重畳
故
`
以等数
約之
ﾟ
¬以等数
約之
Lﾟ

即除也
ﾟ
其所
以¬相減殺L`者
`
皆等数之 		更相減損
`
求其等也
ﾟ
以等数
約之
Lﾟ		 術曰¬可半者
半之
ﾟ
不可半者
`
副置分母
・子之数
ﾟ
以
少
減多
`
先治諸分
ﾟ

.

.


おしはかる

差をみること
為数`亦同帰爾
ﾟ
法
・実
相推動
而
`
有
¬参差
Lﾟ故
`
為術者
`
分之四
Lﾟ

約而
言之
l`則¬二分之一也
Lﾟ

雖則異辞
`
至于
為数
繁
`
則難用設
ﾟ
有四分之二者
`
繁而
言之
`
亦可¬為
八
案
¬約分
Lﾟ
者
ﾟ
物之数量
不可悉全
`
必
以¬分
L`
言之
ﾟ
分之		 約分 之七Lﾟ 又有九十一分之四十九
ﾟ
問
¬
約之
ﾟ
得幾何Lﾟ

答曰¬
十三分 		今有十八分之十二
ﾟ
問
¬
約之
ﾟ
得幾何Lﾟ

答曰¬
三分之二
Lﾟ		 ・


頃七十五畝
l`
故
l`
以
乗之
ﾟ
即得畝数也
ﾟ


案
ﾟ
此術
¬
廣
・
従
`
里数
相乗
lﾟ
得積里
Lﾟ

方里之中
`
有三

 即畝数
Lﾟ		 里田術曰¬廣
・従
里数
相乗
lﾟ
得積里
lﾟ
以三百七十五
l`
乗之
`		 五十畝Lﾟ 又有田
ﾟ
廣二里
ﾟ
従三里
ﾟ
問¬
為田幾何Lﾟ

答曰¬
二十三頃 		五畝
Lﾟ		 今有田
ﾟ
廣一里
ﾟ
従一里
ﾟ問¬
為田幾何Lﾟ

答曰¬
三頃七十		 ・


此積為田冪
ﾟ
凡¬廣
・従
相乗Lﾟ謂之¬冪
Lﾟ

　

 方田術曰¬廣
・従
歩数
相乗
lﾟ
得積歩
Lﾟ		 六十八歩
Lﾟ		 又有田
ﾟ
廣十二歩
ﾟ
従十四歩
ﾟ
問¬
為田幾何Lﾟ

答曰
¬
一百

 今有田
ﾟ
廣十五歩
ﾟ
従十六歩
ﾟ
問¬
為田幾何Lﾟ

答曰¬
一畝
Lﾟ

 ・ 方田
`
以
`
御田疇
`
界域
ﾟ
 `

`

.

.

唐

李

淳

風

注

釈

これはカットしました

 `

`

.

.

晋

劉

徽

注

武英殿聚珍版

九章算術

巻一

　

１

　

　　　出典；中國科学技術典籍通彙　数学巻１　河南教育出版社　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あゆみ（歩）に戻る
　　　方田、田疇を御（ぎょ）し、域を界（さかい）する。
　　　有（あり）と為（なす）と也（なり）。　自信のある答は、「３頃７５畝でございます」ではなくて、「３頃７５畝になります」というべきでしょう。
　　　物の数量が１つに満たないときには、（小数ではなく）、必ず分数をもって、これを言う。
　　　副置分母・子之数。　算盤の脇に算木を置いて別に計算する。
　　　以少減多、更相減損、求其等也。　例えば、175-112=63. 112-63=49. 63-49=14. 49-14=35. 35-14=21. 21-14=7. 14-7=7. 7-7=0.
　　　この結果、175分の112においては、７が等数（約数）であることが知られ、25分の16に約されました。

実
如法而
一
Lﾟ		 減分術曰¬
母互乗子
ﾟ
以少
減多
ﾟ
余為実
ﾟ
母
相乗
而
`
為法
ﾟ		 分之五
Lﾟ		 又有四分之三
ﾟ
減其三分之一
ﾟ
問¬
余
`
幾何Lﾟ

答曰¬
十二		 五分之三十一
Lﾟ		 今有九分之八
ﾟ
減其五分之一
ﾟ
問
¬
余
`
幾何Lﾟ

答曰¬
四十		 ・ 其母同者
`
直相従之
Lﾟ
皆従此
例
ﾟ
以等数
`
約之
ﾟ
即得
ﾟ
知
l 
所謂¬同法
而
為母
ﾟ
実余為子
Lﾟ
今欲求其実
lﾟ
故
斉其子
ﾟ
又
`
同其母
ﾟ
令如母而
一
ﾟ
其余
`		 実
如法而
一
ﾟ
不満者
`
以法
命之
ﾟ
乗子為率
ﾟ
之
ﾟ此算之綱紀乎
ﾟ其一術
者
`
可令
l 
母
l 
除
`
為率
ﾟ
率
無往而
`不理焉
ﾟ乗
l`
以散之
ﾟ約
l`
以聚之
ﾟ
斉
・
同
l`
以通
之術
L`
要矣
ﾟ錯綜度数
`動之
`
斯諧
ﾟ
其猶佩觿
`
解
・結
`
而相従也
ﾟ
近而殊形
`
知¬雖同列
L`
而相違也
ﾟ
然則¬斉同
数
ﾟ
同類者無遠数
ﾟ
異類者
無近遠
ﾟ
而通体
ﾟ
知¬雖
異
位
L`
子與母
`斉勢
`
不可失本数也
ﾟ
方
`
以類
`
聚物
`
以群
`
分
母相乗L`
謂之¬
同
Lﾟ

