初等的

　「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」は「ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの大失敗　質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」と「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明　考察２」と「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明　考察３」から成り立つ。それは良いのだが各々考えながら書いたものだから主張が異なってしまった。これはﾏｽﾞｲ。読者を混乱させる。

　この種の物は結論をﾊｯｷﾘさせなければならない。ﾊｯｷﾘさせると言うことはﾊｯｷﾘ書くことだがそれでは少々不足で多少強調させなければならない。よくあることだが「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ」なんかは最後の最後まで読まなければ結局どうなるのか理解できない記述がある。所詮双子が会って別れてまた合うだけの話だ。書いた本人は論理を強調したいのかもしれないだろうが、読者にとっては再会した時どっちがどうなるのかにより読み方が異なるはずだ。まずは通読して結論を知った上でその理由を検証する。これが正しい理解あるいは批判のやり方である。

　あまり厳しく言うと読者に嫌われるのだが(^^)

　人生ｲﾛｲﾛ、論文もｲﾛｲﾛであるならたとえ間違っていようとひとつのﾃ-ﾏには首尾一貫してひとつの結論を主張しなければならない。ｳｿならｳｿで考え方や論理の間違いを指摘してもらう。ﾏｺﾄならそれを他の原理や法則に当てはめてみる。そうやって論理は発展する。

　そんなわけで上記３個のﾚﾎﾟ-ﾄを要点をまとめてひとつにしてみました。前置きが長くなりましたけどご容赦を！

1)　「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」の概要

1946年にｱｲﾝｼｭﾀｲﾝが出した「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」はどうも胡散臭く信じ難いように思われた。

でもまずはｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの論文に添って論理を展開して見る。なお微妙なニュアンスはパクパク流に置換えている。

重さMの鉄球に左右から電磁波～を照射する。左上の図は鉄球が静止している系で見た場合を示す。電磁波の照射前後で鉄球は静止したままである。

それをそのまま　　つまり鉄球が速度ｖで動くようにみえる慣性系から見た場合を示す。

電磁波のｴﾈﾙｷﾞ-は各々E/2　全体でEとする。ﾏｯｸｽｳｴﾙによるとこの電磁波の運動量は各々E/(2C)である。

鉄球が速度ｖで動く系では鉄球は各々の電磁波から上方向の運動量E/(2C)sinαを受け取るであろう。この時

sinα=v/Cであるので　sinα=v/Cであるから各々の電磁波から上方向の運動量はEv/(2C^2)である。鉄球としては全体で上方向にEv/C^2の運動量を受け取る。

ここに鉄球が運動量を受け取りその結果質量がMからM’に増加したのなら（運動量保存の法則で）

Mv+Ev/C^2=M’v

となるであろう。この式から　M’-M=E/C^2　となる。

これこそ質量の増加（M’-M）は　ｴﾈﾙｷﾞ-の増加　E/C^2　をともなうものである。end

本文は皮肉にも『相対性理論はやはり間違っていた　徳間書房』に載っておりしかも数式が間違っていた。文章も少々分かり難い。文章は分かり易く、数式は訂正して載せておいた。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

うまく書かれている。だがどこか胡散臭さが漂う。どこに胡散臭さがあるか検証しよう。

もう1度基準系をみてみる。反応前には電磁波の運動量がふたつ　E/2C,-E/2C　あるのだが、向きが逆だから合成すれば０である。そして反応後も運動量は消えていて０である。

よって運動量による鉄球の速度変化はﾅｲ。ただ慣性系からの計算ではこの時鉄球の質量MはM’にならないといけない。この質量の変化は運動量では説明できない。そうすると電磁波がもっていたｴﾈﾙｷﾞ-合計　E　を鉄球が吸収したために質量が変化したとしか言えまい。

だが電磁波がもっていたｴﾈﾙｷﾞ-を鉄球が吸収したために質量が変化したとは、新年は明けたが、よほどｵﾒﾃﾞﾀｲ人でなければ言えまい。ｴﾈﾙｷﾞ-はｲﾛｲﾛな形態を取る。実験したらｴﾈﾙｷﾞ-を鉄球が吸収して鉄球の温度がﾁｮｯﾄ高くなるのが関の山だろう。その方が自然だ！

