馬５匹、直金３斤。今売馬４匹。７人分之。（問）１人得幾何。

還って来た取り尽し法の未来（10）　これで終りにします
目方（めかた）。
　　　劉徽注九章算術に見る 分数の世界

はじめに

方。以類聚物。以群分数。　　　　　　　　　（九章算術「方田章」）
方は、類を以て物をあつめ、群を以て数にわける。
同類者無遠数。異類者無近遠。而、通体。
類を同じくする者に遠き数無く。類を異にする者に近きも遠きも無く。
しこうして、体を通ず。

この一文は、もともと劉徽が合分術のこつを説明する中で述べられたものを、
合分術曰「母互乗子、併以為実。母相乗而、為法。」　
「方」という字句に惹かれて、手製の乗分術の図解なるものに持って来たので、勘違いや誤解はあって当然だと思われます。（注１）
しかし、通分の必要からして「加減算の中にも乗算が混じる」ということを分数計算の１つの特徴だと考えると、本家本元の乗分術に応用して様子を見るのは、「善良なる管理者の注意義務」というものかもしれない。しかも、この問題が、劉徽が乗分術の注釈中に思いつくまま示した例題なのだから、応用する甲斐はなおさらにあります。

いずれにせよ、こうして劉徽の分数思想の一端に触れたのも多少の縁です。浅はかな遠慮は無くして、じかに本心を理解したいものですが、先ず、「類」とか「群」とかいう（現代において）干乾びてしまった抽象言葉に、精彩ある具体的なイメージを取り戻すことから始めてみたいと思います。

還って来た 取りつくし法の未来　2008.1.9.〜　　あゆみ（歩）
（１）何等分でも出来る線分と分数の概念
（２）グレゴリー（π/４）公式と、分数の〔かたち〕 
（３）グレゴリー（π/４）公式と、ワイリス望遠鏡。
（４）九章算術「方田」章に同居する〔分数の概念〕。
（５）九章算術「方田」章(原文と勝手な解釈)
（６）円のふるえを〔分数のかたち〕で測ってみよう。
（７）天才ライプニッツと一反木綿（∫）と分数の概念　☆
（８）球葱と帆立貝とライプニッツの円積率公式 
（９）曲りなりにもパラボラの面積は見ればわかる☆
（10）目方（めかた） 九章算術に始まる分数の概念☆
 〔関連〕  分数と水汲み（水はこび）

その　以て物をあつめる「類」　これは、とにかく、直線的な形をしていた。
その　以て数にわける「群」　これは、とにかく、円（まる）い形をしていた。

「方」「物」「数」もそうですが、「類」と「群」はいずれも抽象的な概念で、漠然としてつかみどころが無い感じです。また、互いに入れ替えて、
　方。以群聚物。以類分数。（誤）
としても違和感を覚えないほど意味が接近した言葉になっています。しかし、これは現代の風潮であって、昔もこうだったとは限らない。昔においては、自立した「類」のイメージ、また自立した「群」のイメージというものがあって、両者が混同されるおそれは微塵もなかったのではないか。もしそうでなければ、こんな格言も生まれなかっただろう。
その違いを一言でいえば、「類」は直列をなし、「群」は円くなる。

にたものを集めてグループにわける。
（多くの物の頭かずをそろえて、区わけすることをあらわす。
　多くの物を集めて系列をつける意を含む。）

群 グン　むれ　　　　　　（漢字源）

まるく円陣をなして集まる。
（群は「羊＋君（音符）」で、羊がまるくまとまってむれをなすこと。）
.

「類」には一方向に並ぶというイメージがありましたが、「群」のイメージ形成はおおいに遅れました。まだイメージが固まりきっていないので、言葉使いも未熟ですが、そういう私が「同心円群」のインスピレーションを得ることができたのは、古事記を拾い読みしたおかげです。