同者
`
相與通同
`
共一母也
ﾟ
斉者
`
所ｌ以通之
ﾟ
通之
`
則可併也
ﾟ
凡母互乗子謂之
¬斉
Lﾟ
¬群
雖則麤細有殊
`
然其実一也
ﾟ
衆雖錯雑非細非会
`
乗而散之
`
¬母互乗子
L`
約而言之者
`
其分
麤
ﾟ
繁而言之者
`
其分細
ﾟ 		合分術曰¬
母
互乗子
`
併
l`
以
為実
ﾟ
母
相乗
而
`
為法
ﾟ

　

 得幾何Lﾟ

答曰¬
二
`
六十分之四十三
Lﾟ		 又有二分之一
`三分之二
`
四分之三
`
五分之四
ﾟ
問
¬
合之
` 		答曰¬
一
`
六十三分之五十
Lﾟ		 又有三分之二
`
七分之四
`
九分之五
ﾟ
問
¬
合之
`
得幾何Lﾟ 		分之十一Lﾟ
 今有三分之一`
五分之二
ﾟ
問
¬
合之
`
得幾何Lﾟ

答曰¬
十五		 ・ ２

実如法而一。　実、法の如くして、一。　例えば４/３を、＝３/３＋１/３＝１＋１/３。　１/３は、不満者、以法、命之。です。

一銭二十一分銭之四
Lﾟ		 今有七人
ﾟ
分
八銭三分銭之一
ﾟ
問
¬人得幾何
Lﾟ

答曰¬人得		 ・ 平実
l`
各得其平
ﾟ		 以平実
減列実
ﾟ
余約之
ﾟ
為
所減
`
併所減
`
以益于少
ﾟ以法命
¬
以列数
乗
Lﾟ

同
`
斉
ﾟ
此当
¬
副併列数
`
為平実
Lﾟ

若
l 
然
`
則重有分
l`
故
`
反
ﾟ
 以列数
乗
ﾟ
未併者
`
各自為列実
ﾟ
又
`
以列数
乗法
ﾟ
¬母
相乗
`
為法
Lﾟ

知
l 
亦以斉
l 
其子
`
又同其母
ﾟ		 副併列数
`
為平実
ﾟ
母
相乗
而
為法
ﾟ
斉其子也
ﾟ		 平分術曰
¬
母互乗子
ﾟ		 併
l`
以益二分之一而
`
各平于三十六分之二十三
Lﾟ		 何而
`
平
Lﾟ

答曰
¬
減
l 
三分之二者
`
一
ﾟ
四分之三者
l`
四
ﾟ		 又有二分之一
`
三分之二
`
四分之三
ﾟ
問¬減多
`
益少
ﾟ
各幾		 併
l`以益三分之一而
`
各平于十二分之七
Lﾟ		 何而
`
平
Lﾟ

答曰
¬
減
l 
四分之三者
l`
二
ﾟ
三分之二者
l`
一
ﾟ
 今有三分之一
`
三分之二
`
四分之三
ﾟ
問¬減多
`
益少
ﾟ
各幾 		・ 実
如法而
一
ﾟ
即相多也
Lﾟ		 課分術曰
¬
母互乗子
ﾟ
以少
減多
ﾟ
余為実
ﾟ
母
相乗
而`
為法
ﾟ 		曰¬
二十一分之八
`
多
ﾟ
多一千五十分之四十三
Lﾟ		 又有二十一分之八
`
五十分之十七
ﾟ
問¬孰多
ﾟ
多幾何
Lﾟ

答		 之八
`
多
ﾟ
多六十三分之二
Lﾟ		 又有九分之八
`
七分之六
ﾟ
問¬孰多
ﾟ
多幾何
Lﾟ

答曰
¬
九分		 ¬二十五分之十六
`
多
ﾟ
多二百分之三
Lﾟ
 今有八分之五
`
二十五分之十六
ﾟ
問¬孰多
ﾟ
多幾何
Lﾟ

答曰
 ・
子斉
lﾟ
故
如母而
一
ﾟ
即得也
ﾟ
斉
lﾟ
故
可相減也
ﾟ
¬母
相乗
而
`
為法
L`
者
`
同其母也
ﾟ
母同
`
¬母互乗子
L`
者
`
知
ｌ
以斉
ｌ
其子也
ﾟ
¬以少
減多
L`
者
`
知		 ３

.

.

.

