◆９⇒３の平方数｡

◆９⇒３次方陣のユニット数｡

◆９⇒２つの連続した３角数３と６の和である｡

◆９⇒連続した３つの階乗の和である｡（１！＋２！＋３！＝１＋２＋６＝９）

◆９⇒連続した２つの３乗数の和で表される唯一の平方数｡(１^３＋２^３＝３^２＝９)

◆９で割り切れる数は､各桁の数の和が９で割り切れる｡

◆<９‐40‐41>はピタゴラス数(ａ^２+ｂ^２=ｃ^２を満足させる自然数ａ,ｂ,ｃの組)である｡

◆９回⇒野球のインニング数｡

◆９人⇒野球の１チームの競技人数｡

◆９惑星⇒太陽系の主惑星の数｡最大が木星､最小が冥王星｡

◆９年⇒日本の義務教育の年数｡

◆９科目⇒日本の義務教育で学習する科目｡小学校で国語､社会､算数､理科､生活､音楽､図画工作､家庭､体育。中学校で国語､社会､数学､理科､音楽､美術､技術家庭､保健体育､外国語のそれぞれ９科目｡

◆９星⇒陰陽道での９つの星と五行と方位の組み合わせで吉凶を判断した｡一白(水星･北)､二黒(土星･西南)､三碧(木星･東)､四緑(木星･東南)､五黄(土星･中央)､六白(金星･西北)､七赤(金星･西)､八白(土星･東北)､九紫(火星･南)｡

◆９で割った余りを出す方法
　例：７５３８２
　　＝７×10000 ＋５×1000 ＋３×100 ＋８×10 ＋２
　　＝７×(9999＋１)＋５×(999＋1)＋３×(99＋１)＋８×(９＋１)＋２
　　＝７×9999＋７ ＋５×999＋５ ＋３×99＋３ ＋８×９ ＋２
　　＝７×9999 ＋５×999 ＋３×99 ＋８×９ ＋(７＋５＋３＋８＋２)
　　＝９(７×1111＋５×111＋３×11＋８) ＋(７＋５＋３＋８＋２)
　　　　※最後の１行の前半分は９の倍数であり、後半分は最初の数の各位の和である。
　　　　　和は７＋５＋３＋８＋２＝25｡これを再度２＋５＝７｡この<７>が余りである。

◆２桁の数では１０の位の数字と１の位の数字を入れ代えて作った数字と元の数字との絶対値は常に９の倍数である。
《実証》10→ 10−01＝９ (99＝100-１ ←100)
　　　　11→ 11−11＝０ ０＝99−99 ←99 ※２桁の数は10〜99の90個。
　　　　12→ 12−21＝−９ ９＝98−89 ←98
　　　　13→ 13−31＝−18 18＝97−79 ←97 ０も９の倍数である。
　　　　↓　 ↑ 　
　　　　48→ 48−84＝−36 36＝51−15 ←51
　　　　49→ 49−94＝−45 ⇔ 45＝50−５ ←50
《論証》10の位をＸ､１の位をＹとすると２桁の数は10Ｘ＋Ｙと表される｡ここで(10Ｘ＋Ｙ)−(10Ｙ−Ｘ)　　＝９Ｘ＋９Ｙ＝９(Ｘ−Ｙ)だから､Ｘ,Ｙがどんな基数(０〜９)でも９(Ｘ−Ｙ)は９の倍数である。

◆九去法
《加法》１７２５ １＋７＋２＋５＝15→ １＋５＝６
　　　　４０３１ ４＋０＋３＋１＝８→ ８
　　　　５８２３ ５＋８＋２＋３＝18→ １＋８＝９
　　　＋６７６８ ６＋７＋６＋９＝27→ ２＋７＝９（＋
　　　１８３４７ ３２
　　　　　　�A３＋２＝５
　　　　　　１＋８＋３＋４＋７＝23→�@２＋３＝５ �@＝�A＝５で計算は正しい。
《乗法》５５２ ５＋５＋２＝12→ １＋２＝３
　　　×　７６ ７＋６＝13→ 　　１＋３＝４（×
　　　３３１２ １２
　　　３８６４
　　　　　　４１９５２ �B１＋２＝３
　　　　　　４＋１＋９＋５＋２＝21→�C２＋１＝３ �B＋�C＝３で計算は正しい。

《減法》４８０４ ４＋８＋０＋４＝16→１＋６＝７ 16
−３４６４ ３＋４＋６＋４＝17→１＋７＝８（− ※　８（−
１３４０ ８�D
１＋４＋０＝８�E 　 �D＋�E＝８で計算は正しい。

◆２×９＝18 → １＋８＝９ 　　　　　　　◆123456789×９＝111111111
　３×９＝27 → ２＋７＝９ 　　　　　　　　123456789×18＝222222222
　４×９＝36 → ３＋６＝９ 　　　　　　　　123456789×27＝333333333
　５×９＝45 → ４＋５＝９　　　　　　　　 123456789×36＝444444444
　６×９＝54 → ５＋４＝９ 　　　　　　　　123456789×45＝555555555
　７×９＝63 → ６＋３＝９ 　　　　　　　　123456789×54＝666666666
　８×９＝72 → ７＋２＝９　　　　　　　　 123456789×63＝777777777
　９×９＝81 → ８＋１＝９　　　　　　　　 123456789×72＝888888888
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 123456789×81＝999999999
◆0×９＋１＝1
　 1×９＋２＝11
　 12×９＋３＝111
　 123×９＋４＝1111
　 1234×９＋５＝11111
　 12345×９＋６＝111111
　 123456×９＋７＝1111111
　 1234567×９＋８＝11111111
　 12345678×９＋９＝111111111