双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解２ H20.5.20作
お互いの時計が遅れる H20.5.10作
双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解 H20.5.2 作
加速度運動の特殊相対論的解釈 H20.4.26作
イキナリ解答 変形 双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ H20.4.20作
待ちますか ハテ H20.4.13作
粒子の寿命 H20.4.2作
2008年新年会 H20.1.13作
順番を入換えました。「粒子の寿命」→「待ちますか ﾊﾃ」
→「イキナリ 解答」・・・と続きます。
今年(2008年)に入って無闇に忙しく、なかなか更新できなかった。以前から一度は検討したかった粒子の寿命が光速に近いと伸びて行く現象をここに取り上げる。
１）ﾛ-ﾚﾝﾂ変換のまとめ方（覚え方）
ﾛ-ﾚﾝﾂ変換はﾅｶﾅｶ覚えるのが辛い。だが次の式は何故か覚え易い。
x'=γ(x-Vt) ；γ=1/√(1-V^2/C^2)
ここに Ct=Tとすると上の式は
x'=γ(x-(V/C)T) γ=1/√(1-V^2/C^2) となる。
ここで機械的に ｘとTを交換すると
T'=γ(T-(V/C)x) γ=1/√(1-V^2/C^2) となる。ここでT'=Ct T=Ctとして解くと
t'=γ(t-(V/C^2)x) ；γ=1/√(1-V^2/C^2) となる。
これがﾛ-ﾚﾝﾂ変換の第2式である。覚えるより解いた方が速い。（＾＾）
逆変換は x'とx ｔ’とｔ を交換してVを-Vにすれば良い。
x=γ(x'+Vt') t=γ(t'+(V/C^2)x') ；γ=1/√(1-V^2/C^2)
これでﾛ-ﾚﾝﾂ変換の４式はγ=1/√(1-V^2/C^2)として
x'=γ(x-Vt) ；正変換
t'=γ(t-(V/C^2)x) ；正変換
x=γ(x'+Vt') ；逆変換
t=γ(t'+(V/C^2)x') ；逆変換
となるわけである。
２）基礎、応用、実用の諸段階
学校で教えられるのは学問の基礎である。中には役に立つのがあるかもしれないが、基礎と言うものはそのままでは大抵役に立たない。役に立つにはその原理を応用したものを考えた時である。実際に世に出るものは、特に電機製品なんかはまだ不足で社会的条件（値段や需要）、安全性、法に抵触しないか等々を考慮して実用性を追及しなければならない。最近では鉛や水銀、臭素等を含まないこと、いわゆるRoHS(ﾛ-ｽﾞ)規制も加味される。
学問の世界でも基礎と応用は生きている。この原理が有効なのか無効なのかの判定は実験事実と適合するのかが決め手になるのだが、それは『その原理の応用』と捕らえても良いだろう。そこでﾛ-ﾚﾝﾂ変換の証拠とされている粒子の寿命が伸びる現象を考えてみるわけである。
デ－タは科学雑誌から頂いた。ミュウ粒子の寿命は
V=0 約2.2μ秒
V/C=0.9 約5μ秒
V/C=0.99 約15.6μ秒
V/C=0.999 約49μ秒
V/C=0.9999 約155μ秒
だそうだ。
３）どうやって確認する？
ﾛ-ﾚﾝﾂ変換の４式の内時間に関するものはγ=1/√(1-V^2/C^2)として
t'=γ(t-(V/C^2)x) t=γ(t'+(V/C^2)x') である。
これにこのままV/Cを代入してもｘやｘ’が入っているため何をしているのか分からない。そこで時間ｔ、ｔ’の意味付けをする。 まずｔであるがこれは我々観測者の時間としよう。するとｔ’はﾐｭｳ粒子に貼りついた時間つまり固有時間となる。
