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私にいわせれば π/４ は「円の面積率」のことですが、ほかでもない「円の面積」が一反木綿（∫ ）に包まれて、「青年ライプニッツ会心の円周率発見」に至ったという垂涎の事実を私は寡聞にして知らなかったので、これはよいことを聞いたと思って、図解を通して勉強してみようと思い立ったわけです。数量の表現まで図解しようとすることには〔分数の概念〕をめぐる思惑がからんでいますが、そのへんの勉強の成果は追って付加えたいと思っています。→（８） 球葱と帆立貝とライプニッツの円積率公式 2009.11.7 |
還って来た取り尽し法の未来（７） （１）、（２）、（３）、（４）、（５）、（６）、（７）、（８）、（９）、（１０） あゆみ（歩）
| イ ン テ グ ラ ル. | ∫ . |
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| 元祖天才!! ライプニッツと、 | 一反木綿（ | ｘｄｔ ）と、〔分数の概念〕 | 2009.3.16. | |
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私にいわせれば π/４ は「円の面積率」のことですが、ほかでもない「円の面積」が一反木綿（∫ ）に包まれて、「青年ライプニッツ会心の円周率発見」に至ったという垂涎の事実を私は寡聞にして知らなかったので、これはよいことを聞いたと思って、図解を通して勉強してみようと思い立ったわけです。数量の表現まで図解しようとすることには〔分数の概念〕をめぐる思惑がからんでいますが、そのへんの勉強の成果は追って付加えたいと思っています。→（８） 球葱と帆立貝とライプニッツの円積率公式 2009.11.7 |
（出典）青年ライプニッツ会心の円周率発見 中村滋 テキストの一部を書き写して勝手に図解を加えています。
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/maed/009nakamura.pdf
３ ライプニッツの円周率公式の発見
それでは青年ライプニッツ会心の円周率公式発見の経緯を詳しく見ていきましょう。後にグレゴリーが数年早く発見して手紙に書いていたことが分かって、今はグレゴリー・ライプニッツの公式と呼ばれる次の公式です。
π １ １ １ １ １ ─ ＝ １ − ─ ＋ ─ − ─ ＋ ─ − ─ ± ・・・・・
４ ３ ５ ７ ９ 11
正方形の面積はもちろん１です。
中心（1,0）、半径１の単位円 （ｘ−1）2＋y 2＝１ の上半分は、ｙ＝√（2ｘ −ｘ 2）
と書けます。その左半分の面積はもちろん π/４ になります。従って、 π
─ ＝ √（2ｘ − ｘ 2 ）・ｄｘ ４
| です。 一般に曲線 ｙ ＝  （ｘ） （ａ
≦ ｘ ≦
ｂ） において Ａ＝（ａ、（ａ））、Ｂ＝（ｂ、（ｂ））
と置き、曲線 ＡＢ と呼びます。曲線 ＡＢ
上の点
Ｐ でこの曲線に接線を引き、ｙ
軸との交点を Ｔ、原点 O
から ＰＴ に引いた垂線の足を Ｓ
とします。Ｐ から
ｘ 軸におろした垂線と T から ｘ
軸に平行に引いた直線の交点を Ｄ
とすれば、∠ＰＴＤ ＝ ∠ＴＯＳ （90°−∠ＯＴＳ） となります。曲線 ＡＢ 上にＰの近くの点 Ｑ を取り、△ＰＱＲ を ＰＲ ⊥ ＱＲ となるように作ります。ＲＱ＝ｄｘ、ＰＱ＝ｄｓ はいずれも"無限小"で、ＱがＰＴ上にあるとして良い（ライプニッツの説明です）ほどに近いものとします。このように考えると、△ＰＴＤ ∽ △ＴＯＳ となります。ＯＴ＝ｔ、ＯＳ＝δ （図では ｐ と書いた）とすれば、ｄｓ ： ｄｘ ＝ ｔ ： δ となり、ｔ ｄｘ ＝δ ｄｓ が成り立ちます。 従って、 |
ｄｓ
とｄｘ
は限りなく小さい。
（テキストの δ を ｐ と書いています。） |
| 1 | 1 |  |
