あるいは、〔３掛ける４＝〕「四三、十二」によって、１つの答えを見ますが、
右上Ⅰ面で、④（▲）に③（）を掛けた、または③（）に④（▲）を掛けた〔１２〕を見てください。

これが整数になると、〔-４〕や〔-３〕もあるので、

この〔３掛ける４＝〕にも４つのタイプが生じます。

　（-４）×（+３）＝-１２、　（+４）×（+３）＝+１２
　Ⅱ、④（▲）に ③（）　Ⅰ、④（▲）に ③（）
　又、③（）に ④（▲）　又、③（）に ④（▲）

　（-４）×（-３）＝+１２、　（+４）×（-３）＝-１２
　Ⅲ、④（▼）に ③（）　Ⅳ、④（▼）に ③（）
　又、③（）に ④（▼）　又、③（）に ④（▼）

　こうして九九の掛算にも４つのタイプがあるのに応じて、私は、九九表を４面に拡張してみました。
　すこし残念なことに、普通の整数掛算には、こんな九九表は必要なさそうです。
　普通のやりかたでは、ひとまず記号と数字とを

分離しておいて、記号の組合せを見て結果の正負を判別するので、裸にされた数字は自然数のように扱われます。
　たとえば〔（+４）×（-３）＝-１２〕では、
記号（＋、－）を見合わせて結果（－）を判別するので、数字（４、３）は自然数のように扱われます。
　そこで、九九は「三四、十二」と唱えればよいわけです。この結果は１２ですが、判別した記号（－）を着せると、最終的に〔＝-１２〕の結果が得られます。
　要するに、整数の掛け算にはいっても、九九表は、右上のものが１面あれば十分です。（というより、掛け算を表面的に処理しようとした九九表の意図自体が没収されていますが。→右図）　ただ、「記号と数字を分離する掛け算ばかりでは詰まらない」と思う人は、４面の九九表を使ってみてください。

〔（-４）（-３）〕の答え〔＝１２〕は何処にあるのか？　そこへはどうやってゆくのか？

　普通の整数掛け算では、例えば〔（－３）×（－４）＝＋１２〕のとき、〔マイナス〕の３に〔マイナス〕の４を掛けたら、〔プラス〕の１２になることの理解が容易ではなく、「どうしてそうなるのか」納得のゆく説明がしばしば求められます。たしかに「火の無いところに煙は立たない」ところからすると、〔マイナス〕に〔マイナス〕を掛けたら〔プラス〕になるという言い方には、ぼおっとした自然の成行きとは感じられないものがあります。
　普通の整数掛け算は、「どうしてそうなるの」という質問に答えるかわりに、事実として「そうなっている」ことを示そうとします。

　〔３＝６＋（-３）、４＝８＋（-４）〕なので、
　〔３×４〕が〔＝１２〕であれば、〔｛６＋（-３）}{８＋（-４）}〕も〔＝１２〕...（１）であるとして、

　　｛６＋（-３）}{８＋（-４）}＝４８＋８（-３）＋６（-４）＋（-３）（-４）＝４８＋（ｰ４８）＋（-３）（-４）

　＝（-３）（-４）　　　　　（１）をかえりみて、　　（-３）（-４）〔＝１２〕

　これからしても、〔（-３）（-４）〕は〔＝１２〕になっている。
　こうして「そうなっている」という事実をしっかり受け止められれば、別にその由まではいらない。
　憶測ですが、だいたいこういうのが平均的な説明だとして、一般に、その理については多く説明するけれども、その由について説明することは少ない。

　　　　　　　　　　あゆみ（歩）

＋
│
│
（－）　　│　　（＋）
│
Ⅱ│Ⅰ
－ ─────Ｏ───── ＋
Ⅲ│Ⅳ
│
（＋）　　│　　（－）
│
│
－

九九表の意図自体が没収↑されている

＋
-15 　　　　│　　　　 +15

-16,-12,-８,-４,④,+４,+８,+12,+16

-９　　　　│　　　　 +９
│
-６　　　　│　　　　 +６
│
-３　　　　│　　　　 +３
Ⅱ│Ⅰ
－ ─(-)③────０──── ③ ─ ＋
Ⅲ│Ⅳ
+３　　　　│　　　　 -３
│
+６　　　　│　　　　 -６
│
+９　　　　│　　　　 -９
(-)
+16,+12,+８,+４,④,-４,-８,-12,-16
│
+15 　　　　│　　　　 +15
－