必然的にｘはﾐｭｳ粒子が誕生から消滅まで我々観測者が測った飛距離となる。すなわち
ｘ=Vt である。
またｘ’はﾐｭｳ粒子からみた自分自身の飛距離？（すなわち０）である。ｱﾅﾀがどんな速い乗り物でどこに行こうとｱﾅﾀからみてｱﾅﾀとの距離は常に０なのである。X'=0である。
この2式を各々に代入させると
t'=γ(t-(V/C^2)x)
=γ(t-(V^2/C^2)t) ；ｘ=Vt 代入
=γ(1-(V^2/C^2)t
=√(1-(V^2/C^2)t ；γ=1/√(1-V^2/C^2)だから
=(1/γ)t
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
t=γ(t'+(V/C^2)x')
t=γt' ；x'=0 代入
t'=γ(t-(V/C^2)x)からは t'=(1/γ)t が、t=γ(t'+(V/C^2)x')からは t=γt' が導けるのだが２式は結局 t=γt' となってしまう。ｺﾚが応用である。後は計算だ。
ミュウ粒子の寿命は
V=0 約2.2μ秒
V/C=0.9 ｔ=2.2/√(1-0.95^2)=約5μ秒
V/C=0.99 ｔ=2.2/√(1-0.99^2)=約15.6μ秒
V/C=0.999 ｔ=2.2/√(1-0.999^2)=約49μ秒
V/C=0.9999 ｔ=2.2/√(1-0.9999^2)=約155μ秒
であれば良い。実際に計算してみると良い。結構合うから！！
４）終りに
粒子が光速に近くなると寿命が伸びるように振舞う。これは実験事実である。その原理をﾛ-ﾚﾝﾂ変換は見事に説明し実験結果との数値も良く合う。こうなるとﾛ-ﾚﾝﾂ変換は机上の空論ではなく実在の物理原則として扱わざるを得ない。
もっとも擬似科学では量子力学でも寿命が伸びることを説明できると言う記述だけあるものもある。もしそうならその量子力学でどんな原理をどう使ったらそうなるのか説明すべきだろう。少なくともﾊﾟｸﾊﾟｸには分からない。(^^)
だが擬似科学以外にも驚天動地な記述がある。信じられない話だが、
『 これ（不確定性原理）によりΔEの全ｴﾈﾙｷﾞ-を持つ素粒子（=π中間子）がΔTだけ出現しその粒子がΔT*C = 最長到達距離だけ飛ぶ。その距離が原子核の大きさであり、中間子はその原子核内の陽子や中性子にキャッチボールされて、力を伝える。そのため強力な引力（=強い力）が生まれる。』
要するに寿命ΔTのπ中間子が光速で飛ぶ飛距離が原子核半径に該当すると言いたいのだろう。だが有限の寿命を持つ粒子は光速で飛べばその飛距離は無限なのだ。
これは胡散臭い擬似科学の記述ではない。おおまじめな中間子論の記述である。日本の科学も地に落ちたものだ。
もちろん我ｻｲﾄでは認めていない。中間子が飛ぶ速度は光速の約70.7%であり、誕生した粒子の最低速度として光速度の70.7％で飛ぶと言い切っている。それは量子力学のｴﾈﾙｷﾞ-順位で説明できる。
CM；第４部 核融合 参照
でもまぁ 気を取り直して．．．．もし有限の寿命を持つ超光速の粒子があったなら？ ．．． 少なくともそれがどう見えるかの記述は不可欠だろう。ｱﾙならｱﾙ、ﾅｲならﾅｲで理論的裏づけをしないといけない。もちろんまだ超光速粒子の理論は誕生していない。
とりあえず言えることは、このやり方 ﾛ-ﾚﾝﾂ変換の応用で『お互いの時計が遅れる』ことをｷﾁﾝと説明できるし、双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽもﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽではなくなる。次回はそれにﾁｬﾚﾝｼﾞしてみる。