1 |  |
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| △ＯＰＱ ＝ | ─ | ｄｓ・δ となり、扇形ＯＡＢ ＝ | ─ | δ ｄｓ ＝ | ─ | ｔ ｄｘ | ||||
| 2 | 2 | 2 | ||||||||
| . が分かります。ところで 曲線 ｙ ＝ （ｘ） の接線
Ｙ−ｙ ＝ '（ｘ）（Ｘ−ｘ）
において Ｘ ＝ ０ とすれば、Ｙ ＝ ｔ ＝
ｙ −ｘ'（ｘ）
となります。従って、Ａ、Ｂ から ｘ 軸におろした垂線の足を Ａ'、Ｂ' とすれば、 曲線 ＡＢ の下の面積は、 |
||||||||||
. y dx ＝ 扇形 ＯＡＢ ＋ ▲ ＯＢＢ' − ▲ OAA'
1 ｂ
ａ
＝ ─ ｔ ｄｘ
＋ ─ − ─ 2 2 2 . 1 [ｘ
1
∴ y dx ＝ ─ ＋ ─ ｔ ｄｘ
2 2 [ライプニッツの変換公式]
となります。以上が一般の曲線 ｙ ＝ （ｘ） についての変換公式です。
これを四分円 ｙ ＝ √（2ｘ−ｘ
2） （０ ≦ ｘ ≦
１） に適用します。 |
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| 1− ｘ | 1− ｘ | ||||||
| ｙ' ＝ | ───── | ＝ | ─── | ||||
| √（2ｘ−ｘ 2） | ｙ | ||||||
| . | |||||||
| 従って、 | |||||||
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. | ＿＿＿ |
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|||||||||
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ｘ（1−ｘ） |
ｙ 2 −ｘ（1-x） |
ｘ |
 |
ｘ | ||||||||
| ｔ ＝ | ｙ − ｘｙ' ＝ ｙ − | ──── | ＝ | ────── ＝ |
─ |
＝ |
─── |
|||||
|
ｙ |
y |
ｙ |
2−ｘ | |||||||||
| . | ||||||||||||
|
ｘ |
2ｔ 2 |
|||||||||||
|
∴ |
ｔ 2 ＝ | ─── | 、 | これを逆に解いて、ｘ ＝ | ─── | |||||||
| 2−ｘ |
ｔ 2 ＋1 |
|||||||||||
| . |  |
ｘ
ｄｔ
ｔ ｄｘ |
|||||
|
となります。 |
|||||||
|
明らかに ｔ（0）＝0、ｔ（1）＝1 なので、 |
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| . | |||||||
 |
|
||||||
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ｘ ｄｔ ＋ |
ｔ ｄｘ ＝ 1 |
||||||
が成り立ちます。これらの式と先ほどの変換公式を用いて、四分円の面積を求めることが出来ます。
π ＿＿＿＿ 1 1 ─ ＝
√（2ｘ−ｘ 2）・ｄｘ ＝ ─ ｘ √（2ｘ−ｘ 2） ＋
─ ｔ ｄｘ 4 2 2
1
1 1 1 2ｔ 2 ＝
─
＋ ─ （1− ｘ ｄｔ ）＝ 1− ─ ｘ ｄｔ ＝ 1− ─ ─── ｄｔ 2
2 2 2 ｔ 2 ＋1
ｔ 2 ＝ 1 − ─── ｄｔ ＝ 1 − ｔ 2（1−ｔ 2＋ｔ 4−ｔ 6±・・・）ｄｔ 1＋ｔ 2
ｔ 3 ｔ 5 ｔ 7 ｔ 9 ＝ 1 − （ｔ 2−ｔ 4＋ｔ 6−ｔ 8±・・・）ｄｔ
＝ 1 − ─ − ─ ＋ ─ − ─ ± ・・・ 3 5 7 9
単
位
分
数
パ
レ
ッ
ト1 1 1 1 1 ＝ 1 − ─ ＋ ─ − ─ ＋ ─ -
─ ± ・・・ 3 5 7 9 11
.