神代の昔、八十神（やそがみ）たちが、大木をかち割って、ひとつの儀礼的な実験をおこなったとき、彼らは、木目（年輪）の存在を、じゅうぶんに意識していた。

http://www.fsm.affrc.go.jp/Joho/72/p3.html

表面的には、八十神たちの残虐なイジメに大穴牟遅神（大国主の命）がよく耐えたという話です。しかし、八十神たちのイジメ方、大穴牟遅神のイジメられ方に創意工夫が凝らされて、面白いことになっています。
例えば、楔（くさび）を打ちこめば大石も割れます。物を挟んで重しをかけるのなら大石が重量感があるのに、なぜか大木が選ばれている。
そういう面白さに誓って、この話の独立した本来の姿を考えると、これは、物の大きさを（延べて）測る〔ものさし〕と、物（注２）の頭数を（揃えて）数える〔ものあつめ〕の触れ合いを通して、算数とくに分数の起源を説く寓話のように思われます。イジメ云々は長話のつなぎに過ぎない。
ちょっと考えが飛躍しましたが、
八十神たちが、大穴牟遅神を押し潰す材料を、なぜ大樹に求めたかというと、木には木目（年輪）が、劉徽がいう「群」が、刻まれていたからです。それが「氷目」です。

　打離其氷目矢而　その氷目（に打ち立てたる）その矢を打ち離して
　　　　　　　　　　or　その氷目（より）その矢を打ち離して

　http://www.c-player.com/ac37888/thread/1100063683210

そういえば、日本語には、「目方」という表現がありました。これこそ「方以類聚物以群分数」の趣旨を一言で表した言葉ではないか。
ただし、これは、「目方が軽い」とか「目方が足りない」とか、重量に限定して用いられている言葉なので、測量と計算はやはりちゃんと区別した上で、「方以類聚物以群分数」のアナロジーというか、その趣旨をうまく比喩した言葉というべきでしょうか。

棹はかりのしくみを見ると、重さという「類を以て物をあつめ」、貫目、文目（匁）という「群を以て数をわけて」いるかのようです。この間に、「分銅」という〔物〕が介在していますが、左右が釣り合って棹が水平になった様子は、まさに「目方」を構えていると言えます。
そこで、右の絵によって、「目方」と「分数」の関係を説明します。
（絵にすると、水平方向に距離感が際だちますが、垂直方向に重量感も感じてください。）
その重量がいまだ不明な検体に、このようにアプローチしたところ、
分銅１個の重さが、検体の「５分の１」に当たることがわかりました。
左様にわかったところで、分銅の定重は１貫であったので、検体の目方は５貫になります。

最近気づいたのですが、
「合分術曰」以下、術文は「母相乗而為法」と言っているのに（注３）、注釈した劉徽は、ことさらに「群」を付け加えて、「群母相乗」というふうに受け取っています。
これはことがらを左右する大きな要件です。早々に気づいて検討材料に加えておくべきでしたが、私に「群母」を見る目が無かったために、眼に入らなかったようです。
何も知らない私は（群のことを）分数のアクセサリーくらいにしか思っていなかったので、分母を「群母」と呼んでいること自体が驚きですが、お言葉に甘えて、こうして「群母」が居るのなら「群子」も居るはず。例えば「５分の２」について、これら群母５人には、２人の群子が居るものと考えます。

　^１/_５、^２/_５、^３/_５、^４/_５、^５/_５、
_.

　群子　・・
　群母　・・・・・

とりあえず点列でもってその個数を表しましたが、その名義どおりに、「群」でもってしても表しておくのが最善の処置であるのは言うまでもないので、

方、以類聚物、以群分数。

ときに劉徽は、「約めると目が荒くなる（約而言之者其分麤）」とか、「繁らせると目が細かくなる（繁而言之者其分細）」とか言って、分数を〔平均的な刻み目の集まり〕というふうに見ているところがあります。

　斉者子 與母 斉勢不可失本数也

「母１人・子１人」という〔分母子関係〕においては、本来の比例をいつでも保持して失わないことが大切ですが、これを陰で支えているのが「母たくさん・子だくさん」の〔群母子関係〕であるといえます。つまり、数が変わっても〔分母子関係〕が本どおりに健全なときには、群母子関係において、群素の数が整数倍に増多（乗−散）したり、整数分の１に減少（約−聚）している背景が必ずあるというわけです。

〔目方〕による合分術の図解

ジタバタしましたが、ようやく懸案の解決に漕ぎ着けた感じです。方以類聚物以群分数は、この群母子関係を語る言葉と見定めました。
（例題の、３分の１、５分の２は、何物でもない唯の数ですが、それぞれ「母」と「子」に類別される物であることにします。）

群母子関係の空間的なひろがりにおいて、方は基準的な直線で、物の数は点の一列並びで、群（目）は同心円のひろがりで表される。

　今有３分の１。５分の２。（問） 合之。得幾何。

　　（答） 曰「１５分の１１」。
.