待ちますか ハテ？ 変形 双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ
♪♪ 水のやさしい友禅流し～
ほほを寄せ合い眺めてました
あの日はかえらぬ．．．♪～
歌詞を間違っていたらｺﾞﾒﾝ！ 1年くらい前こんな歌がラジオから流れていた。それがどうした？ ｲﾔｲﾔ．．．．
やがて
待ちますか？ ハテ 追いますか？
と言うセリフがﾎﾟﾝと入る。ここから妄想が始まる。（＾＾）
『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ』では同い年の兄と弟が登場する。兄が宇宙旅行をし、弟は地球に残る。なら弟はひたすら兄の帰りを待つことになる。大体１０年くらい．．．．そこで例のセリフ
待ちますか？ ハテ 追いますか？
普通人生の１０年はｲﾛｲﾛある。結婚し子供が生まれ２世帯住宅を建て、係長課長部長と出世し．．．ﾃﾅわけには行かないだろうけど、とにかくｲﾛｲﾛある。 それで弟の心情として兄を追いかけて話をしたい話を聞きたいという思いが出ても不思議ではあるまい。
そこで弟君 一念発起して等速直線運動をしている兄の倍の速度で．．．．ﾄｯﾄｯﾄ．．．（＾＾）
もし兄の速度が光速の０．６倍なら光速の１．２倍、つまり超光速で追わなければならない。これはﾁｮｲとまずい。まぁともかく等速直線運動をしている兄の速度を上回る速度で追いかけるならその内追いつくわなぁ～
それでもってその時、兄に追いついたなら、より若いのは
兄ですか？ ハテ 弟ですか？
例によって若いのは兄だ弟だ あるいは同い年のままだと言う結論が問題ではない。その結論に至るﾌﾟﾛｾｽはどう考えるのか、納得できる説明が可能であるのかが問題である。そしてそしてﾛ-ﾚﾝﾂ変換の応用でもある。ﾛ-ﾚﾝﾂ変換からどうしたら結論を得られるのかそのﾌﾟﾛｾｽを考えましょう。（＾＾）
今回は問題提議！ どこから手をつける？ 実は実は本家(?)の双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽより簡単なのだ！ 次回はイキナリその回答をしよう。！！！（＾＾）
ﾋﾝﾄは『粒子の寿命』の数式ﾃﾞｽ。 ｔ＝γｔ'
イキナリ解答 変形 双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ
こんなCMがありましたねぇ～(^^) 絵が下手？ まぁそうですけど！
イキナリ核心に入る。兄が０年で宇宙に旅立つとする。速度は０．４C、図の赤線である。弟は兄から遅れて2年後０．６Cで兄を追いかける。図の青線である。
さて弟が兄に追いつくのはいつか？ ここは相対論以前の世界である。兄や弟の時間を気にせず、地球時間(年）で計算しよう。
兄の式は x(光年)=0.4t 弟の式は ｘ(光年)=0.6(t-2) である。ｔ；年
なら 0.6(t-2)=0.4t であるから 0.2t=1.2 t=6 となる。つまり地球時間6年で弟は兄に追いつく。兄と弟が登場したから地球には妹でも置いておこうか。必要性はまったくないがｶﾜｲｲ方が良い。ｺﾗｺﾗ(^^)
一方『粒子の寿命』での結論 t=γt' は図示するとこうなる。赤い部分はﾐｭｳ粒子の寿命である。同じ寿命(t')でもより速い速度では寿命(t)が伸びるように観測される。この絵はかなりデフォルメしている。ただ速度が上がれば寿命が伸びるように観測されると言うことを表しているに過ぎない。
この図の横軸はｔ（μ秒）である。一方「変形のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸ」ｽでも横軸はｔ（年）である。年もμ秒も物理的単位はただの時間！ そして縦軸は方や光年（距離）、この図もｘ（ただの距離）である。
