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.　　残酷な陽馬のように円柱よ神話になれ・・・

　　　　ヱングヮイゲリオン新世紀

　　　　　　基本形　　　　　　　　　　　　　合蓋形
　前３面

　後３面

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.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あゆみ（歩）　
似-牟合方蓋と陽馬３兄弟　　　October 8.2011 〜　　　

はじめに

　『似-牟合方蓋』は、アルキメデスがいう『交差円柱』のことです。２本の円筒が十字に交差（交叉）して形成するひとつの共同体です。真四角の重なりが円球のまるみを帯びた、四面体の体積が、ちょうど立方体の〔３分の２〕に当る、クールな立体図形ですが、〔３分の２〕になることにしても簡単なようで難しい、非常に面倒臭いかたちだといえます。
　実は球際に強いグローブとして開発された.......中に球が詰められている........球の体積に最も近いこの四面体には「表面積が立方体の４側面に等しい」という性質がありまして、　表面積（４）×半径（０．５）÷３＝〔３分の２〕　という計算に私達を誘っています。九章算術においては、陽馬２つの体積に当ることが直ちに示されます（祖晅之解）が、私としては、究極の計算は、『似-牟合方蓋』のことを余程よく知らないと出来ないこの計算だと思っています。
　（面倒臭ついでに）、似-牟合方蓋（=合蓋）というかたちの成り立ちを、次第に明かされる秘密のいくつかをまじえて、年代記風に語ることから始めたいと思います。

動く円筒と変化する陽馬３兄弟

　牟合円蓋というかたちを最初に発見した人は、三国、魏（200?-265）の算術家、劉徽です。
　彼は、１寸の８棋による長２寸の立方体の内を構想の舞台にして、直径２寸・長さ２寸の円筒２つを交叉させて『合蓋』をつくりました。陽馬３兄弟のことをよく知っていた彼は、新しい分れのかたちが、体積において、彼らに相似していることに、なんとなく気づいていました。

　何以験之。取立方棋八枚。皆令立方一寸、積之為立方二寸。
　規之為圓囷、径二寸・高二寸。又復横因（規）之。
　則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆然似陽馬。圓然也。

　以来、２つの円筒は、壁に貼り付いたまま、立方２寸の城内に居候していたのですが、
　南朝、宋（420-479）の算術家、祖晅之の謀略にかかって、立方体の城を追われたという。
　このとき、祖晅之は、非情にも円筒２つに手をかけて、四半円筒８つに割り、１６つに切り裂いて、四方八方に遠ざけたといいます。その後、円筒の破片たちは、月夜の晩になると、立方体のまわりに集まり、元の一体に戻ろうとして、襲い来るという話です。

　　　黄陽馬８棋体　　　　　　　青陽馬８棋体　　　　　　　　赤陽馬８棋体

.　襲われる立方体（高さ２寸）の陣営は、小立方体（各１寸）が８つで８棋の体制になっていて、赤・青・黄の陽馬３兄弟が、各自８体に分身して、赤・青・黄の双四角錐をなしています。向って来る半円筒４つに直面するのは、側面にいる赤と青の陽馬たちです。赤組と青組に分れた半円筒たちは、前から後から、赤陽馬・青陽馬を押しこみながら立方体の奥深く進入し、終に完全な円筒（直径２寸、長さ２寸）２つをなすとともに、共同して牟合円蓋を形成します。

　劉徽が似-牟合方蓋を構想したときは、縦横とも完全な円筒が、立方体の中で、十字に交叉しました。したがって、縦横の円筒はそれぞれの回転軸の向きに移動していたと考えられます。
　祖晅之が改革を断行して後は、破片１６つが、８つに合わさり、４つに合わさる過程を経て、半円筒から縦横２円筒の再結成と交叉が、立方体の中で、同時におこなわるようになりました。したがって、半円筒は、こんな（⇉⋐⊠⋑⇇ ~ ⇉⋐⊠⋑⇇）ふうに、回転軸に対して横向きに移動してゆきます。

