絶対値は、教科書では扱いが軽いけれども入試では必須事項です。ここでは絶対値を含む関数のグラフ、方程式、不等式について考えてみたいと思います。

　 とは数直線上において原点から ａ までの距離をいいますが、あまり難しく考えないことです。|３|=３、|−４|=４ というように絶対値の内部を正にかえたものと思ってかまいません。

　問題文中に絶対値が出てきたらその絶対値をなくさなくてはいけません。これを絶対値をはずすといいます。絶対値をはずすにはグラフ、方程式、不等式それぞれに特有の方法がありますが、基本は次の考え方です。

｜Ａ｜ の絶対値のはずし方→
絶対値の内部の正負で場合分けをする。
 Ａ≧０ のとき ｜Ａ｜＝Ａ、Ａ≦０ のとき ｜Ａ｜＝−Ａ

　絶対値は |３|＝３ のように絶対値の中身が０以上ならば絶対値の内部がそのまま絶対値をはずしたものになります。また　 のように絶対値の内部が０以下であれば絶対値の内部の符号をかえたものが外に出てきます。このとき、 のように絶対値の内部が０以下であれば絶対値の内部にマイナスをつけたものが外に出てきます。これが の意味です。このとき、−Ａ というのは Ａ が負であるときには逆に正になることに注意してください。

　 という式を考えてみましょう。次の表をみてください。

ｘの値

−２

−１

０

１

２

３

４

５

６

|ｘ−２|

４

３

２

１

０

１

２

３

４

ｘ−２

−４

−３

−２

−１

０

１

２

３

４

−ｘ＋２

４

３

２

１

０

−１

−２

−３

−４

　いま |ｘ−２| のｘにさまざまな値を代入したものが２行目に書いてあります。３行目は ｘ−２ の値です。４行目には −ｘ＋２ つまり絶対値の内部にマイナスをつけたもの −（ｘ−２） の値が書いてあります。

　この表では絶対値の内部 ｘ−２ が０以上のとき、つまり ｘ≧２ のときは |ｘ−２| の値と ｘ−２ の値は同じものになっています。また、絶対値の内部 ｘ−２ が０以下のとき、つまり ｘ≦２ のときは |ｘ−２| の値と −（ｘ−２） の値が同じになっています。

　したがって |ｘ−２| は ｘ≧２ では ｘ−２ と等しく、ｘ≦２ では −（ｘ−２） と等しくなっています。これが絶対値のはずし方の基本です。このとき、等号がどちらかにしかついていない参考書なども多いですが、別に両方につけてもかまいません。ただ、どちらにもつかないのはダメです。この法法ではどんな絶対値もはずすことができますが、おうおうにしてこの方法は七面倒くさいものです。したがってこの方法は最後にとっておくのがいいでしょう。グラフや方程式・不等式それぞれについて簡単なはずし方があるものもありますので、同時に解説していきます。

まずは絶対値を含む関数のグラフです。

例題１　次の関数のグラフをかけ。
（１）　
（２）　
（３）　
（４）　
（５）　

　絶対値のはいったグラフをかく方法は２つあります。

  • のように右辺全体に絶対値がついているものは、 のグラフをかいて ｘ軸より下の部分を上に折り返す。
  • それ以外は絶対値の内部の正負で場合分けをする。

　順にみていきましょう。（１）や（２）のグラフは２番目の方法でもかけますが、右辺全体に絶対値がついているので最初の方法でかくほうが楽です。（３）や（４）や（５）は２番目の方法で書きましょう。

　まず（１）です。下図のように のグラフをかいてｘ軸の下の部分を折り紙をおるように上に折り返してください。それが求めるグラフになります。このとき、折り返す前の部分は点線でかくようにしてください。

解答（１）　　

　　　　　　　　　　　　　　　

　（２）も同様です。２次関数ですが大切なのは頂点ではなくｘ軸との交点です。頂点は平方完成してより と求められます。また、ｘ軸との交点は をといて ｘ＝1，３ となります。したがってグラフは下図のようになります。

解答（２）

                                

　（３）は絶対値が右辺の一部にしかついいていません。したがって、絶対値の内部の正負で場合分けをする必要があります。ｘ−２≧０のとき、つまり ｘ≧２ のときは ｙ＝ｘ−２＋２ｘ＝３ｘ−２ のグラフをかけばいいですし、ｘ−２≦０ のとき、つまり ｘ≦２ のときは ｙ＝−（ｘ−２）＋２ｘ＝ｘ＋２ のグラフをかけばいいことになります。この２つのグラフは ｘ＝２ のところで必ずつながって連続になります。

解答（３）

　　　　　　　　　　　　　　

 　（４）も右辺全体に絶対値がついているタイプではないので絶対値の内部の正負で場合分けを行います。絶対値の内部は ｙ ですから ｙ の正負で場合分けします。ｙ≧０ のとき与式は となり、ｙ≦０ のとき与式は つまり となります。また、 より ｘ＝１，２ がｘ軸との交点であり、これは２つの式に共通です。したがってグラフは次のようになります。ここでｙ≧０ は ｘ軸の上の部分をさし ｙ≦０ は ｘ軸の下の部分をさします。

解答（４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　（５）は絶対値が２つついています。この場合は、場合分けが少し面倒になります。

　まず |ｘ−１| は ｘ≧０ のときに ｘ−１ と同じになりますし、ｘ≦０ のときに −（ｘ−１） つまり −ｘ＋１ と同じ意味になります。また、|ｘ−２| は ｘ≧２ のときに ｘ−２、ｘ≦２ のときに −ｘ＋２ となります。

　　　　　　　　　　　　　　　

　したがって上の図からわかるように、与式は次のようになります。
　　　　　　　ｘ≦１ のとき 　　　　与式＝−ｘ＋１−ｘ＋２＝−２ｘ＋３
　　　　　　　１≦ｘ≦２ のとき　　与式＝ｘ−１−ｘ＋２＝１
　　　　　　　２≦ｘ のとき　　　　 与式＝ｘ−１＋ｘ−２＝２ｘ−３
　　　　　　　　　　　　　　

 

 

  

 　　　　　　　　　　　　1/2