　では鉄球の温度がﾁｮｯﾄ高くなるとして検証してみる。

２)純ﾆｭ-ﾄﾝ力学的考察　鉄球に弾を当てれば鉄球の温度が上がる

運動量保存の法則とｴﾈﾙｷﾞ-保存の法則がどう関係しているのかをﾊｯｷﾘさせるためにピストルを右から撃った場合だけを想定する。

鉄球は質量がM→M+mに変化して速度Vで右に動く。

それをｴﾈﾙｷﾞ-保存の法則と運動量保存の法則を書くとこうなる。

(1/2)mｖ₀^2=(1/2)(M+m)V^2+E(etc)　　；ｴﾈﾙｷﾞ-保存の法則

mv₀=(M+m)V　　　；運動量保存の法則

このE(etc)こそが弾は鉄球に食い込むだろし、バシッと言う音も出るだろうし、火花も散るだろうし、鉄球の温度も上がるためのｴﾈﾙｷﾞ-である。ｲﾛｲﾛあるのでE(etc)とする。ｳｿかﾏｺﾄか実際に計算してみよう。

E(etc)=(1/2)mｖ₀^2-(1/2)(M+m)V^2

として運動量保存の法則から出る　V=(m/(M+m))ｖ₀　を代入すると　E(etc)=(1/2)mｖ₀^2（1-m/(M+m))　となる。弾の元々のｴﾈﾙｷﾞ-をEとすれば

　E(etc)=E（1-m/(M+m))

ちゃんと出る。Mが大きくmが小さいほど弾は鉄球に食い込み、バシッと言う音が出て、火花が散り、鉄球の温度が上がるわけだ。

　計算だけでなく図でも同じことが言える。図は後にまとめて説明するが『純ﾆｭ-ﾄﾝ力学のV-P図』とする。計算でE(etc)と表現したｴﾈﾙｷﾞ-とは図の赤い部分である。これが弾は鉄球に食い込み、バシッと言う音が出て、火花が散り、鉄球の温度が上がるわけだ。

3）ハ－フ力学(?)考察　

3-1)鉄球に電磁波を当てても鉄球の温度が上がる！

だが実際にぶつかるのは電磁波である。弾から電磁波に置換えても同じｺﾄが言えるのか？　そこでを電磁波に置換えて考える。電磁波はｴﾈﾙｷﾞ-E、運動量E/Cを持っているから電磁波を吸収した鉄球はｴﾈﾙｷﾞ-E、運動量E/Cをまるまる受け取る。

その結果　鉄球は左に速度Vで動く。速度Vは充分に遅いからﾆｭ-ﾄﾝ力学が成立する。

E=(1/2)MV^2+E(etc)　　；ｴﾈﾙｷﾞ-保存の法則

E/C=MV　　　；運動量保存の法則

E(etc)=E-(1/2)MV^2

=E-(1/2)M(E/CM)^2

=E-(1/2)(E^2/(MC^2)

=E(1-E/(2MC^2))

右側から弾を受けても電磁波を受けても鉄球は左側に速度Vでﾉﾛﾉﾛ動く。これもまた図示が可能である。ただ図は電磁波を扱うため純ﾆｭ-ﾄﾝ力学を拡張したハ－フ力学(?)で扱う。ハ－フ力学は次項でﾁｬﾝと説明します。

　計算だけでなく図でも同じことが言える。これも後にまとめて説明するが『ハ－フ力学(?)のV-P図』とする。計算でE(etc)と表現したｴﾈﾙｷﾞ-とは図の赤い部分である。これが弾は鉄球に食い込み、バシッと言う音が出て、火花が散り、鉄球の温度が上がると言いたいのだがさすがに弾は鉄球に食い込み、バシッと言う音が出て、火花が散るわけにはいかない。だが　鉄球の温度が上がるだけは認めなければなるまい。