粒子の寿命を説明する式 t=γｔ’ はt'=√(1-V^2/C^2)としても良い。これがそのまま「変形 双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ」に適用できる。相対論はサイズフリ－なのである。
このｔを妹時間（地球時間）にすれば兄の時間t'は t'=√(1-V^2/C^2)t となり再会した時の兄の時間は V/C=0.4 t=6を代入すれば良い。
t'=√(1-0.4^2)*6=0.917*6=5.502 (年)
弟の時間経過は宇宙に飛び出してから再会までは t"=(1/γ)t=√(1-V^2/C^2)t にV/C=0.6 t=4 を代入して
t"=√(1-0.6^2)*4=0.8*4=3.2 (年)
これに妹と暮らした2年を加算すれば 5.2年となる。
すなわち 再会した時には兄は５．５年経っており、弟は５．２年しか経っていない。
より若いのは
兄ですか？ ハテ 弟ですか？
この解答は弟である。
この論理に加速度運動がないことに不平や不満を感じておられるかもしれない。それだけなら良いがそれが昂じて理論自身を疑ったり信用できない、あるいは欠陥がある等の非難に発展するかも知れない。実はそれほど決定的な欠陥ではない。加速度運動自体も t'=√(1-V^2/C^2)t を応用すると解ける。次回はその辺を取り上げてみる。
「粒子の寿命」「待ちますか？ ﾊﾃ」「イキナリ解答．．」と続くこのｼﾘ-ｽﾞでここが目玉である。双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ自体は本偏で８年前に扱ってはいるのだが、どうも無意識に加速度運動を避けているようだ。一方氾濫する解説書では双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽは一般相対性理論を加味しないと解けないというﾄﾞﾝﾃﾞﾓﾅｲ代物も存在する。
『そうではない。双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽには一般相対性理論は必要ない』と如何に強調しようとも感覚として加速度運動なしで記述すると誤魔化していると疑われるのは仕方ない。
そうではない加速度運動も特殊相対性理論で解釈できると言うｱﾙ意味ﾄﾝﾃﾞﾓﾅｲ理論をここに展開する。サテ
変形双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ（図）において弟は兄から遅れて2年後０．６Cで兄を追いかける。図の青線である。
弟は妹時間（地球時間）2年目でｲｷﾅﾘ０．６Cの速度で宇宙に飛び出す．．．これは確かに無茶である。
それでは弟が体を壊さない程度の加速度で宇宙に飛び出すとしよう。それには加速期間を設けなければならない。その期間は ﾄﾞﾝﾀﾞｹ～？．．．．古い（＾＾）
１年と言う時間は秒に直すと365.25*24*60*60=31,557,.600=約0.316*10^8秒である。もし相対性理論がなければこれに加速度9.8m/S^2を掛けると、9.8*0.316*10^8=3.097*10^8 m/Sとなり光速度(3*10^8 m/S)を3%強上回る。
もちろん相対性原理により加速度9.8m/S^2で1年間加速しても光速度を超えない。約80%程度になる。
よって加速度を適当に調整すれば1年間で光速の６０％になるのは多分可能だろう。加速度はこれも多分だが9.8m/S^2より小さくなるから健康障害はないであろう。(^^)