.
←
知らしめる
？

同、斉。　分母を相乗して、分母を同数に揃えると共に、分子に互乗して、分子の１単位を等しく（斉）する。いわゆる「通分」です。


曰¬三十五分斤之十二Lﾟ

其為之也
ﾟ
当斉
ﾟ
其金
・
人之数
`
五匹
ﾟ直金三斤
ﾟ
今売馬四匹
ﾟ
七人
分之
ﾟ
人得幾何
Lﾟ

答
当如経分術
ﾟ
以十二斤金為実
ﾟ
三十五人為法
ﾟ
設
更言¬馬
之
ﾟ人得幾何
Lﾟ

答曰¬三十五分斤之十二Lﾟ

其為之也
ﾟ
者曰¬馬二十匹
ﾟ
直金十二斤
ﾟ
今売馬二十匹
ﾟ
三十五人
分
母
l 
相乗而
`
連除也
ﾟ
此田有廣
・従
ﾟ
難
以廣
諭
ﾟ
設
`
有問
除者
`
実
如法而
一
也
,ﾟ
今子相乗
`
則母各当報除
ﾟ
因
令
l 
分
之
`
則亦満法
ﾟ
乃為全耳
ﾟ
又以
子有所乗
故
`
母当報除
ﾟ
報
凡
`
実
不満法者
而
`
有母子之名
ﾟ
若有分
l`
以乗其実而
`
長		 乗分術曰¬母相乗
而
為法
ﾟ
子相乗
而
為実
ﾟ
実
如法而
一
Lﾟ		 曰¬九分之四
Lﾟ		 又有田
ﾟ
廣五分歩之四
`
従九分歩之五
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答		 答曰¬十一分歩之七
Lﾟ		 又有田
ﾟ
廣九分歩之七
`
従十一分歩之九
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ 		曰¬三十五分歩之十二
Lﾟ		 今有田
ﾟ
廣七分歩之四
`
従五分歩之三
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答		 ・
故
`
令
l.
分母
l.
各乗
全分内子
ﾟ
又
令
l.
分母
l.
互乗上
・
下
ﾟ
又
`
以法分母
乗実
ﾟ
以実分母
乗法
ﾟ
此謂¬法
・実
倶有分
Lﾟ		 重有者
`
同而
`
通之
Lﾟ
相與
l`
術也
lﾟ
故
散分者
`
必
令
l 
両分母
l 
相乗
`
為法也
ﾟ
自相與通
ﾟ有分
`
則可散
ﾟ
分重畳
`
則約也
ﾟ
等
除
l`
法
・
実
通
故
`
可令
l 
子
l 
相従
ﾟ
凡
`
数相與者
`
謂之¬率
Lﾟ

率
知
`
者
`分
母
乗
全内子
`
散
全
`
則為
ｌ積分
ﾟ
積分
`
則與子
`
相


母互乗子
`
知
l  
以
斉
l 
其子
ﾟ
母相乗者
`
同其母
ﾟ
以母
通之

通之
ﾟ

　

　

 経分術曰¬以人数
為法
ﾟ
以銭数
為実
ﾟ
実
如法而
一
ﾟ
有分者
` 		問¬人得幾何
Lﾟ

答曰¬人得
二銭八分銭之一
Lﾟ		 又有三人三分人之一
ﾟ
分
¬
六銭三分銭之一
`
四分銭之三
Lﾟ		 ４

経分術曰「　　」  問題文を、（全数による問題に）作り変えることだと思えば、ことがらは理解しやすい。
第１問は、「今有２１人。分２５銭。問人得幾何。」　第２問は、「又有４０人。分７６銭、９銭。問人得幾何。」
劉徽注の説明はやたらに難しいところがありますが、法実ともに全数である場合の経分術の構えは至って簡素なものといえます。

全分内子　三人三分人之一でいえば、三人のこと。七銭十二分銭之一でいえば、七銭のこと。　
上・下　算盤の上には、おそらく三人三分人之一の算木が上の欄に置かれ、七銭十二分銭之一の算木が下の欄に置かれていた。


案
ﾟ
半廣乗従
ｌ 
以
取中平之数故
`
廣
・
従相乗而
`
為積歩
ﾟ
半廣
`
知¬以盈補虚
L`

為直田也
ﾟ
亦可半正従
ｌ 
以
乗廣
ﾟ		 術曰¬半廣ｌ以
`
乗正従
Lﾟ		 田幾何
Lﾟ

答曰¬二十一歩六分歩之五
Lﾟ		 又有圭田
ﾟ
廣五歩二分歩之一
ﾟ
正従八歩三分歩之二
ﾟ
問 ¬為		 ¬一百二十六歩
Lﾟ		 今有圭田
ﾟ
廣十二歩
ﾟ
正従二十一歩
ﾟ
問¬為田幾何Lﾟ

答曰
 ・
之
lﾟ
故
`
令分母相乗而為法而
`
連除之
ﾟ
今為術
ﾟ
廣
・
従倶有分
ﾟ
当各自通其分
ﾟ
命母入者
`
須還出		 実如法而
一
ﾟ
猶
`
乗分也
ﾟ		 相乗而
`
為実
ﾟ
分母相乗
而為法
ﾟ
母
・
子
`
皆為実矣
ﾟ
¬分母各乗其全
ﾟ
分子従之
Lﾟ
者
`
通全
歩
内分子
ﾟ
如此
`
則		 大廣田術曰¬分母各乗其全
ﾟ
分子従之
l`		 ¬為田幾何
Lﾟ

答曰 ¬一畝二百歩十一分歩之七
Lﾟ		 又有田
ﾟ
廣十八歩七分歩之五
・
従二十三歩十一分歩之六
ﾟ
問		 幾何
Lﾟ

答曰¬一百二十歩九分歩之五
Lﾟ
 又有田
ﾟ
廣七歩四分歩之三
・
従十五歩九分歩之五
ﾟ
問¬為田		 何
Lﾟ

答曰¬十八歩
Lﾟ 		今有田
ﾟ
廣三歩三分歩之一
・
従五歩五分歩之二
ﾟ
問¬為田幾 		・
交互
`
相
生
ﾟ
¬所
l 
従言Lﾟ之異而
`計数
`則三術同帰也
ﾟ
¬七人売四匹馬
Lﾟ
．
．¬
一人売七分馬之四
Lﾟ

分子
`
與人
`
完金之率
`分而言之
`
則¬
為
l 
一匹
l 
直金五分斤之三
Lﾟ
馬
Lﾟ
無事于同
ﾟ但
`
欲
求斉而
`
已
ﾟ
又
¬馬五匹
ﾟ
直金三斤
Lﾟ
其金也
ﾟ母相乗而
為法者
`
猶斉其人也
ﾟ
同其母
`
¬為二十
皆合初問
`
入于経分術
矣
ﾟ
然
`
則分子相乗而
為実者
`
猶斉		 ５

「七人売四匹馬。」完人完馬之率、分而言之「一人売七分馬之四。」　
これをまた「馬五匹直金三斤。」（完馬）完金之率に照らせば、「金十二斤。三十五人分之。」なる完金完人の率が得られる。


其数
均等
ﾟ
合¬
径率一而
`
外周率三L`
也
ﾟ
−割注略
す
−
円径二尺
ﾟ
円中容六觚之
`
一面
−割注略
す
−
與円径之半
`
案
ﾟ
半周為従
ﾟ
半径為廣
故
`
廣
・
従相乗
l`
為積歩也
ﾟ
仮令
`		 術曰¬半周
・
 半径相乗
l`
 得積歩
Lﾟ