　要するにｴﾈﾙｷﾞ-を鉄球が吸収して鉄球の温度がﾁｮｯﾄ高くなるのが関の山と言うのはそれなりに正しい。ただしこの設定、純ﾆｭ-ﾄﾝ力学、ハ－フ力学(?)に限ってである。

　3-2)実験は無理

　温度が上がるのは良いとしても鉄球に光を当てて鉄球が動くかとなるとこれはまず無理である。簡単に計算できる。鉄球を１ｇとして最終的に1cm/秒の速度を得るように光を当ててみよう。すると最終的に得なければならない運動量は

P=1*10^(-3)*1*10^(-2)

=10^(-5) 　　　単位；kg・m/s

　である。そのC倍が当てる光のｴﾈﾙｷﾞ-であり、

　E=P*3*10^8

=3*10^3 　ｼﾞｭ-ﾙ

　1個の光子では無理なので光子の集団で受けとめるにしても、3000ｼﾞｭ-ﾙのｴﾈﾙｷﾞ-を吸収する。鉄の比熱は　0．64　j/g/k 　である。つまり鉄１ｇの温度が１deg上がるのに必要なｴﾈﾙｷﾞ-は0．64　ｼﾞｭ-ﾙである。（理科年表より）

よって3000ｼﾞｭ-ﾙのｴﾈﾙｷﾞ-は3000/0．64=4688deg 室温を考えれば約4700℃になるのだが鉄の融点は1535℃、沸点は2754℃であるから．．．．．．まぁ　光を当てた途端、動き出す前に爆発的に蒸発してしまうであろう。（＾＾）

4)各種力学の紹介

　4-1)純ﾆｭ-ﾄﾝ力学、ハ－フ力学(?)、相対論的力学

　質量M、速度V、運動量P、ｴﾈﾙｷﾞ-E　は純ﾆｭ-ﾄﾝ力学では P=m0V,E=(1/2)m0V^2　と表せる。それを図にしたのが上記の右側の図である。原点を通る直線はV=(1/m0)Pである。ｴﾈﾙｷﾞ-Eは図よりE=PV/2となるが、簡単にE=（m0/2)V^2であることはわかるだろう。

　ハ－フ力学(?)は相対論的力学と純ﾆｭ-ﾄﾝ力学の中間(ﾊ-ﾌ)的存在である。概念は純ﾆｭ-ﾄﾝ力学の延長にある。運動量Pは静止質量m0を用いて　P=m0V/√(1-V^2/C-2)　となる。ｴﾈﾙｷﾞ-もそれに合わせて少々ややこしくなる。電磁波を取り扱う時は電磁波のE，Pの関係式　E=P/C　よりこのV-P図を使わざるを得ない。

　このふたつは先に使ったようにそれなりに有効である。

　そして相対論的力学！　見かけ上はハ－フ力学(?)にm0C^2が加わっただけであるのだがこの出所はかなり奇妙なところがある。「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」にもそれを暗示する部分があるが気が付かないと出てこない。「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」の隠れた原理である。以下ﾊｲﾗｲﾄであり、同時に問題点であるこの部分は少しﾍﾟ-ｼﾞを裂いて説明する。

　4-2)相対論的力学　V-P図の出所

我ｻｲﾄ第1部第4章「高校生が解くE=MC^2」の４－３）再度エネルギ－に下記の記述がある。

V=0の時E=0とならなければならないので

0=M0C^2+C　　→　 C=-M0C^2

E=M0C^2((1-V^2/C^2)^(-1/2)-M0C^2　　；最終的な式

E=M0C^2/√(1-V^2/C^2)-M0C^2　　；同じ意味（書き換え）

M0C^2/√(1-V^2/C^2)=E+M0C^2　；解釈のため順番を書き変える

上の式の右辺を書いたのが相対論的力学　V-P図（左）である。『考察２　球と光』にも登場した。

ところでこれを　M0/√(1-V^2/C^2)→M’　M0→M　とﾁｶﾝﾁｶﾝのｾｸﾊﾗ行為をすると(^^)