そこで弟のドカンと一発０．６C加速の部分を大垣に移す。否大書きにする。（←ｵﾔｼﾞｷﾞｬｸ）
青い部分が今までの加速、緑の部分は変更ﾅｼ、最終的に青い部分が赤い部分に移ればｽﾑ-ｽﾞな加速になる。加速期間は妹の地球時間で１年とする。
このｽﾑ-ｽﾞな加速に至る前にｲﾝﾊﾟｸﾄ（衝撃）による加速を考察する。ｽﾑ-ｽﾞな加速とはｲﾝﾊﾟｸﾄ回数が無限大（1回あたりの衝撃は無限小）のｲﾝﾊﾟｸﾄ群による加速である。
ｲﾝﾊﾟｸﾄ１；ドカンと一発！ やってみよう
まずはｲﾝﾊﾟｸﾄ回数１回、つまり今までの加速を扱う。この場合の妹時間（地球時間）1年は弟には何年に該当するのか？ t'=√(1-V^2/C^2)*t を応用する。
t'=0.5+0.5√(1-0.6^2)=0.5+0.5*0.8=0.9 年
これが今までの加速（加速度運動考慮ﾅｼ）の時間である。
ｲﾝﾊﾟｸﾄ2；ドｶﾝﾄﾞｶﾝと２発
ｲﾝﾊﾟﾙｽ2回の加速！ 無茶な設定は大して変わらないのだが該当する弟時間ｔ’は
t'=√(1-0.3^2)=√0.91=0.954 年
大変だ！ 0.054年も増える？．．．って思われるだろうが！
ｲﾝﾊﾟｸﾄ3；ﾄﾞﾝﾄﾞﾝﾄﾞﾝの３発
ｲﾝﾊﾟｸﾄ3回の加速！ 無茶な設定も微妙であるが現実的(?)に近づく？
該当する弟時間ｔ’は
t'=0.5*[√(1-0.2^2)+√(1-0.4^2)]=0.5*[√0.96+√0.84]=(0.98+0.92)/2=0.95 年
ﾅﾝと減少を始める。
ｲﾝﾊﾟｸﾄ4；ﾄﾝﾄﾝﾄﾝﾄﾝの４発
これから先は図を描いても分からなくなってしまう。でも式は書ける。
t'=(1/3)*[√(1-(0.6/4)^2)+√(1-(2*0.6/4)^2)+√(1-(3*0.6/4)^2]
=(1/3)*[√(1-0.15^2)+√(1-(2*0.15)^2)+√(1-(3*0.15)^2]
=(1/3)*[√0.9775+√0.91+√0.7975]=(1/3)*(0.9887+0.9539+0.893)=0.945 年
そして減少傾向は続く！
ｲﾝﾊﾟｸﾄ5 これはまぁ おまけ 減少傾向は相変わらず！
t'=(1/4)*[√(1-(0.6/5)^2)+√(1-(2*0.6/5)^2)+√(1-(3*0.6/5)^2+√(1-(4*0.6/5)^2]
=(1/4)*[√(1-0.12^2)+√(1-(2*0.12)^2)+√(1-(3*0.12)^2+√(1-(4*0.12)^2]=0.943 年
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面倒である。ｲﾝﾊﾟｸﾄ回数nの式はどうなるか？ ｲﾝﾊﾟｸﾄ4、ｲﾝﾊﾟｸﾄ5を参考にするとこうなる（＾＾）
ｲﾝﾊﾟｸﾄn
t'=(1/(n-1))*[√(1-(0.6/n)^2)+√(1-(2*0.6/n)^2)+√(1-(3*0.6/n)^2+√(1-(4*0.6/n)^2+・・・・+√(1-(0.6*(n-1)/n)^2]
=(1/(n-1))*∑m=1m=n-1√(1-(0.6m/n)^2)
ここまで来ればｴｸｾﾙで計算できる。ｲｷﾅﾘ ｲﾝﾊﾟｸﾄ100 を計算しよう。．．．とは言っても計算途中はこの紙面ではさすがに紹介できない。結果だけ示す。
t'=0.93661 年
回数をﾄﾞﾝﾄﾞﾝ増やすことで弟時間は0.93*年程度になるだろうことは何となくわかるだろう(^^) でもこれを１万回、１００万回．．．と増やすことはﾁｮｲと無理だ。ｔ’は一体何処まで減るのか？