(1)
三
ﾟ
此
`
于徽術
`
当為田十畝二百八歩三百一十四分歩之一百十		 幾何
Lﾟ

答曰¬十一畝九十歩十二分歩之一
Lﾟ		 今有円田
ﾟ
周一百八十一歩
ﾟ
径六十歩三分歩之一
ﾟ
問¬為田
此
`
于徽術
`
当為田七十一歩一百五十七分歩之一百三
ﾟ		 ¬七十五歩
Lﾟ		 今有円田
ﾟ
周三十歩
ﾟ
径十歩
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答曰		 ・
正従
ｌ 
以
乗之
ﾟ
中分箕田
`
則為両斜田故
`
其術相似
ﾟ
又
`
可併踵
・
舌
`
半		 術曰¬併踵舌而半之
lﾟ以
乗正従
ﾟ
畝法而
`
一
Lﾟ		 歩
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬四十六畝二百三十二歩半
Lﾟ
 又有箕田
ﾟ
舌廣一百一十七歩
ﾟ
踵廣五十歩
ﾟ
正従一百三十五		 何
Lﾟ

答曰¬一畝一百三十五歩
Lﾟ
 今有箕田
ﾟ
舌廣二十歩
ﾟ
踵闊五歩
ﾟ
正従三十歩
ﾟ
問¬為田幾		 ・
¬併而
`
半之
Lﾟ
者
`
¬以盈補虚
L`
也
ﾟ
 以
乗
而
`
併
ﾟ
畝法而
一
Lﾟ		 術曰¬併両斜而
`
半之
lﾟ
以
乗正従
ﾟ
若廣
`
又可半正従
ﾟ
若廣
l` 		問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬二十三畝七十歩
Lﾟ
 又有斜田
ﾟ
正廣六十五歩
ﾟ
一畔従一百歩
ﾟ
一畔従七十二歩
ﾟ		 問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬九畝一百四十四歩
Lﾟ

 今有斜田
ﾟ
一頭廣四十二歩
ﾟ
一頭廣四十二歩
ﾟ
正従六十四歩
ﾟ		 ・
畝法
`
除之
`
即得也
ﾟ		 ６

周三十歩。径十歩。　円田にしては周径の比率が変です。しかし、半周・半径相乗而、得積歩。この式は現代的にも正しい。


割六觚
l`
以為十二觚術曰¬置円径二尺
ﾟ
半之
`
為一尺
ﾟ
即
法
`数昧而難譬
lﾟ
置諸検括
ﾟ
謹詳其記
`
注焉
ﾟ
知也由
ﾟ
此言之
ﾟ
其用博矣
ﾟ
謹案円騐
ﾟ
更造密率
ﾟ
恐空設
類形象
`
不円
l`
則方
ﾟ
方円之率
`
誠著于近
l`
則
`
雖遠
`
可
精覈
ﾟ
学者
踵古習
`
其謬失
`
不有明拠
ﾟ
弁之斯難
ﾟ
凡
`
物
多
・
少之較
Lﾟ
作案
覚較
今原
改本
正訛

乃弓之與弦也
ﾟ
然
`
世伝此法
`
莫
一之率
Lﾟ
也
ﾟ
周三者
¬従其六觚之環
Lﾟ
耳
lﾟ
以推
¬円
・
規
`
乗半径而
`
為円冪
ﾟ
此一周径
`
謂¬至然之数
L`
非¬周三径
出
Lﾟ矣
lﾟ
以
一面乗半径
`
觚而裁之
lﾟ
毎輒自倍
lﾟ
故以
`
半周
者
`
與円
`
合体
lﾟ
則
¬表無余径
Lﾟ
¬表無余径
Lﾟ
則¬冪不外
面之外
`
又有余径
lﾟ
以
面乗径
`
則冪出觚表
ﾟ
若夫
`
觚之細
又割
l`
以
至于不可割
lﾟ
則
`
與円
`
周合体而
`
無所失矣
ﾟ
觚
四云
因六
而之
三上
字衍

則得二十四觚之冪
ﾟ
割之彌細
`
所失彌少
ﾟ
割之


觚之一而
`
乗一弧之半径
ﾟ
字案
亦一衍弧
当之
削三

四因而六之
ﾟ
有案
訛此
舛句
当亦
之
`
三案
之此
上句
衍有
二訛
因舛
而当三改
字云

得十二觚之冪
ﾟ
若又割之
lﾟ
次以十二
又案
ﾟ
為円以六觚之一面
`
乗一弧半径
ﾟ
字案
衍一
当弧
削二

二因而六
.

十二觚の２面を描加えました。


観之
ﾟ
六觚之一面適得円半径
ﾟ
旧欠図
`
今補
ﾟ
周
ﾟ
円周大于六觚之周
ﾟ
為六觚背與六觚弦
`
之差畳
ﾟ
両円
案
ﾟ
劉徽
`
以円田
用
`
周三
径一
`
為率
ﾟ
乃
`
円内容六觚
之
 ７

觚面之外、又有余径。　６個の觚（正三角形）による円周率３は、図形的にも、分数的にも、ちょっとした矛盾を抱えていたわけです。
尺 １尺は必ず10寸に細分されます。１寸は必ず10分に細分されます。これに対して、〔物之数量不可悉全、必以「分」言之。〕　このような単位を仮に〔物称単位〕と呼ぶことにします。いくつにでも分けられる〔歩〕はその模範とされていた。


