図形と式のところで最も重要なのは円と直線の関係です。これについていくつかのことをまとめておきましょう。

　まず、円と直線交点は連立方程式で求めるということは大丈夫でしょう。では、円と直線の関係についてはどうでしょうか。次の例題をみてください。

例題１　円 と直線 が異なる２点Ｐ、Ｑ で交わっている。
（１）　ａ の値の範囲を求めよ。
（２）　Ｐ、Ｑ 間の距離が であるとき、ａ の値を求めよ。

　まず、直線と円の関係には３種類あります。交わるか、接するか、交点をもたないかです。それぞれの見分け方は判別式をつかってもいいのですが、式が複雑になる傾向があります。そこでふつうは点と直線の距離の公式を用います。点と直線の距離の公式は忘れている人が多いのでチェックしておくと

点（α、β）と直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ の距離は

　円と直線の場合は、円の中心と直線の距離を用います。これが半径よりも小さい場合は円と直線は交わりますし、ちょうど半径と等しくなると円と直線は接します。また半径よりも大きくなると交点をもちません。つまり、下の図のようになります。

　したがって、円と直線が異なる２点で交わる条件は 中心と直線の距離＜半径 となります。

解答（１）　原点と直線 ａｘ−ｙ−５ａ＋５＝０ の距離が半径より小さくなればいいので、

両辺正よりこの式の両辺を平方して分母をはらうと   

これより  よって

　さて（２）ですが、こんどは図をしっかりとかいてみましょう。

　ここで説明の都合上中心を Ｏ、Ｏから直線におろした垂線の足を Ｈ としておきます。このように、円と直線が交わっている問題では必ず半径 ＯＰ、ＯＱ を引いてください。すると三角形 ＯＰＱ は二等辺三角形となり なので、 になります。また、 ですから、三角形 ＯＰＨ に三平方の定理を使うと ａ が求まります。

解答（２）　 より、 したがって

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