読者の皆さんの中には何をしてるのだ！ ｻｯｻと積分しろとﾔｷﾓｷされている人がいるかもしれない。確かに積分で答えは出る。それは t'=√(1-(V/C)^2)*t を源式として
dt'=√(1-(αt/C)^2)*dt ；V=αt α；加速度
と置き換え
t'=∫dt'=∫01√(1-(αt/C)^2)*dt α=0.6 C/年
を計算することである。少しﾔﾔｺｼｲので割愛させていただき結論だけ記す。
t'=0.93625
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
さて．．．．っと
変形双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽで加速度運動を考慮してない時、再会した各々の経過時間は
兄 5.5 年 弟は 5.2年となる。
ここで弟だけ妹時間（地球時間）1.5年で加速を始め2.5年で0.6Cに達し加速を終るとした場合、加速期間の弟時間は 0.9年→0.936年に伸びることになる。
よって再会した時は弟だけ差額 0.036年加算されて
兄 5.5 年 弟は 5.236年となる。
残念（？）ながら加速運動によりどちらが若いかを逆転させることはできない。さらに「兄も宇宙に飛び出す時には加速度運動するはず」だから おそらく兄の差額は0.024年ぐらいであり、それが加算されるだろう。その結果、兄弟間の年令差は加速度運動を考慮してない時に比べればせいぜい0.01年程度の誤差になるだけだろう。おそらくﾈ(^^)
さらに老婆心ながら付け加えると
『重力場における時間の流れは無重力より遅くなる』と言う一般相対性理論の結論、これがどう関与するのかであるが、まったく無視しても構わない。解説書の中には地球をﾌﾞﾗｯｸﾎ-ﾙにするためにはｺﾝﾀﾞｹ～とﾊﾟﾁﾝｺ玉ｸﾗｽの黒丸を載せている本もｱﾙのだが、そこまで述べるなら『１Gの重力下と無重力では時間の流れはどの程度の差になるのか』くらいは述べても良いだろう。ﾊﾟｸﾊﾟｸの試算によると100年で2秒である。1年では20m秒だ。
0.01年はﾁｮｯと暗算すれば約3.5日である。それに比べて20m秒とは如何に小さい値であることか！ ﾑｼOKﾈ(^^)
考察； ロケットは燃料を燃焼室で爆発させその反動で加速するわけだからｲﾝﾊﾟｸﾄ（衝撃)で加速すると言うこのｱｲﾃﾞｱはそれほど荒唐無稽なものではないと思うのだがどうでしょう？
調子の悪いロケットでｴﾝｼﾞﾝがﾊﾟｽﾝﾊﾟｽﾝと動くようなものを想像すると理解が早いと思う。(^^) ｲﾝﾊﾟｸﾄとｲﾝﾊﾟｸﾄの間はただの等速直線運動だから特殊相対性理論が適用出来るのである。
ただこの方法は限界がある。1年間に0.6C加速するならもう1年加速すれば1.2C（超光速)になるわけだが当然そうはならない。何故ならこの方法は妹時間（地球時間）に加速期間を設定し、それを均等に分解し同じ速度増加を割り当てる。これは妹時間（地球時間）からみて同じ加速度で加速するよう設定していることである。ｘとｔの関係で言えば完全な2次関数が現れる。もちろん光速を超える加速は成り立たない。
妹時間（地球時間）からみて同じ加速度で加速することは弟からみても一定の加速度であることを意味しない。光速の0.6C近くになると妹時間（地球時間）で１秒毎のｲﾝﾊﾟｸﾄであっても弟時間ではほぼ√(1-0.6^2)秒 つまり0.8秒毎のｲﾝﾊﾟｸﾄになる。つまりｲﾝﾊﾟｸﾄ濃度(?)が濃くなるわけだ。それは弟にとって加速度自体が増えるのと等価である。
幸い(?) 初期の加速度は１Gの2/3 0.63Gくらいである。終盤の加速度はその1/0.8倍 これは0.83G程度である。これならまだ健康障害は起きないだろう。この辺で使うのはまず問題ない。