三百九十三億四千四百萬忽
ﾟ
以百億除之
lﾟ
得冪三百一十三
之一面
ﾟ
以半径一尺乗之
ﾟ
又以二十四乗之
lﾟ
得冪三萬一千
方除之
lﾟ
得小弦一寸三分八毛六忽
ﾟ
余分棄之
ﾟ
即四十八觚
百七十
一億一千二十七萬八千八百一十三忽
ﾟ
余分棄之
ﾟ
開
小句
Lﾟ

觚之半面
`
又謂之¬小股
Lﾟ

為之求小弦
ﾟ
其冪七
忽之四
lﾟ
以減半径
ﾟ
余八厘五毛五秒五忽五分忽之一
ﾟ
謂之¬
弦冪
ﾟ
其余開方除之
lﾟ
得股九寸九分一厘四毛四秒四忽五分
三千七百萬七千三百六十六忽
ﾟ
余分棄
之
ﾟ
即句冪也
lﾟ
以減
面
l 
為句
ﾟ
為之
求股
ﾟ
置上下
ﾟ
弦冪四而一
ﾟ
得一百七十億
割二十四觚
l`
以為四十八觚術曰¬亦令
l 
半径
l 
為弦
ﾟ
半
分棄之
ﾟ
開方除之
ﾟ
即二十四觚之一面也
Lﾟ
其冪六百八十
一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽
ﾟ
余
謂之¬小句
Lﾟ

觚之半面
`
又謂之¬小股
Lﾟ

為之求小弦
ﾟ
五分忽之四
lﾟ
以減半径
ﾟ
余三分四厘七秒四忽五分忽之一
ﾟ
以減弦冪
ﾟ
其余開方除之
lﾟ
得股九寸六分五厘九毛二秒五忽
千七百二十九萬八千三百六十一忽
ﾟ
余分棄
之
ﾟ
即句冪也
lﾟ
為句
ﾟ
為之
求股
ﾟ
置上下
ﾟ
弦冪四而一
ﾟ
得六百六十九億八
割十二觚
l`
以為二十四觚術曰¬亦令
l 
半径
l 
為弦
ﾟ
半面
l  
開方除之
ﾟ
即十二觚之一面也
Lﾟ
余分棄之
ﾟ
其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽
ﾟ
小句
Lﾟ
半案面此五下寸原之本句行九小字句
・知

觚之半面
`
又謂之¬小股
Lﾟ
為之求弦
ﾟ
忽之二
lﾟ
故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之三
ﾟ
謂之
¬
微数
ﾟ
微数無名
lﾟ
知
−
以為分子
lﾟ
以
下為分母
-ﾟ
約
`
作五分
弦冪
ﾟ
余七十五寸
ﾟ
開方除之
ﾟ
下至秒忽
ﾟ
又一退法
`求其
為案
弧原
今本
改訛
正作

半面五寸
ｌ
為句
ﾟ
為之
求股
ﾟ
以句冪二十五寸
減
円裏觚之面也
ﾟ
之案
半觚
面之
訛面
作原
弧本
之訛半作
面弦
今之改面
正後
・觚

令
ｌ
半径一尺
ｌ
為弦
ﾟ

 8
全分也当之伝写舛誤遂不可通後数条皆云余分棄之今拠以改正
 案此句原本訛作全分併之攷弦冪五忽之下尚有一六余分無所謂

為之求股。これをして、股を求む。

参考図

最終的には一百九十二觚之冪まで明らかにした



棄之
ﾟ
即九十六觚之一面
ﾟ
以半径一尺乗之
ﾟ
又以四十八乗
余分棄
之
ﾟ
開方除之
lﾟ
得小弦六分五厘四毛三秒八忽
ﾟ
余分
為之求小弦
ﾟ
其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽
ﾟ
以減半径
ﾟ
余二厘一毛四秒一忽十分忽之一
ﾟ
謂之¬小句
Lﾟ
其余開方除之
lﾟ
得股九寸九分七厘八毛五秒八忽十分忽之九
lﾟ
五十六萬九千七百三忽
ﾟ
余分棄
之
ﾟ
即句冪也
lﾟ
以減弦冪
ﾟ
為句
ﾟ
為之
求股
ﾟ
置次上弦冪四而一
ﾟ
得四十一億七千七百
割四十八觚
l`
以為九十六觚術曰¬亦令
l 
半径
l 
為弦
ﾟ
半面
寸六百二十五分寸之五百八十四
ﾟ
即九十六觚之冪也
ﾟ		 ９

　


即其相與之率
ﾟ
若此者
`
蓋尽其繊微矣
ﾟ
挙而用之
`
上
法
l`
與周数
通相約
ﾟ
径得一千二百五十
ﾟ
周得三千九百二十七
ﾟ
之
l`得六尺二寸八分二十五分寸之八
ﾟ
即周数也
ﾟ
全径二尺
也
ﾟ
以半径一尺
`
除円冪三百一十四寸二十五分寸之四
ﾟ
倍
三千九百二十七
ﾟ
円冪三千九百二十七中
`
容方冪二千五百
千九百二十七
ﾟ
方冪得五千
ﾟ
是為率
ﾟ
方冪五千中
`
容円冪
置径
`
自乗之
lﾟ
方冪四百寸
ﾟ
令
l  與円冪
l 
通相約
ﾟ
円冪三
百九十二觚之冪
lﾟ
以為円冪三百一十四寸二十五分寸之四
ﾟ 
冪為率
l`
消息
l`
当取此六百二十五分寸之三十六
lﾟ
以増于一
此術微少而
斛
ﾟ
差冪六百二十五分寸之一百五
ﾟ
以十二觚之
斗
Lﾟ

