まず、問題を見て群数列とは何かを理解して下さい。

例題１　第ｎ群にｎ個の奇数を含む次のような数列を考える。

（１）　第ｎ群に属するすべての奇数の和を求めよ。
（２）　９９ は第何群の何項目か。

　このように項がいくつかに分けられている形の数列を群数列といいます。群数列の問題は一般に難しいと考えられていますが次のことを問題をとく前に考えることで解決します。

群数列の解法

第ｎ群に含まれる項の数を求める。
第１群から第ｎ群までに含まれる項の総数を求める。
第ｎ群の初項がはじめから数えて第何項にあたるかを考える
→第ｎ群の初項＝第ｎ−１群までに含まれる項数＋１

　ひとつずつ考えていきましょう。まず、第ｎ群に含まれる項数ですが、第１群には１個、第２群には２個第３群には３個の項が含まれていますので、第ｎ群にはｎ個の項が含まれていることになります。

　次に第１群から第ｎ群までに含まれる項の総数は １＋２＋３＋・・・・＋ｎ を計算すればいいわけです。これは と書けますが、 ぐらいはよく使いますので覚えておきましょう。

　さて、３番目の第ｎ群の初項がはじめ（つまり第１群の初項）から数えて何項目になるかですが、第ｎ−１群までに含まれる項の総数は の ｎ の中に ｎ−１ を代入すれば出てきます。つまり です。この次の項が第ｎ群の初項になりますから、第ｎ群の初項ははじめから数えて 項になります。

　ここまで求めればあとは問題にしたがって解答していきます。（１）では第ｎ群に含まれる項の和を求めます。この数列の第ｋ項は で表されますから、第ｎ群はこのｋの中に先ほど求めた を代入して が初項になります。これからｎ項の和を等差数列の和の公式で求めてやります。

解答（１）　第ｎ群の最初の項は 　なので、求める和は

　さて、次は９９が第何項に含まれるかという問題です。まず、９９が第１群の最初から何項目にあるかを考えます。これは をとけばいいので、ｋ＝５０項目と求まります。あとは５０番目の数が何群に含まれるかを考えます。ここで、第１群から第ｎ群に含まれる項数は でしたので、 を満たす整数 ｎ を求めるとそれが含まれる群の数になります。ここで、この不等式をまともに解いてはいけません。まともに解くと根号が出てくる可能性があります。あくまで整数 ｎ を求めるだけですから整数を代入し満たすものを考えることにします。

解答（２）　２ｋ−１＝９９ をといて ｋ＝５０、つまり９９ははじめから数えて第５０項になる。

より       

ここで、９×１０＝９０、１０×１１＝１１０ よりこの式を満たす最大の ｎ は ｎ＝１０、つまり ９９ は第１０群に含まれる。第９群までに含まれる項数は であるから、第５０項めである９９は第１０群の第５項

 

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