（注３）合分術曰「母互乗子、併以為実。母相乗而為法。.」

　今有３分の１。５分の２。（問） 合之。得幾何。

母をして互に子に乗じ、併せるを以て実と為す（算盤には、実なる行に置く）

　（）＋（）＝＋＝

母をして相い乗じて、法と為す（算盤には、法なる行に置く）

　（）＝

千	百	十	一	分	厘	.
.	.	.	.	.	.	商
.	.			.	.	実
.	.			.	.	法
.	.	.	.	.	.	簾
.	.	.	.	.	.	偶

　　（答） 曰「１５分の１１」。
.

行き着くところまで来たかなという感じがしないでもないので、いよいよ劉徽格言の解釈に挑戦してみます。
私がこれまで培ってきた目方図を思い切りぶつけてみようというわけです。
ふらふらしていますが、ざっくばらんに述べます。

方。以類聚物。以群分数。
とくに分数のためにあるとき、「目方」というものは、２本の測り棹を直交させたマルチな構造をしているので、２つの類を以って、２とおりの物たちを、２手にあつめることが出来ます。
直交点を中心に測り棹をぐるぐる廻すと、目盛の像が多数の輪になって残り、等間隔に同心円が重ねられているように見える。これが群です。
２とおりの物たち（個数）のグループは、群による橋渡しがあって、はじめて互いに関わり合うことになります。これを称して、「群を以って数に分ける」というわけです。もっとも、「分数」というのはひとつの成果に過ぎないので、ここでは、２とおりの物たち（個数）のグループがそのまま統合され一体化されて、一つにまとまった常態になっていることの意義がずっと大きいのではないかと思われます。
同類者無遠数。異類者無近遠而、通体。
難しいことが述べられているので、「馬５匹の値段が金３斤」という具体例において考えます。
　　馬馬馬馬馬（金金金）
また、あまりに難しすぎて何が何だかわからないときには、よく反面教師といいますが、それとまったく反対の状態を思い浮かべてみると事柄がつかめる場合があるので、まずやってみます。
同類者有遠数。異類者有近遠而、不通体。
正反対の状態のときにはどうなっているか。その様子はどうにか察しがつきます。
　　１、馬（金１斤）　２、馬（金１斤）　３、馬（金１斤）　４、馬（　　）　５、馬（　　）
なんと、４番目、５番目の馬はタダで差上げているかっこうです。この馬２匹は金類の体に通じていないわけですが、金３斤なる金類にしても、馬類の一部分にしか、体を通じていないことになります。しかし、全体の通じ合いが不完全なことは、計算にして見せると一層明らかになります。
　金３斤 ÷ 馬５匹 ＝ ０（^斤/_匹）.....余り３斤。　　　ぜんぜん分数になっていない！
ところで、左一番上の目方図は、正直そういう印象を与えているので、回収しましょうか。
同類者無遠数。異類者無近遠而、通体。
正しいときにはどうなっているか。事柄がつかめていれば、察しがつきます。
　　１、馬（金^３/_５斤）　２、馬（^３/_５斤）　３、馬（^３/_５斤）　４、馬（^３/_５斤）　５、馬（^３/_５斤）
それにしても、いましがた欠陥を露呈した目方図の改善が急がれますが、まずもって、異類間の近遠を無くする必要があります。そのために。馬類による群の外輪と、金類による群の外輪、この２つを一致させたいものです。
そこで、馬類による群の軌道を低めて、外輪が金類のアンカーを貫通するようにします。これがまた、金類による群の外輪にもなります。（左中図）
つぎに、金類も救いとるかたちで、まるごと円軌道に復帰させます。（左下図）

比重のパースペクティブ　

方、以類懸物、以群比重。　

しかし、その人の考え方が、観音様がお見通しなさるほど、視覚的に整理されるのは良いことです。そこまで明瞭になった考え方のことを「見方」といいますが、「その問題に対する私の目方は〜です」と言えば、重量感も加わって、よろしいのではないか。