以此術求之
lﾟ
得冪一百六十一寸有奇
ﾟ
其数相近矣
ﾟ
五毛
ﾟ
冪一百六十二寸
ﾟ
深一尺
ﾟ
積一千六百二十寸
ﾟ
容十
斛
ﾟ
其銘曰¬律嘉量斛
ﾟ
内方尺而円
ﾟ
其外
−
广兆
−
旁九厘
相與之率也
ﾟ
周率
`
猶為微少也
ﾟ
晋武庫中
`
漢時王奔作銅
周六尺二寸八分
l 
相約
lﾟ
周得一百五十七
`
径得五十
ﾟ
則其
然則円冪一百五十七
`
其中容方冪一百也
ﾟ
又令
l 
径二尺與
田図
Lﾟ

令
l 
方中
l 
容円
`
円中
l 
容方
ﾟ
内方合外方之半
ﾟ 
冪二百
ﾟ
其中容円冪一百五十七也
ﾟ
円率猶為微少
ﾟ
案¬弧
円冪
`
相折円冪
l`
得一百五十七為率
ﾟ
方冪得二百為率
ﾟ
方
六尺二寸八分
ﾟ
即周数
ﾟ
令
l 
 径
l 
 自乗
ﾟ
為
方冪四百寸
ﾟ
與
為円冪之定率而
`
棄其余分
ﾟ
以半径一尺除円冪
`
倍之
lﾟ
得
出円之表矣
lﾟ
故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸
lﾟ
以
六觚冪
lﾟ
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九
ﾟ
則
六觚之外弧田
ﾟ
所謂¬以弦乗矢
L`
之凡冪也
ﾟ
加此冪于九十
謂之¬差冪
Lﾟ
倍之
l`
為六百二十五分寸之二百一十
ﾟ
即九十
之冪也
ﾟ
以九十六觚之冪減之
ﾟ
余六百二十五分寸之一百五
ﾟ
得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四
ﾟ
一百九十二觚
之
lﾟ
得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽
ﾟ
以百億除之
ﾟ 		10

嘉量斛（冪一百六十二寸）は、〔径８周２５〕の率を仮定すると〔径１尺４寸４分。周４尺５寸〕という寸法になります。（嘉量斛の底面）

。
以五十乗周而
`
一百五十七而
一
ﾟ
即径也
ﾟ
以一百五十七乗		 、
作案
田原今本
改両正訛

故
`
両母相乗而
`
為四
l 
以
`
報除之
ﾟ
于徽術
`
此周與上觚同耳
ﾟ
周径相乗
ﾟ
各当一
`
半而
`
今周径両全
`
 又術曰¬周径相乗
ﾟ
四而一
Lﾟ

(2)

 。.
 ここまで
疎淳風等所称密率皆約率以之譏徽似誤
案沖之密率較徽率為密其約率較徽率偽
沖之
為密故
`
顕之
`
于徽術之下
ﾟ
−北異
−学者知所裁焉
ﾟ
以其不精
`
就中更推其数
ﾟ
今者修撰攈摭諸家
ﾟ
攷其是非
ﾟ
数
`難契合
ﾟ
徽
`雖出斯一法
`
終不能究其繊毫也
ﾟ
祖沖之
`
略而
`言之
ﾟ
劉徽
`
特以為疎
`
遂改張其率
ﾟ
但
`
周径相乗
多周少
ﾟ
¬周三径一Lﾟ
理非精密
ﾟ
蓋術
`
従簡要
`
挙大綱
`
定無二尺
l`
可知
ﾟ
故
¬周三径一L`
之率
`
于円周
`
乃是
`
径
周訛作規二訛作三面字下又衍径字遂不可通
之則為周六尺径二尺面皆一尺六觚二字訛作径
以径言之
`
則¬為規六尺径三尺面径皆一尺
Lﾟ
為規
ﾟ
則六觚之径
`
尽達規矣
ﾟ
当面径
`
短
lﾟ
不至外規
ﾟ
若
則成六觚之周
ﾟ
角径
亦皆一尺
ﾟ
更
`
従觚角
`
外畔
l`
圍繞
l` 
六枚
ﾟ
枚別三面
`
皆長一尺
ﾟ
攅
l`此六物
l`
使
l`鋭頭
l`
向裏
ﾟ
恐¬此猶為難暁
L`
今更引物
`
為喩
ﾟ
設令刻物
`
作圭形者
`
其径二尺
`
可知
ﾟ
此則¬周六径二L`
與¬周三径一L`
己合
ﾟ
何則仮令
l`六觚之田
l`
觚間各一尺為面
ﾟ
自然
`
従角
`
至角
ﾟ 
数
ﾟ
則周少径多
ﾟ
用之
`
求其六觚之田
ﾟ
乃與
`
此率合会耳
ﾟ
淳風等案
ﾟ
旧術求円
`
皆以周三径一為率
ﾟ
若用之求円周之		 ここだけですが唐李淳風注釈も書き写しました
ﾟ 		.`
冪而
`
栽
其微分数
`
亦宜然重其騐耳
ﾟ
仍約耳
ﾟ当求一千五百三十六觚之一面
lﾟ
得三千七十二觚之 		11


面径股
`
不至外畔
ﾟ 		当云若以六觚言 案此三句有舛誤
.

　このような中国古代の数学的知識の集積の延長線上に、暦学・数学に大きな足跡を残した祖沖之（そちゅうし、429〜500、南北朝時代）の円周率をおく。祖沖之の円周率は、3．1415927＞π＞3．1415926であり、πの近似値分数としての約率22／7、密率355／113である。

　祖冲之『述異記』(『中国古典文学大系 24 唐・宗小説選』前野直彬編訳，1968 年，平凡社。)

一百二十歩
Lﾟ		 今有畹田
ﾟ
下周三十歩
ﾟ
径十六歩
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬

