２次方程式の解の分離の問題ということもありますが、解の範囲に関する問題といったほうがわかりやすいのでこちらで統一します。解の範囲から２次方程式の係数の条件を求めたりする問題がこれに分類されます。早速例題をみていくことにしましょう。

例題１　２次方程式 が異なる２つの正の解をもつような定数 ａ の範囲を定めよ。

　さて、２次方程式がどのような解をもつかという問題を解の範囲の問題ということにします。解の範囲の問題では次の３つのことに着目します。

判別式の正負
軸の位置
境界での正負

　ひとつずつみていくことにしましょう。まず、この問題のように異なる２つの正の解をもつときにはグラフは下の左図のようになります。

　こうなるための条件を考えてみましょう。まず、x軸と２点で交わるためには 判別式が０以上でなければいけません。しかし、これだけではｘ軸の正の部分で交わるかどうかはわかりません。正の部分で交わるには軸（頂点のｘ座標）も０より大きくないといけません。この２つの条件をみたせばいいようなものですが、上の左と右の図を見比べて下さい。左図ではｘ軸の正の部分で２点とも交わっていますが、右図では１つは負の部分で交わっています。右図と左図のちがいは何でしょうか。X=０ の点の ｙ 座標を見てください。左は正ですが右図は負になっています。つまり でないといけません。この３つの条件がそろえば２つの異なる正の解をもちます。

　このように、グラフx軸との交点の範囲（方程式の解の範囲）を考えるときは、つねに上の赤で示した３つの条件を考えましょう。ここで境界での正負というのは、上の例題であれば ｘ＝０ での正負を考えることです。

２次方程式 が ａ より大きい２つの異なる解をもつ条件は Ｄ＞０、ｆ（ａ）＞０、軸＞ａ である。

解答　 より、

また、 より、軸は であるから、

これをといて、

さらに、 より ４−ａ＞０ これをといて、

(1)(2)(3) より、

　では次も同じ問題です。ただし、解の範囲が違います。

例題２　２次方程式 が異なる２つの負の解をもつような定数 ａ の範囲を定めよ。

　同じように考えてみましょう。さっきとちがうのは、２つの負の解というところだけです。グラフは下図のようになります。

　グラフがこのようになるにはまず判別式が正、軸の位置は負でないといけません。さらに ｘ＝０ のときグラフは正になっています。

２次方程式 が ａ より小さい２つの異なる解をもつ条件は Ｄ＞０、ｆ（ａ）＞０、軸＜ａ である。

　さっきの条件と違うのは、軸の部分だけです。

解答　 より

また、軸＜０ より 　よって

ｆ（０）＞０ より

(1)(2)(3) より、

例題３　２次方程式 が正の解と負の解をもつような定数 ａ の範囲を定めよ。

　こんどは、正の解と負の解ということで、グラフは下のようになります。

　この場合、まず判別式は正になります。軸は正負どちらにあってもかまいませんので、軸の条件はいりません。また、ｆ（０） は今までと違い負になります。ところが、ｆ（０）が負になるときは、グラフの形状から必ずｘ軸と２点で交わります。したがって、判別式も必要なくなります。じつは判別式はとってもとらなくても答は同じになります。

２次方程式 が ａ より小さい解と大きい解をもつ条件は ｆ（ａ）＜０ である。

解答　ｆ（０）＝４−ａ＜０　より ａ＞４

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