方。以類聚物。以群分数。　ここでようやく本題に入ります。
既に述べたように、私は、、劉徽の分数概念を構成する３つの要素（方・類・群）を、目方図の中に、３つとも確認しました。しかし、〔比重の世界〕の考えを、〔分数の世界〕に移して（ぶつけて）みたところ、同類者無遠数。異類者無近遠而、通体。　〔類〕・〔群〕の実際の働き方において、異なるべき点があることがわかりました。
重さを比べることと、数を分けることは、いつまでも同じ仕事ではいられない。私は、この結果を見て、目方図にしても、〔比重〕用のものと、〔分数〕用のものと、あっさり２つにわけてしまうのが良いと考えました。

〔比重〕用の目方図には、「比重のパースペクティブ」という固有名を差上げます。
贈る言葉は、方。以類懸物。以群比重。
　　　　　　　　　　　（方は、類を以て物を懸け、群を以て重さを比べる。）

方、以類聚物、以群分数。　

〔比重の世界〕の遠近感（距離感）を安易に〔分数の世界〕にあてはめるのは無理がある。
劉徽格言を解釈して痛感したのはそのことでした。目方図を別に拵えたゆえんです。
左が〔５分の２〕を例にした目方図ですが、

まず水平と鉛直の２方があります。（方）
水平に類母（・・・・・・）が、鉛直に類子（・　・　・）が物として集められています。（以類聚物）
○群母は・類母に依り添い、○群子は・類子に依り添っています。（以群分数）
類母（・・・・・・）も、類子（・　・　・）も、それぞれに等間隔に並んでいます。（同類者無遠数）
ただ、２類の全長は、母も子も全体を捧げて分け合うために、同じです。（異類者無近遠）
従って、末端の○群母と、末端の○群子は、一周を共にするので、末端の○群母は最終の・類子を貫通し、末端の○群子も最終の・類母のを貫通しています。
かくして、母は子の、子は母の、それぞれ均質になっている全体に通いあう。（而通体）

要するに、類母５個と類子２個がまったく等しい距離の間に詰まっている構えです。
それで、〔５分の２〕という分数の大きさをいったいどこで見るかが問題ですが、
○群母２が通っている円軌道は、本来ならば、○群子２が通る軌道でもあった。この円が鉛直線を横切るところが、本来ならば、・類子２の定位置であった。私はここに立って〔５分の２〕の大きさを見たい。

合分術曰「母互乗子、併以為実。母相乗而為法。実如法.而一。」

　今有３分の１。５分の２。（問） 合之。得幾何。

目方に拠ってこの計算をおこなうためには、
　非常に幅広い実欄ならびに法欄が必要です。
　また、マッチ棒のような細い算木を使う必要があります。

細い算木は、・類母子に依る○群母子を直線分にかえたものである
　このように考えると、
　群を以て数を分ける（以群分数）ということに関する説明は要らない。
「通之。則可併也。」 という合分術のこつは確かによくわかると思います。

.
　馬５匹、直金３斤。今売馬４匹、７人分之。
　問「人得幾何」

（乗分術曰）母相乗而為法。子相乗而為実。実如法而一。

　　　（答曰「３５分斤の１２」）

故大國主神坐出雲之御大之御前時。 自波穗乘天之羅摩船而。内剥鵝皮剥。 爲衣服。有歸來神。爾雖問其名不答。且雖問所從之諸神。皆白不知。爾多迩具久白言【自多下四字以音】此者久延毘古必知之。
されば、大国主神、出雲の御大の御崎に坐せる時、波穂より天の羅摩船に乗りて、鵝の皮を内剥ぎに剥ぎて衣服と為せる、帰り来たる神あり。ここにその名を問うといえども答えず。かつ、これに従える諸神に問うといえども、皆「知らず」と白す。ここに多迩具久（たにぐく＝ひきがえる）白して「久延毘古（くえひこ）ならば必ずこれを知るべし」と言う。

即召久延毘古問時。答白此者神産巣日神之御子。少名毘古那神【自毘下三字以音】故爾白上於神産巣日御祖命者。答告。此者實我子也。於子之中我手俣久岐斯子也【自久下三字以音】故與汝葦原色許男命爲兄弟而。作堅其國。
即ち久延毘古を召して問う時、答えて「此は神産巣日神の御子にして、少名毘古那（ひこな）神なり」と白す。さればここに神産巣日（むすび）御祖（みおや）命に白し上げれば、答えて「此は実に我が子なり。子の中において、我が手の股より久岐斯（くきし）子なり。されば、なんじ葦原許男命（日本一のへっぽこ野郎）と兄弟と為りて、共にその国を作り堅めむ」と告げる。