 `
得此率
ﾟ
四分
ﾟ
又置円冪三萬一千四百分
ﾟ
皆以一千二百五十六約之
lﾟ
置周数六尺二寸八分
ﾟ
令自乗
lﾟ
得冪三十九萬四千三百八十
三百十四而一
lﾟ
得円冪
ﾟ
其三百一十四者
`
周自乗之冪也
ﾟ
一可也
ﾟ
于徽新術
`
直令
l 
 円周
l 
自乗
ﾟ
又以二十五乗之
ﾟ
之冪也
ﾟ
若欲以為円
`
冪失之于多矣
ﾟ
以六觚之周
`
十二而
但為円径自乗者九方而已
ﾟ
然則十二而一
ﾟ
所得又非十二觚
曰¬十二而一
Lﾟ

即十二觚之冪也
ﾟ
今此¬令
周
自乗
Lﾟ
非
ﾟ
為冪
ﾟ
若径径自乗者九方
ﾟ
九方
`
凡為十二觚者十有二故
`
六觚之周
`
其于円
`
径三與一也
故
`
六觚之周
`
自相乗而
`
 又術曰¬周自乗
ﾟ
十二而一
Lﾟ

(4)

 `
術
`
当径自乗
ﾟ
又以一百五十七乗之
ﾟ
二百而一
ﾟ
円裏十二觚之冪
Lﾟ
耳
ﾟ
取之
l`
以為円
ﾟ
失之于微少
ﾟ
于徽新
方四分之一也
lﾟ
因而三之
ﾟ
即亦居外方四分之三也
ﾟ
是為¬
外方四分之三也
ﾟ
若令
l 
六觚之一面
l 
乗半径
ﾟ
其冪
`
即外
案
ﾟ
¬円径自乗
Lﾟ
為外方
ﾟ
¬三之
ﾟ
四而一
Lﾟ
者
`
是為円居		 又術曰¬径自相乗
ﾟ
三之
ﾟ
四而一
Lﾟ

(3)

　

 `
于微多
ﾟ
拠径
l 
以求冪者
`
皆失之于微少
ﾟ
拠周
l 
以求冪者
`
皆失之
求径
ﾟ
則失之
`
長
ﾟ
拠径
l 
以求周
ﾟ
則失之
`
短
ﾟ
諸拠見
ﾟ
径而
`
五十而一
ﾟ
即周也
ﾟ
新術径率
`
猶当微少
ﾟ
拠周
l 
以
以五十乗周而
`
一百五十七而
一
ﾟ
即径也
ﾟ
以一百五十七乗
作案
田原今本
改両正訛

故
`
両母相乗而
`
為四
l 
以
`
報除之
ﾟ
于徽術
`

 12

術（３）と術（４）においては、〔外方４：円３〕という面積率が仮定されている。


円旧術
`
以周三径一為率
lﾟ
倶得十二觚之冪
ﾟ
弧案之原弧本今訛改作正十
・二

　
法
lﾟ当応規
ﾟ
今觚面`
不至外畔
ﾟ
不案至原外本畔訛今作改令正弧
・而

失之于少矣
ﾟ
青冪
ﾟ
青黄相連
`
而
`
半之
ﾟ
作案弧弦今原改本正訛

則為黄冪
ﾟ
矢自乗而
`
半之
ﾟ
則為二


弧田
¬半円之冪
L`
也故
`
依半円之体而
`
為之術
ﾟ
以弦乗矢
¬方中Lﾟ
合¬外方之半Lﾟ

則
`
朱実
合¬外方四分之一Lﾟ
也
ﾟ
方中之円
l`
円裏十二觚之冪
l`
合¬外方之冪四分之三Lﾟ
也
ﾟ		 術曰¬以弦乗矢
ﾟ
矢又自乗
ﾟ
併之
ﾟ
二而一
Lﾟ		 ¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬二畝一百五十五歩八十一分歩之五十六
Lﾟ

 今有弧田
ﾟ
弦七十八歩二分歩之一
ﾟ
矢十三歩九分歩之七
Lﾟ
問 		畝九十七歩半
Lﾟ		 今有弧田
ﾟ
弦二十歩
ﾟ
矢十五歩
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬一

.
以騐此
ﾟ
除之
ﾟ
四案字原今本補脱

亦如円図矣
ﾟ
開立円術説円方諸率甚備
ﾟ
可


求円錐之冪
`
猶求円田之冪也
ﾟ
今用両全相乗故
`
以四為法
`
失之于少矣
ﾟ
然其術難用故
`
略挙大較
`
施之
lﾟ
大廣田也
ﾟ
即円錐之冪也
ﾟ
今畹田
l`上径
l 
円宆而
`
與円錐同術
ﾟ
則冪
半之
ﾟ
則方錐之見冪故
`
求円錐之数
ﾟ
折径l`以乗下周之半
ﾟ
円冪錐原今本改訛正作

案
ﾟ
方錐下六尺
`
則方周二十四尺
`
以五尺乗而
`
円錐見冪Lﾟ
與¬方錐見冪
Lﾟ

其率
`
猶方冪之與円冪也
ﾟ
円案
尺
ﾟ
即
`方錐
四面l 
見者
l 
之冪
ﾟ
若令l 
其中l 
容円錐
ﾟ
¬
弦五尺也
ﾟ
令
l 
句
・
弦
l`
相乗
ﾟ
作案句句股弦今原改本正訛

四因之
l`
得六十


尺
`
高四尺
ﾟ
四尺為股
ﾟ
下方之半三尺為句
ﾟ
正面邪為弦
ﾟ
此術不騐
lﾟ
故
`
推
l 
方錐
l`
以見其形
ﾟ
仮令
l 
方錐
l`
下方六 		術曰¬以径乗周
ﾟ
四而一
Lﾟ		 曰¬五畝六十二歩四分歩之一
Lﾟ		 今有畹田
ﾟ
下周九十九歩
ﾟ
径五十一歩
ﾟ
問¬為田幾何
Lﾟ

答

 13
引弧田図詳攷其説非図不顕今補図于後 案注文此書旧有図而欠又上円田注内亦
為
l 
弧体
l 

　