M'’C^2=E+MC^2

となる。この式は「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」に出て来る式Mv+Ev/C^2=M’v　からも導ける。「高校生が解くE=MC^2」は「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」とまるっきり異なる条件で出したにもかかわらず、繋がっている。

　　4-3)m0C^2の出し方

紫の面積がm0C^2であることは図のように縦横を変換して

　S=∫₀^CPdV 　　P=m0V/√(1-V^2/C-2)

　とおくことで計算できる。具体的にはV/C=sinθとすれば　V=Csinθ　dV=Ccosθdθより

S=∫₀^CPdV

=∫₀^Cm0V/√(1-V^2/C-2)dV

=∫₀^2/πm0(Csinθ/cosθ)Ccosθdθ　；V=Csinθ　dV=Ccosθdθ代入

= ∫₀^2/πm0C^2sinθdθ

= m0C^2∫₀^2/πsinθdθ=m0C^2 　　　end

5)　E=mC^2　の解釈

　　5-1)E=mC^2　の解釈MからM’に増加したのなら

「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」の中にあるMからM’に増加したのならと言う表現に注目する。図は再々出て来るが

M0C^2/√(1-V^2/C^2)=E+M0C^2

の右辺をそのまま表している。すなわち全ｴﾈﾙｷﾞ-はE（水色）＋m0C^2（紫）であり、原点付近の傾きは1/m0であり、この物体は速度ｖ、運動量Pを持っている。注目すべきはｴﾈﾙｷﾞ-としてEとm0C^2しかないことである。

　　よってMからM’に増加したのならはｴﾈﾙｷﾞ-としてEとm0C^2しかないと解釈することで関連付けられる。

　　Mv+Ev/C^2=M’v　と　M0C^2/√(1-V^2/C^2)=E+M0C^2　は出所が異なり、それによって初期の意味付けが違うのだが、どちらもﾆｭ-ﾄﾝ力学の延長線にあり、運動量保存の法則とｴﾈﾙｷﾞ-保存の法則を指導原理として導かれる。そして両者ともｴﾈﾙｷﾞ-としてE（運動ｴﾈﾙｷﾞ-）とm0C^2しかない。これは純ﾆｭ-ﾄﾝ力学、ハ－フ力学(?)で熱ｴﾈﾙｷﾞ-を容認したのと根本的に思考が異なる。M0/√(1-V^2/C^2)→M’　M0→M　とﾁｶﾝﾁｶﾝしてｾｸﾊﾗすると(^^)

M'’C^2=E+MC^2となる。

　これも容認するなら

　5-2)相対論では物質の全ｴﾈﾙｷﾞ-はMC^2　に統一される。　　 MC^2=E+M0C^2

　　　ﾆｭ-ﾄﾝ力学では E=(1/2)M0V^2 　である。

　　　　　　　相対論とﾆｭ-ﾄﾝ力学の関係

MC^2=E+M0C^2→E=MC^2-M0C^2 　　；M=M0/√(1-V^2/C^2)

よって

E=M0C^2(1/√(1-V^2/C^2)-1)

=M0C^2(1+(1/2)V^2/C^2-1)　；マクロ－リン展開

=(1/2)M0V^2

　5-3)相対論では物質の全運動量はMV　に統一される。　　　　P=MV

　　　　ﾆｭ-ﾄﾝ力学では P=M0V 　である。

　　　　　　　相対論とﾆｭ-ﾄﾝ力学の関係

P=MV　　；M=M0/√(1-V^2/C^2)

よって　V/C≒0とおけるならM=M0だから

P=M0V

　としなければならない。それだけ認めるならこうなる。

　5-4）相対論的力学の考察　鉄球に電磁波を当てると鉄球の質量が増える。

　２)純ﾆｭ-ﾄﾝ力学的考察　鉄球に弾を当てれば鉄球の温度が上がる

　3）ハ－フ力学(?)考察　鉄球に電磁波を当てても鉄球の温度が上がる！

　と同じ手法でかつ熱ｴﾈﾙｷﾞ-を認めないで書くと上のようになる。ここで初めて電磁波のｴﾈﾙｷﾞ-によって質量が増えるだろうと予言することができる。ｴﾈﾙｷﾞ-としてE（運動ｴﾈﾙｷﾞ-）とm0C^2しかないからである。

