２次関数の問題をかんがえるときに、グラフの形を意識しない受験生が多いようです。２次関数・２次方程式の問題はどんな問題であれ、まずグラフの形をしっかりとかんがえなくてはいけません。特に、２次関数のグラフが６つの形に分類できることを意識して問題をといていくことが大切です。

　２次関数のグラフが６つあるとはどういうことでしょうか。まず、下の図をみてください。

２次関数 の６つの形

　この６つが２次関数の６つの形になります。まず、２次関数は の係数によって上に凸、下に凸の２つに分類されます。また、ｘ軸との交点の個数が２個であるか、１個であるか、ないかによって３つに分類されます。

　また、２次方程式 の解はグラフと ｘ軸との交点の ｘ 座標ですから、２次方程式の解の個数と ｘ 軸との交点の個数は一致します。

　このことをおさえてから次の例題をみていくことにしましょう。

例題１　２次関数 が異なる２点で ｘ 軸と交わるような ａ の範囲をもとめよ。

　この例題は簡単です。上の図をみてください。どれに相当しますか。最高次の係数が １ ですからグラフは左上の形になればいいわけです。そのための条件は Ｄ＞０　です。

解答　 より

 ここでは D/4 をとっています。ｘ の１次の項の係数が偶数のときには Ｄ/４ をとれるようにしておきましょう。

　いくつか基本的なものをおさえておきます。

例題２　２次方程式 が少なくとも １ つの解をもつような ｍ の範囲をもとめよ。

　この場合、上の表のどれに相当するかをかんがえると、少なくともということで１個か２個の解を持つわけですから左上と真ん中の上がこの場合になります。したがって、考える条件は Ｄ＞０ と Ｄ＝０ ですからまとめて Ｄ≧０ となります。

解答　 より

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