.
于徽術
`
当為田¬二畝三十一歩一百五十七分歩之二十三
Lﾟ		 問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬二畝五十五歩
Lﾟ
十二歩
Lﾟ也
ﾟ
外周
l`
以徽術
l`
言之
ﾟ
当¬径四歩一百五十七分歩之一百二
此欲
l 
令
l 
與周三径一之率
lﾟ
相応故
`
言¬径五歩也
ﾟ
拠中 		今有環田
ﾟ
中周九十二歩
`
外周一百二十二歩
`
径五歩
ﾟ

図にも
`
甲字と丁字を補いました
ﾟ		 ¬黄乙黄丙
Lﾟ
↓
¬黄冪甲乙丙丁
Lﾟ


但度田
`
取其大旧術
`
為約耳
ﾟ
則必近¬密率Lﾟ矣
ﾟ
然
`
于算数
`
差繁
`
必欲有尋究也
ﾟ
若
弦之矢也
ﾟ
割之
ﾟ
又割
lﾟ
使
l 
至極細
ﾟ
但
`
挙弦矢相乗之数
`
弦
l`
為句
ﾟ
半円径為弦
ﾟ
為之求股
lﾟ
以減半径
ﾟ
其余`
即小
以為股
ﾟ
其矢為句
ﾟ
為之求弦
ﾟ
即小弧之弦也
lﾟ
以半小弧之
既知¬円径
l`則弧
l`可割分Lﾟ也
ﾟ
割之者
l`半
l 
弧田之弦
lﾟ 
鋸道長
ﾟ
以矢
為句
ﾟ
深而
`
求其径
ﾟ
弦案折此半謂自弧乗矢矢形除求之円加径矢其為術円以径弧
半円Lﾟ者
`
益復疎闊
ﾟ
宜
`
句股
`
鋸円材之術
ﾟ
以
弧
`弦為 
亦失之于少也
ﾟ
與此
l`
相似 l`
指騐
¬半円之冪Lﾟ耳ﾟ
若不満¬		 14
矢皆疎
ﾟ
原本欠図今補
ﾟ		 円冪
ﾟ
又以半円論
`
弧		 冪術
`
以十二觚之冪為		 觚面外空處乃為半
ﾟ
円		 外方四分之三
Lﾟ
加円裏 		黄冪
ﾟ
合青黄適得半
¬		 如朱実
ﾟ
二青冪又半于 		冪適満外大方四分之一
lﾟ		 補觚面外之空角
ﾟ
則黄		 騐之
ﾟ
移黄冪甲乙丙丁
` 		以方中之円円裏十二觚
ﾟ		 案
¬注意
Lﾟ
取半円弧矢
ﾟ

　

臣
銭開仕恭校


不尽
l`
以等数
l`
除之而
`
命分
ﾟ
以畝法
`
除積歩
lﾟ
得畝数也
ﾟ
出之
lﾟ
故
`
令
l 
周径
l`
分母
l`
相乗而
`
連除之
lﾟ
即得積歩
ﾟ
則為廣
lﾟ
故
`
廣従相乗而
l`
得其積
ﾟ
既合分母
lﾟ
還
須
`
分母
而文半当之云
・併

知¬以盈補虚
Lﾟ
l`
得中平之周
ﾟ
周
`
則為従
ﾟ
径
`
乗
l`
同其母
ﾟ
子斉
ﾟ母同
ﾟ故
`
通全歩内分子
ﾟ
半之
ﾟ
上案有二脱字
互乗子者
`
為中外周
ﾟ
倶有余分故
`
以互乗
l`
斉其子
ﾟ
母相
案¬此術
Lﾟ

併中外周歩数
lﾟ于上
ﾟ
以分母子
l`
置于下
ﾟ
母		 余案積此歩句之下分有等脱数文約当之云

法
`
除之
lﾟ
即畝数也
ﾟ

　

 周
l`為実
ﾟ
分母
l`相乗而
l`
為法
ﾟ
除之
lﾟ
為積歩
ﾟ
余積歩
之分
ﾟ 		 余
`
半之
ﾟ
可案以云中此周又減別外記周術余之半小之異以亦益有中脱周文
・当

径
`
亦通分内子
lﾟ
以乗

 子
lﾟ
通全歩内分子
ﾟ
相案乗此通句全上歩下内皆分有子脱併文而当半云之分
・母

以中周
`減外周
ﾟ

 術曰¬置中外周歩数
ﾟ
分母子
`
各居其下
ﾟ
字案今原拠本注脱補母

母互乗
歩之三十五Lﾟ

　

　
八十七Lﾟ也
ﾟ
依¬周三径一Lﾟ為田¬三畝二十五歩六十四分

 ・
于徽術`
当為田¬二畝二百三十二歩五千二十四分歩之七百		 問¬為田幾何
Lﾟ

答曰¬四畝一百五十六歩四分歩之一
Lﾟ


于徽術
`
当径八歩六百二十八分之五十一
ﾟ
求径者
`
此径
`失之于過多
ﾟ
¬周三径一Lﾟ之率
`
蓋為疎矣
ﾟ
此田
`
環面不通画故
`
径十二歩三分歩之二ﾟ
若
`
拠上周
`		 歩之一
`
径十二歩三分歩之二
ﾟ		 又有環田
 ﾟ
中周六十二歩四分歩之三
`
外周一百一十三歩
二分
以中田減外円
lﾟ
余
`
則環実也
ﾟ
知亦¬以盈補虚
Lﾟ
也
ﾟ
此
`
可令
l 
中外周各自l 
為円田
ﾟ
此田截面
l`
中之周
l`
則為長
ﾟ
斉案中此外處之有周脱周誤則当為云長截

併而
`
半之
ﾟ

 術曰¬併中外周而
`
半之
ﾟ
以径乗之
`
為積歩
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