　ｴﾈﾙｷﾞ-としてE（運動ｴﾈﾙｷﾞ-）とm0C^2しかないと言うことはどう言うことかを次に考察する。

　6）相対論的力学考察　温度を無視せよ！　素粒子だから！

　物体は分子から出来ており、分子は固体、液体、気体の３体(?)をとる。これらはいずれも粒子の塊(ｶﾀﾏﾘ)、集団である。そしてその構成粒子がﾊﾞﾗﾊﾞﾗに動くことにより熱ｴﾈﾙｷﾞ-を蓄えるｼｽﾃﾑを持つ。粒子の塊(ｶﾀﾏﾘ)、集団で、ﾊﾞﾗﾊﾞﾗに動くことが熱の特徴である。固体の場合特に金属では結晶構造を取り結晶格子点に金属原子が収まっている。その原子がﾌﾟﾙﾌﾟﾙ震えたり回転することで熱ｴﾈﾙｷﾞ-を持つ。

　液体の場合は格子点はない。各分子は自由にﾊﾞﾗﾊﾞﾗに動き回り回転する。その動きと回転が熱ｴﾈﾙｷﾞ-を持つシステムを構成する。

　気体の場合さらにモル比熱がある。簡単に言えば気体(稀ｶﾞｽ　ﾈｵﾝ等）１ﾓﾙ（→0℃１気圧で22．4ﾘｯﾄﾙ、個数6.02*10²³個の量のこと)は温度Tの状態にある時、１分子（原子）は(3/2)ｋTのエネルギ－を有する。

　これがH2,O2,N2等の鉄アレイ構造の分子では１分子あたり(5/2)ｋTのエネルギ－を有する。ここにｋはボルツマン定数1.38*10^-16ｴﾙｸﾞ/degである。

　稀ｶﾞｽ（ﾈｵﾝ等）の球形構造分子（原子）はｘ、ｙ、ｚ3方向しか運動方向を持たない(ｺﾚを自由度３と言う）、そして(3/2)ｋTのエネルギ－を有するのは１自由度につき(1/2)ｋTのエネルギ－を割り当てられるからとされている。

　と言うことは、分子でも希ガス(分子＝原子)は回転のｴﾈﾙｷﾞ-を保持する機構がないことになる。

　そして分子または原子の集団でなく素粒子となると、x,y,z　3方向の運動ｴﾈﾙｷﾞ-は持つだろうが回転ｴﾈﾙｷﾞ-は持てないし、単独であるから熱ｴﾈﾙｷﾞ-の概念が運動ｴﾈﾙｷﾞ-の中に消滅する。ここにｴﾈﾙｷﾞ-としてE（運動ｴﾈﾙｷﾞ-）とm0C^2しかない状態が出現する。

　参考；第2部第6章雑学理論（エントロピ－）の気体の比熱

７)　その他

　このﾚﾎﾟ-ﾄを書く直接の原因は「鉄球に電磁波を当てると鉄球の質量が増える」ことを正しいとした時、式としてdm=C^2dE　を認めた時、何が出るのかを計算したことである。この関係を認めると　式dE=C^2(dm)から　式m=m0/√(1-v^2/C^2)　が導かれる。

　実際に書くと

　dE=C^2(dm)を正しいとする。これにﾆｭ-ﾄﾝ力学の　dE=F(dL) 　と　F=d(mv)/dt 　を加えて反応(?)させると．．．．

E=mC^2　→　 dE=C^2(dm)