故自爾大穴牟遲與少名毘古那。二柱神相並。作堅此國。然後者。其少名毘古那神者度于常世國也。故顯白其少名毘古那神。 所謂久延毘古者。於今者山田之曾富騰者也。此神者足雖不行。盡知天下之事神也。
さればこれより、大穴牟遲と少名毘古那と、二柱の神相並びて此の国を作り堅める。然る後に、その少名毘古那神は常世の国に渡るなり。されば、その少名毘古那神を顕し白せし、いわゆる久延毘古は、今において山田の曽富謄（そとば）なる者なり。此の神は、足行かずといえども、天下のことをことごとく知る神なり。

以前に「微小図形の権化」と看做したスクナヒコナのことを、ここに至って「微小分数の権化でもある」というのは、無定見を露わにするようなものですが、代数幾何学が当時（神秘的な装いのもとに）おこなわれていたとすれば、いたしかたのないことです。

多迩具久（ひきがえる）は、その身体の形が四角錐を思わせる。
　錐体の体積＝ ^１/_３ ×（底面積×高さ）
ゆえに、「３分の１」なる分数を自分のこととして知る者であった。

蛙（かえる）という字の旁は、圭すなわち先端が尖ったかたちですが、圭（四角錐）の中で最も大きな久延毘古が、最も小さなスクナヒコのことを知っていた。図形の相似性によることですが、どちらも「３分の１」なる分数を自分のこととして知る者であった。

http://sizengaido.ti-da.net/d2006-11.html

図形であり分数でもあるスクナヒコについて、ここで分数たる側面を強調したいときには、親たる御祖命の言葉を借りればよい。
だいたい神々の親族関係というのは、必ずしも血縁を伴うものでは無くて、概念の親密な関係が夫婦や親子のすがたをとる。それこそ類聚ですが、しかし、『神産巣日（結び）神』なる『御親命』は、「スクナヒコは実に我が身体を分けた子である」と言った。（論理的な発展も歴史的な進化も無くて）ひとえにＤＮＡ鑑定が決め手となる親子関係は、分数の母子を取り扱う要領を思わせます。

しかして、オオアナムチとスクナヒコが共にした分数は、（同じかたちの）大きさの比較に基づいていたといえます。

スクナヒコが（粟粒になって弾け飛んで；日本書記）常世の国に渡ってしまった後、その後継者としてオオナムチの前に現れた神様が「大年神」です。「暦（こよみ）と季節の元祖神」ですが、私は例によって「年輪の神様」と呼ぶことになります。

ただし「御諸山」は現在の三輪山のこととされています。三輪山の山頂にまします神様といえば『大物主神』です。「御諸山」の〔諸（もろ）〕は「群（むれ）」に通じ、「三輪」は多重同心円を想像させます。
　方。以類聚物。以群（諸）分数。
なんだかここに「目方」的な分数概念の樹立を見る思いです。

しかして、オオアナムチとオオモノヌシが共にした分数は、（物の重さにちなむ）距離の比較に基づいていたといえます。

於是大國主神愁而告。吾獨何能得作此國。孰神與吾能相作此國耶。 是時有光海依來之神。其神言。能治我前者。吾能共與相作成。若不然者。國難成。爾大國主神曰。然者治奉之状奈何。 答言吾者伊都岐奉于倭之青垣東山上。此者坐御諸山上神也。
是において大国主神愁いて告ぐ。「吾れ独りで何ぞ能く此の国を作り得るか。いずれの神にして、吾れと共に、能く此の国を相い作れるや」と。是の時、海を光らせて依り来たりし神有り。その神言う。「能く我が前を治めたれば、吾れ能く共として相い作り成す。若し然らずば、国は成り難し」と。ここに大国主神曰く。「然らば、治め奉るときの状（さま）はいかに」と。答えて言う。「吾れをば、倭の青垣の東の山上に斎き奉れ」と。此は御諸山の上に坐ます神なり。

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