　　　　　劉徽は、合蓋の体積が立方体の ^２/_３ に当ることを夢にも疑わず、球の求積にも応用しています。

　ただ、自分の見当にハズレがありえない由縁をうまく説明することが出来なかったので、ちょっぴり懐疑的になりながら未来の研究者の助言を待つことにしました。（欲陋形措意、懼失正理。敢不闕疑、以俟能言者。）
　遺された難題を、祖晅之はいとも簡単に証明して、劉徽をギャフンといわせました。

　ある高さ（ｈ）の横断面に見られる縁側の面積（１−ｗ²）は、句股弦の法によるならば、床の高さ（ｈ）に従うので、その二乗（ｈ²）に当ります。そこで、同じ勢いで伸びてゆく３陽馬のかたちを借りて、Ｌ字状の縁側を、正方形（□）に描きなおすと、それは黄陽馬（^１/_３）の御座敷として見なおされます。
　したがって、外稘（合蓋の外）のかたちは、黄陽馬（^１/_３）の同体積変形（^１/_３）といえます。
　同時に、内稘（合蓋の外）のかたちは、赤陽馬（^１/_３）と青陽馬（^１/_３）を合せた同体積変形（^２/_３）といえます。

　なるほど。なるほど。まったく君の言うとおりだ。私もあのとき君のように言えればよかったのだ。
　立方体の腹に円を描いたのは私が先だけど、君の円にはかなわない。私の円規はただの円だけど、君が新しく描いた円の軌道は、幅（ｗ）と高さ（ｈ）を取分けている双子の正方形を抱えて、遊園地の観覧車のように回り続ける。

　その立方体をある高さ（ｈ）のところで横断します。その断面の間取りは半径１の四分円に規律されているので、御座敷の面積（ｗ²）と高さの二乗（ｈ²）を合せて１になる観があります。ということは、黄陽馬の、同じ高さ（ｈ）を見た断面積（ｈ²）を合せても１になるので、私達は、御座敷の面積を見積もらずして知ることになります。
　立方体積が３等分される形式としては、陽馬３つが対角線を中央にして隣りあうかたちが知られていましたが、あとひとつ........変形陽馬が楕円弧（の対角線）を中央にして隣りあうかたちが示されたわけです。

清く。正しく。美しく。

　劉徽は、３つの変形の内、黄陽馬の変形が一番まともだと思っていたので、そのかたちを取り出して観察したのですが、それがなんというか玉虫色に変色していたので、黄陽馬との同定は事実上困難でした。

 観立方之内合蓋之外、
 雖衰殺有漸而多少不揜判合総結、
 方圓相纏濃繊詭互不可等正。
（欲陋形措意、懼失正理。敢不闕疑、以俟能言者。）

　たしかに、例えば、黄陽馬の頂点と、変形黄陽馬の端線を見比べて、点と線を同じ意味のものだと判定するのは容易ではなく、かなりの度胸が要ります。
　しかし、こんなとき、熱心な人は、合蓋の内に眼を転じて、赤・青の変形を残念そうに見て廻るのではないでしょうか。四分円柱の断片に彼はなぜ眼を向けなかったのか。私にはそれが最大の謎でしたが、左の絵を見ているうちに、謎がようやく解けました。

　陽馬の御者であった劉徽は陽馬３原則を心得ていたとします。

　陽馬３原則を変形３陽馬に適用する場合、赤・青の変形は、第１条と第２条に関しては、共に同じかたち大きさをしているので初めから合格ですが、共に底面積（１）の基盤を変形黄陽馬に譲り渡しているので、第３条に関しては不合格です。いずれにしても見どころのないものに眼を向ける利益を彼は感じない。