E=FL →　dE=F(dL) 　；ﾆｭ-ﾄﾝ力学より　dF=0

F(dL)=C^2(dm)　；合成

f=d(mv)/dt =m(dv/dt)+v(dm/dt)　；ﾆｭ-ﾄﾝ力学より

(mdv+v(dm))(dL/dt)=C^2(dm)　合成

mvdv+v^2dm=C^2(dm)　　；(dL/dt)=vとする。

(C^2-v^2)dm=mvdｖ　；まとめる

(1/m)dm=(v/(C^2-v^2))dv　；両辺に1/mをかけて整理

In(m)=(-1/2) ln(C^2-v^2)+ ln(a)　；積分する　In(a)；積分定数

m=a/√(C^2-v^2) 　；In　を解く

v=0　で　m=m0　とすれば

m0=a/C　→　a=m0C

よって

m=m0/√(1-v^2/C^2) である。end

ではこのm=m0/√(1-v^2/C^2)　とは何か？　簡単に『高速度になると質量が増える』と結論付けてはいけない。下記の定義を思い出していただきたい。

相対論では物質の全運動量はMV　に統一される。　P=MVである。5-3)参照

　それであるからV-P図をV,Pを逆に書くなら（図）　M=P/V　である。すなわち図の青い線の傾きにしか過ぎない。もちろん原点付近ではこれはM0である。

　V-P図では質量を決めると原点を通る曲線が一本決定してしまう。本当に質量が変わることは質量曲線(?)そのものが変わることである。単にP/Vが一定でないのは質量その物の増減ではない。ここは我ｻｲﾄ第一章『速度が増しても質量は増加しないと言うこと』の通り、速度によって質量は増減しない。

　解釈本では『高速度になると質量が増える』ことからE=MC^2を導くﾄﾝﾃﾞﾓが存在している。

８)結論

　このﾚﾎﾟ-ﾄは本文「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」の半分、鉄球に片側から電磁波を当てた場合のみで終ってしまった。本文の通りに図示して行くことは難しい。それでもその半分を完全に理解するのは結構至難のワザだ。

　「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」は疑う余地は一点もないと言うならとりあえずはそれで良いし、否信じられないならとりあえずはそれで良い。とりあえずは良い。だが頑なに自説を固持するだけならそこで終る。発展はない。ｳｿならｳｿで考え方や論理の間違いを指摘してもらう。ﾏｺﾄならそれを他の原理や法則に当てはめてみる。そうやって論理は発展する。

　このﾚﾎﾟ-ﾄの要点は『素粒子は基本的に熱ｴﾈﾙｷﾞ-を持たないから与えられたｴﾈﾙｷﾞ-を質量の形で蓄えるしかないかもしれない』と言うことだ。よって「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」は鉄球が素粒子であれば正しい。

　最初鉄球の温度がﾁｮｯﾄ高くなるだけだとして例えに『ｺﾛｯｹはﾚﾝｼﾞでﾁﾝしても熱くはなるが重量は増えない』とした。これにはｲﾛｲﾛ反発できる。電子ﾚﾝｼﾞは水の分子がないと発熱しないﾄｶ、重くなるが微量なので観測できないﾄｶ、．．それらしいことはｲﾛｲﾛ言えるだろう。ｳｿもｺﾞﾁｬﾏｾﾞで(^^)

　こう言う質問が最も苦しい！。自称専門家や大学教授よりも、子供達の質問の回答が難しい。ようやく「ｺﾛｯｹは素粒子ではないから熱くはなるが重量は増えない」と言えた。（＾O＾）

　白状すると「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明（原文）」では鉄球とは書かれていない。物体Bである。ｳ～ﾝ　

　まぁ　ともかく　これで我ｻｲﾄ第1部第4章「高校生が解くE=MC^2」の後半部分が安心してﾘﾆｭ-ｱﾙできる。ﾏｺﾄならそれを他の原理や法則に当てはめてみるのだ。どうなるか？　近日(未定）公開としておこう。

　そんなわけで「ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの大失敗　質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明」と「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明　考察２」と「質量とｴﾈﾙｷﾞ-の等価性の初等的証明　考察３」を一本化して上記を削除します。

　なお運動量保存の法則は今回割愛しました。「高校生が解くE=MC^2」の中で復活する予定です。

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