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　「四面どこでも九九表」の場合は、「どうしてそうなる」という由を多く説明します。
　といっても、「その１個の答えを見せている」というだけのことで、たいしたことではありません。
　〔４×３〕は「どうして〔＝１２〕になるの」かというときには、九九表（Ⅰ）を見せて、「
　④（▲）に③（）を掛けて、または③（）に④（▲）を掛けて、〔１２〕を見てください。
　〔４×３〕の答えはここにあります。」と言いましたが、

　〔（-４）×（-３〕は「どうして〔＝１２〕になるの」かというときには、九九表（Ⅲ）を見て、
　④（▼）に③（）を掛けて、または③（）に④（▼）を掛けて、〔１２〕を見てください。
　〔（-４）×（-３）〕の答えはここにあります。

　「この〔１２〕が〔プラス〕である」というところが由の説明ですが、
　これにはまず、
　「九九表とは、数列を〔４、８、１２、１６〕と縦にも横にも数えてゆけるもの」
という四面九九表を作る基本的な考え方があります。
　したがって、あと３面を継ぎ足した四面九九表も、やはりそのように、
〔-１６、-１２、-８、-４、０、４、８、１２、１６〕と縦にも横にも数えてゆけるものでありさえすればよい。
　九九の数列は、この信条に基づいて、〔マイナス〕方面に拡張されます。
　数列が伸びてゆく様子の記録は煩雑なので〔備考１〕に記しておいて、ここでは、実際に（紙の上に）四面九九表を作成する手順を説明します。
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　（九九表Ⅲ）

（九九表Ⅰ）
　　

▲に

を掛けた答えが

であるように、▲

に

を掛けた答えは

である。
　そうすると、九九の唱え方は一息に「マイナス五五二十五」という感じでしょうか。

　表Ⅲの枠の中にある転倒した文字はもちろん〔プラス〕の数字を意味しています。
　▼

に

を掛けた答えは

だというので、九九の唱え方も「五五二十五」で問題ないと思います。

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　〔マイナス〕×〔マイナス〕⇒〔プラス〕のわけ。最後は屁理屈に負けます。

方田以御田疇界域
今有田、広１５歩・従１６歩。問。為田幾何。答曰「１畝」。
又有田、広１２歩・従１４歩。問。為田幾何。答曰「１６８歩」
方田術曰「広従歩数、相乗、得積歩」。
　此積為「田冪」。凡広従相乗謂之「冪」。
.（『九章算術』（第１章）「方田」）

　たとえば「広４歩・従３歩」の田が有るときその面積はいくらかというと、方田術によれば、「広と従の歩数、４と３とを相い乗せて、積１２歩を得る」ことになりますが、このマニュアルでは（どれにどれを乗せるという）順序が指定されていないので、
　４に３を乗せ（四三）、また３に４を乗せて（三四）、「１２歩」を得る。　
④（▲）に③（

）を掛けて、または③（

）に④（▲）を掛けて、〔１２〕を見てください。

九九表（Ⅰ）の
（A_１）（▲）①～⑨行（→）の等差数列は、境界（０）を踏越えて、左向きに（←）伸びてゆき、上向きに（↑）新たな等差数列（：）を形成する。

（B_１）　また、（

）①～⑨行（↑）の等差数列は、境界（０）を踏越えて、下向きに（↓）伸びてゆき、右向きに新たな等差数列（・・）を形成する。

（A_２） 表Ⅱ（

）⑨～①行の新たな等差数列（↑）は、境界（０）を踏越えて、下向き（↓）に表Ⅲに伸びてゆく。（A_３）

（B_２） 表Ⅳ -①～-⑨（▼）行の新たな等差数列（→）は、境界（０）を踏越えて、左向き（←）に表Ⅲに伸びてゆく。（B_３）

（A_３）=（B_３）　下向き（↓）、左向き（←）、双方の等差数列はぴったり重なる。

		「④掛ける③の回廊」の様子を階段にして表現しています。
		「④掛ける③の回廊」の様子を階段にして表現しています。