最後に美しい公式が出てきました。この瞬間は青年ライプニッツにとってどんなにか嬉しかったことでしょう。早速ホイヘンスに手紙で知らせました。
「円周に対する直径の比が、・・・、
直径を１とするとき円周は次の和、
これまでに判明した面積を楕円にまとめています。
４ ４ ４ ４ ４ ４ ─ − ─ ＋ ─ − ─ ＋ ─ − ─ （et cetera、無限に続く）
１ ３ ５ ７ ９ 11 に等しいことが分かる。」（1674.10.）
これに対するホイヘンスの返信には次のように書かれていました。
「あなたが円の驚くべき性質を発見したことはあなたも否定しないでしょう。それは幾何学者たち（「数学者」を表す当時の呼び方）の間で永遠に有名になることでしょう。」
28歳のライプニッツにとって正に得意の絶頂の時ですね。この後 １年ほどの間に、ｄｘ や∫ 記号も含めて、微分積分学の基本を一気に作り上げてしまうのです。いつ見ても驚いてしまうような"天才の爆発"のときでした。ちょうど10年前に孤独な天才ニュートンに起きた奇跡が、全く異なる形でパリに滞在中のライプニッツに起きたのです。いずれも微分積分学を作り上げる直前の時期ですが、ニュートンは自らが発見した一般二項定理で関数を展開してそれを項別に積分することによって、またライプニッツは変換公式と巧妙な積分の変数変換によって、どちらも歴史に残る見事な成果を挙げて、そのまま一気に微分積分学を建設してしまったのでした。歴史の不思議な面白さを感じます。（以下、略す。）
（テキスト）
2009.1.10. 数学教育の会
数学史の窓から ─ 教室で使える話題
青年ライプニッツ会心の円周率発見 中村滋
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/maed/009nakamura.pdf
あとがき
ここに縦縞のハンカチがあるのね。それを手の中でごにょごにょとするうちに、あら、横縞のハンカチに変わってしまうのね。
「青年ライプニッツ会心の円周率発見」の経過も、かたちこそ違え、だいたいこんなものでしょう。
（一筋の糸に貫き通して合わせることを、統合 integrate といい、ほどいてバラバラにすることを、分析 analyze ということにしたとき）分数模様のシマシマ（縞々）が統合されている図式を、再び分析し、再び統合して、円のかたちを再発見した。
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ごにょごにょ
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．．．．１．１．１．１
Ｓ＝１−─＋─−─＋─−・・・ ∫(ｔ；0→1) 1/(1＋t2)
．．．．３．５．７．９私は、この式に基づいて円を描くことを求めていたのですが、
下膨れしていて、お世辞にも美しいといえないかたちが、手の中でごにょごにょとするうちに、整った四分円のかたちに変っていた。
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私が求めていたことからすると、どうやらこれが正解のようです。
私がこういう感想をいうのは、いままで私がしていた見方（左図）が円を描くに至らないものだったからですが、単位分数たちを重箱に押し詰めるようにして（その大きさの長方形に）かたどっておいて、π/４
という面積を切りわけていました。 ．．．．１．１．１．１。１ というものですが、これを手の中でごにょごにょしても、直角三角形が突っ張ったかたちになるのが関の山で、四分円の相にはならなかった。それで、三角形の直立辺が円の半周の長さをあらわしていてもどうにもならない。「過ぎたるは及ばざるがごとし」ですが、それを言うと、長方形の〔底辺×高さ〕で単位分数の大きさを表示してあるのがいけなかったようです。 |
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単位分数たちの体格はどれを見ても（横１、縦１）である。〔底辺×高さ〕は一様に
１×１＝１
になるので、外見した大きさは皆同じとしかいえない。 |
すべての界線が正方形（１）の２頂点において結束されている。（備考１）
ごにょごにょとするうちに、円を描くに至るのは、このかたちでした。（備考２）
.
備考１ １/２ は １/(１＋１) だということ。この筋をわきまえなかったお陰で、半年損しました。 2009.10.17記
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左図は、（１＋ｔ2
ではなくて）、１＋ｔ の面積グラフ（０≦ｔ≦１）です。 |
| ．．．．１．１．１．１．１．１．１．１ Ｓ＝１−─＋─−─＋─−─＋─−─＋─−・・・ ．．．．２．４．８．16．32．64．128 256 |
かわって、つぎの図の右半分は、１/（１＋ｔ）の面積グラフ（０≦ｔ≦１）ですが、この Ｓ も、単位分数列に従って、きれいに分けられます。
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これもまた、ごにょごにょする価値のある図形です。
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．．．．１．１．１．１．１．１．１．１
