何か条件が与えられてときに式の値を求める問題には多くのパターンがあります。入試ではそれが単独で問われることもありますが他の問題をとく際に必要になることもあります。しっかりとおさえておきましょう。早速例題をみていったほうがわかりやすいと思います。

例題１　 のとき、次の式の値を求めよ。
（１）　
（２）　
（３）　
（４）　ｘ−ｙ

　これは対称式の問題です。対称式とはｘ と ｙ を交換しても変わらない式のことです。たとえば、 の ｘ と ｙ を交換すると となります。この２式は同じ式です。したがって は対称式ということができます。この問題の（１）から（３）まではすべて対称式です。一方、ｘ−ｙ や は ｘ と ｙ を交換すると ｙ−ｘ、 となりもとのしきと同じ式にはなりません。したがってこれらは対称式ではありません。

　対称式はすべて基本対称式といわれる ｘ＋ｙ と ｘｙ によって表すことができます。たとえば、

のようになります。したがって与えられた ｘ と ｙ をそのまま代入するのではなく ｘ＋ｙ と ｘｙ を求めてから代入するのが効率的です。

解答　

より、ｘ＋ｙ＝１０、ｘｙ＝１ である。したがって

（１）　

（２）

この問題は を用いてもかまいません。

（３）

　さて（４）ですが、これは対称式ではありません。したがって対称式のようにそのまま代入はできません。まず を求めてやります。

解答（４）　  したがって

しかしここで、あきらかに ｘ＜ｙ なので ｘ−ｙ＜０ である。したがって

　さて、この対称式の考え方は今後いろいろなところででてきます。たとえば次の例題のようになります。

例題２　次の式の値を求めよ。
（１）　  のとき、 の値を求めよ。
（２）　 のとき、 の値を求めよ。

　じつはどちらも対称式の問題の一種になります。まず（１）ですが、 を平方してみると、 となります。これを利用します。

解答（１）　 の両辺を平方して    したがって

　（２）は三角比でおなじことをしますが、ここでは が成り立つことを利用して、まず を求めます。

解答（２）　 の両辺を平方して

よって   なので

また、 より



 

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