だが最終速度が0.8Cとか0.9Cになれば事情は変わってくる。妹時間（地球時間）で１秒毎のｲﾝﾊﾟｸﾄは0.6秒毎、0.436秒毎に変化する。妹が希望する加速度の1/0.6倍，1/0.436倍(=1.67倍，2.3倍)の加速度が弟にかかる。ﾍﾀをすると弟はﾍﾟﾁｬﾝｺになる。
その辺を考慮すればこの方法が使えるのは最終速度がせいぜい光速の0.6倍以下の低速(?)だろう。
もちろん弟が常に一定の加速度で加速した場合で計算する方が良いのだがまだ数式化するｼｽﾃﾑは構築していない。誰かﾔｯﾃ！(^^)
だがｺﾚだけは言えだろう 一般相対性理論には『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ』を解く如何なる魔力も存在しない。
次回はこれを使って本家(?)「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ」を加速度運動も考慮した完全解に挑もう。
これは具体的な数値による具体的な計算でなければほとんど無意味である。読者の皆さんには退屈な計算式が続くわけだがｺｯﾁ（ﾊﾟｸﾊﾟｸ)にとっては真剣勝負であるから少々ｶﾞﾏﾝして頂きたい。
この図は『第3章 お互いの時計が遅れることを図示する。 ３－３）双子のパラドックス B)いきなり2年歳を取る？ 』より拝借した。
図の赤い線、青い線は今のところ無視して欲しい。「兄は地球時間０年で約０．４Cで宇宙に飛び出す。地球時間５年で兄の時間は4.5年である」わけだが、実のところ計算が少々ﾗﾌである。８年ぶりに見直して赤面している。
源式は t'=√(1-V^2/C^2)*t である。ｔ；弟及び妹（地球）時間 ｔ’；兄の時間である。
地球時間５年で兄の時間は4.5年にするには、t'=4.5 t=5 を代入して
4.5=√(1-V^2/C^2)*5 →√(1-V^2/C^2)=0.9
であるから
(1-V^2/C^2)=0.9^2→V^2/C^2=1-0.9^2=1-0.81=0.19
V/C=√0.19=約0.436．．．
になる。つまり兄の速度は光速の４３．６％である。1割近い誤差であった。m(- -)mｽﾐﾏｾﾝ
問題を簡単にするために兄の等速直線運動の速度を0.436Cとする。
これに『加速度運動の特殊相対論的解釈』を適用する。
上記の図で不要な線や数値を消してｽｯｷﾘさせる。兄の速度は行き帰りとも0.436Cである。すると弟時間（地球時間）との比率は0.9である。合って分かれてまた合った時の歳の差は１歳である。
ただしこれは加速度運動を考慮していない。加速度運動を考慮するためには加速度期間を無理のない値で設定しなければならない。
減速及び加速期間は弟及び妹時間（地球時間）で1年とする。兄はまず地球時間-0.5年から加速を始め地球時間0.5年で加速を止めて0.436Cの等速直線運動に入る。．．としたいのだが図が描き難くなる。合って分かれてまた合った時の歳の差が知りたいだけなので少し図を変える。
図の赤い部分が加速または減速部分である。加速・減速期間は各々弟（地球）時間で１年とする。
大して意味はないが、図の変形方法として(0),(5),(6),(11)はすぐ上の図の地球時間0,5,6,11年に対応させたもので加速・減速期間の中央とする。
よって弟が再会するまでの期間は地球時間で１２年である。
また兄が等速直線運動をしている期間は弟（地球）時間で行きは4年、帰りも4年であるから兄の時間はその0.9倍 3.6年ずつとなる。