Ｓ＝１−─＋─−─＋─−─＋─−─＋─−・・・ ∫(ｔ；0→1) 1/(1＋t)
．．．．２．３．４．５．６．７．８．９１/３ は １/(１＋２) で、１/４ は １/(１＋３) だということですが、これを実数に拡げて、関数 ｙ＝ｆ(ｘ) のグラフにしてみる場合、
分数関数 ｙ＝１/(１＋ｘ), ０≦ｘ を範とすべきです。（うっかり 関数 ｙ＝１/ｘ の一部分〔１≦ｘ 〕だと思ってはいけない。）
とくに、分数が １/１ から １/２ になるまでの間、面積１を二者で分け合うようすをじっと見つめている状況なので、それぞれの手の内を明らかにした関数表現が望ましいわけですが、この意味でも、ｘ＝１/(１＋ｔ) は、歓迎されるべきです。
それで、ｘ＝１/(１＋ｔ2)、０≦ｘ は、このような分数関数のありかたを正しく継承した者といえます。両手に華の幸せに恵まれるのも当然です。
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左図は、１＋ｔ2
の面積グラフ（０≦ｔ≦１）です。 |
| ．．．．１．１．１．１．１．１ Ｓ＝１−─＋─−─＋─−─＋─−・・・ ．．．．３．９．27．81．243.729 |
備考２ 蚶（アカガイ）と蛤（ハマグリ）の微分積分術
蚶（アカガイ）
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蛤（ハマグリ）
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綴術 天才！祖仲之（429〜500）は、3．1415927＞円周率＞3．1415926 と見定めた人です。これが級数計算の結果だとは断定できませんが、彼がこのような級数を扱う綴術という数学を創始した人であることは事実です。（級数のことを英語でシリーズ（series）というのは、ネックレスのように綴られたもののことなので、まったくそのとおりです。） 祖仲之であれば、この美しい級数のことも当然考えていたとしても、円という美しい図形とのただならぬ関係を明らかにするのがまた大変な仕事であったことは、今ライプニッツに見たとおりです。
しかし、このようなことは、古事記のストーリーにも反映されているのではないか。蚶（アカガイ）と蛤（ハマグリ）の活躍を見てそう思う。大穴牟遅の神は、生来容貌がみにくかったので、醜男（しこお）とも呼ばれていた。
（大國主神。亦名謂大穴牟遲神。亦名謂葦原色許男神。亦名謂八千矛神。亦名謂宇都志國玉神。并有五名。）
大穴牟遅の神は、火の球を抱いて焼け死ぬが、蚶貝比賣と蛤貝比賣の献身的なエステ治療を受けて、麗しい青年になって生き返った。
（直前に、「青年シロウサギ会心の"個数走査法"発見！」というような話があります。）
| . 故爲如教其身如本也。此稻羽之素菟者也。 於今者謂菟神也。 故其菟白大穴牟遲神。此八十神者必不得八上比賣。
故爾八十神忿。欲殺大穴牟遲神共議而。 以火燒似猪大石而轉落。
爾其御祖命哭患而。參上于天。請神産巣日之命時。
爾{討虫}貝比賣岐佐宜【此三字以音】集而。 http://www.let.osaka-u.ac.jp/~okajima/kojiki1.txt |
そこで教えられたとおりにした（蒲の穂を敷き散らかしておいてその上を転げ回った）ところ、その身体は本どうりになりました。これが「稲羽の素兎」ですが、今では十二支の卯を支配するウサギの神になっています。 素は「素人」のシロで、もと（本、基、元、原、素）になる数、つまり自然数のこと。 その兎は大穴牟遅の神に対して「八十神たちはきっと八上比賣に振られる。従者になっているけれども、. 
を背負っているあなたという命（みこと）が彼女を獲得するでしょう。」と言いました。同じ時に、八上比賣は八十神たちに（夢の中で）返答して、「私はあなたたちの言うことは聞かずに、大穴牟遅の神の許に嫁ぐでしょう。」と言いました。思いがけない判定に激怒した八十神たちは、大穴牟遅の神を殺してしまえと謀議して、伯耆の国の入り口である手間山の麓に至ったとき、大穴牟遅の神に言いました。「この山には赤い猪がいるという。俺たちが大勢で追いつめて谷に落とすので、おまえは待ち受けて捕まえる。もしおまえがその赤猪を捕まえそこなったら、罰として俺たちがおまえを殺す。」 そう言っておきながら、 赤猪に似せて、それくらいの大きさのまるい石を真っ赤に焼いて、斜面に転がしたので、谷底にいた大穴牟遅の神は、逃げ落ちて来た赤猪をしっかりと受け止めたつもりが、実際には、真っ赤に焼けた石球に抱きついたので、全身に火傷を追って死んでしまいました。 息子の早世を知らされた御親の命は嘆き悲しみのあまり、天上に参上し、神産巣の命を訪ねて、愛しい息子を生き返らせることを請願したので、蚶貝比賣と蛤貝比賣が、遺体を作りなおして復活する任務を命じられて、現地に派遣されました。 たしかに、蚶貝比賣は、鋭くとがったギザギザ（岐佐宜；きさぎ）をたくさん集めており、蛤貝比賣は、細かいシマ模様を幾重にも重ねた水準のものさしを持っていたので、二人して、ギザギザ三角形の底辺から先端（きっさき）までの高さを、正確に測定することができました。火傷でギザギザになった肌に、二人して母乳液をたっぷり塗りこむうちに、球のように麗しい男前に成って生き返り、あちこちに遊びに行かれるようになりました。 |