　　三分立方則陽馬居一内棋居二可知矣

　合蓋の内に居る赤・青の変形は、四分円柱（半径１、長さ１）の一部分で、円筒曲面を含む四面体（鼈臑）です。
　体積は（^１/_３）になる風変わりな三角錐の４面を、３つの側面と１つの底面にわけて見てゆくことにします。

　側面　�@　かたちは、直角二等辺三角形.......表面積は（^１/_２）
　側面　�A　かたちは、四分円........表面積は（^π/_４）
　側面　�B　かたちは、四分楕円（長半径√２）.........表面積は（√２)・(^π/_４）

　底面　�C　かたちは、四分円筒曲面の一部分で、３辺に囲まれている。.........表面積は（１)ではないか。

　変なかたちをした底面については、表面積はいくつと応急には答えられないところを、「表面積は（１)ではないか」とやや焦り気味に答えていますが、これは、変形の体積（^１/_３）が「証明」されている現状に飽き足りない、現物の体積は現地で計算するに越したことはないという私の気持です。

　　　変形の体積　＝　（底面積×半径）÷３　　　　　但し、底面積は円筒曲面上にあるものとする。

　現地の公式にあてはまる底面積は（１)です。陽馬の底面積に由来する（１）です。一般に曲面の表面積は理解しにくいものですが、今はそんなでもない。変形の底面積が陽馬に等しいことが直感出来さえすればよい場合です。

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（陽馬は）底面が垂直な絶壁であるのに対して、 （変形は）底面が円周上にあるので、高くなるに従って、接線の傾き、つまり底面の傾斜が緩くなります。しかし、これに反比例するように横幅が減少してゆきます。
　高さの区切りを狭くもっと狭くすると、円筒曲面上にある微細な面積は、陽馬の底面の同じ高さのものに比べて、ひとつも変らなくなります。

　ただ、極端に狭いところでの直感をそのまま説明するのも気がひけるので、虚勢を張って大きく出ることにしました。「瞬間的な表面積」というのは、高さ０〜１まで〔横幅〕の梯子（はしご）を掛けるようなことです。

陽馬の底面　　

残酷な陽馬のように円柱よ神話になれ・・・

　赤・青陽馬の、高さ０〜１の間にある〔すべての縦断面〕を、〔卑小な底面の積重なり〕と見做し（本当は横断面ですが、高さ０〜１が寝ているので縦断面とします）、
　また赤・青変形の、半径０〜１の間にある〔すべての輪断面〕を、同様に見做したとき、
　赤・青変形の（半径０〜１の間にある）〔すべての卑小な底面〕の表面積は、赤・青陽馬の〔卑小な底面〕に、まったく同じであるので、
　それ（赤・青変形）は、赤・青陽馬の全体が水平移動して来たに違いない。

　最後の洞察の意味は、赤・青陽馬にあるものは赤・青変形にもあり、赤・青変形にあるものは赤・青陽馬にもある。それぞれの体積を構成する要素の間に「１対１の対応」が見られるので、お互いの体積は、計算して確めるまでもなく、まったく同じだということです。

　.
まとめ
　変形の体積が陽馬と同じであることは、祖晅之が合蓋の横断面積を通して解明していますが、

あらためて合蓋の表面積を通してアプローチしてみました。　

ヘタな喩えるなら、「タケコプター」に「どこでもドア」という感じですが、いずれにしても、球の体積を平面的に表現することになります。

　　球の体積　＝　○~○~○~○　÷　□~□~□~□~□~□　

あとがき

　このページは、球の体積（似-牟合方蓋と立方三分の計）の内容を、テキスト解読を中心に書き直して、円錐の体積（円柱３分身の秘密）に続けて見ていただくようにしたものです。

　先のページは、いろいろ勉強中のことを書き散らした結果、非常に見苦しいものになってしまいました。それでこの際フロントから引退して補欠に回りますが、それでも書き足りなかった発展的な課題をもうひとつ抱えていたので、最後にその（一寸法師の）ことについて少し述べておきます。

これからの算数教育においては，算数で学習したことを生活の中で直面した問題の解決に生かした
り，生活の中で算数の有用性が実感できたりするようになることが求められている。
http://www.saga-ed.jp/chouken/choukikenshuu_jigyou/chouken_report/h12/pdf/03kikunaga.PDF
発展的な課題というのはそのことです。ところで私達が今「算数で学習した」のは、陽馬のことでした。
　したがって、（陽馬）を生活の中で直面した問題の解決に生かしたり、生活の中で（陽馬）の有用性が実感できたりするようになることが求められいるわけです。
　これからのという。最近の算数教育には酷な話です。しかし、もっと昔の算数教育を、（陽馬）を生かしたり、（陽馬）を実感できたりした生活が全然なかったとはいえないので、もしあったとすればその実態を探し出して見せないといけませんが、私は、御伽草子の『一寸法師』の中にそういう生活が間違いなく見られるのではないかと考えています。（注１）　
　そう考える理由として、陽馬と一寸法師の栄えある共通点をひとつ発表します。

（九章算術）陽馬の背丈が１寸に限られている。　（御伽草子）一寸法師の背丈が１寸に限られている。

　１寸という陽馬の光を浴び、算数の光に照らされている。そういう一寸法師はただ小さくて可愛らしいだけのものとは限りません。陽馬を生かし、算数を生かしているものと言えます。

　（陽馬）がこのように（一寸法師）に生かされているのは有難いことです。しかし、算数が国語（おとぎばなし）に恩恵を与え続けるだけだと、オアシスの水もじきに枯れて、これからの算数教育も衰えてゆきそうな感じです。しぶとく長続きするためには、水の流れを逆にして、（一寸法師）を通して（陽馬）を実感できるというサイクルが必ずなければならない。このへんの事情は、御伽草子『一寸法師』のストーリーを追ってゆけば明らかになると思います。（注２）
　年代記でいうと「第八話　アスカ、来日」を

陽馬（縦・横・高さ１寸という立方棋の中に居た陽馬です）、来日 ⇒ 一寸法師

　皆さんは『一寸法師』の話を御存知だと思いますが、陽馬が来日して、『一寸法師』になったことを、どう思いますか？

　　　　　エヴァンゲリオン新世紀

（注１）
　当初は『竹取物語』を目標にしていましたが、球の体積のことまで話が拡がりすぎるきらいがあります。
　それを見れば、三寸ばかりなる人、いとうつくしうてゐたり。
　かたちを陽馬に限定して手短に話せばどうだろうかということで、『一寸法師』に注目しました。
　やがて十月と申すに、いつくしき 男子をまうけけり。
　さりながら生れおちてより後、せい一寸ありぬれば、やがて其の名を一寸ぼうしと名づけられたり。
（注２）
（陽馬）を生活の中で直面した問題の解決に生かしたりする..........　
　　○縫い針で刀をこさえる。　刀なくてはいかゞと思ひ、針を一つ うば に乞ひ給へば、取出したびにける。すなはち 麥稈 にて 柄鞘 をこしらへ、
　　○御椀の舟に箸の櫂。　　都へ上らばやと思ひしが、 自然 舟なくてはいかゞあるべきとて、又 うば に「 御器 と箸とたべ。」と申しうけ、
生活の中で（陽馬）の有用性が実感できたりする.........
　　○鬼に食われた一寸法師が（光になり）鬼の眼を通って脱出する。
　　　口より呑み候へば、目のうちより出でにけり。鬼申すやうは、「是こは曲者かな。」口をふさげば目より出づる。
　　○打出の小槌を振る度に背が高くなる。
　　○　まづ打出の小槌をらんばうし、「われ＼／がせいを大きになれ。」とぞ、どうと打ち候へば、程なくせいおほきになり、

　　　　 一寸法師の実体が光だったから、鬼の眼から飛び出した。