こうして見ると兄の加速・減速運動は速度０からの加速するか、減速して速度０になるのいずれかである。そう言えば注意するのを忘れていた。『加速度運動の特殊相対論的解釈』に登場する加速度運動は「速度０からの加速 またはその真逆の減速して速度０になる」 場合でしか適用できない。適用できないと言うより分からないというべきかも知れない。（＾＾）
さていよいよ『加速度運動の特殊相対論的解釈』に則って、兄が最初の0.436Cを得るまで何年かかるか計算する。それは「ﾄﾞｶﾝと一発」、「ﾄﾞｶﾝﾄﾞｶﾝと2発」、「ﾄﾞﾝﾄﾞﾝﾄﾞﾝと3発」・・・・とｲﾝﾊﾟｸﾄ数を増やして行くのも手であるがそれは前回やってしまった。どっちみち ｲﾝﾊﾟｸﾄ数ｎの式は
ｲﾝﾊﾟｸﾄn
t'=(1/(n-1))*∑m=1m=n-1√(1-(0.436m/n)^2)
となることは分かっている(?)だろう。だからこの式をｴｸｾﾙで計算すれば良い。例によって計算途中はこの紙面では。結果だけ示す。ｲﾝﾊﾟｸﾄ数を100として t'=0.9675199 (年) である。
しかしながら t'=√(1-(V/C)^2)*t を源式として
dt'=√(1-(αt/C)^2)*dt ；V=αt α；加速度
と置き換え
t'=∫dt'=∫01√(1-(αt/C)^2)*dt α=0.436 C/年
を計算した方が早い．．．．ってこれ計算方法を説明してなかった（＾＾）
実はこの計算には数学に強い人でもまず扱わないであろうｱ-ｸｻｲﾝ関数を必要とするので割愛させていただいた。だがこれは真剣勝負、そんな悠長なことは言えないのでα=0.436 C/年として計算方法をここに記す。
ある程度ｶｸｺﾞされよ(^^)
t'=∫dt'=∫01√(1-(αt/C)^2)*dtの計算 α=0.436 C/年
αt/C=sin(θ)とする。 (α/C)dt=cos(θ)dθ→dt= (C/α)cos(θ)dθ ただし α/C=0.436
よって 右辺=∫01√(1-(αt/C)^2)*dt
=(C/α)∫0Θ(cos(θ))^2dθ
ここで積分範囲はt=0～1からθ=0～Θに変わる。このΘは「αt/C=sin(θ)とする」とした場合の中でt=1とした時のθの値 つまり 「α/C=sin(Θ)」を満足する値である。今回の場合 sin(Θ)=0.436である。
このΘ値はｴｸｾﾙではAsin(ｱ-ｸｻｲﾝ)関数となる。 Θ=Asin(α/C)である。今回の場合Θ=Asin(0.436)=0.451149である。ﾔﾔｺｼｲﾈｪ（＾＾）
それで右辺の続き=(C/α)∫0Θ(cos(θ))^2dθ なのだが
cos(2θ)=(cos(θ))^2-(sin(θ))^2=2(cos(θ))^2-1 であるから (cos(θ))^2=(1/2)[1+cos(2θ)]を代入すると
右辺=(C/α)(1/2)∫0Θ(1+cos(2θ))dθ
=(C/α)(1/2)[θ+sin(2θ)/2)]0Θ
=(C/α)(1/2)[Θ+sin(2Θ)/2)]
sin(2Θ)=2sin(Θ)cos(Θ)であるがα/C=sin(Θ)であるので、sin(2Θ)=2(α/C)√(1-α^2/C^2)である。混乱しないように整理すると
右辺=(C/α)(1/2)[Θ+sin(2Θ)/2)]
=(C/α)(1/2)[Θ+(α/C)√(1-α^2/C^2)]
=(1/2)[(C/α)Θ+√(1-α^2/C^2)]
=(1/2)*[(1/0.436)*0.451149+√(1-0.436^2)] ；C/α，Θ数値代入
=(1/2)*(1.034745+0.899947)=0.967346 （年）
気を失わないように これがｔ’である。ｴｸｾﾙでの計算とほぼ合う。つまり兄が速度０から地球加速期間1年で0.436Cの速度を得たなら、兄が経過する加速期間は約0.967年なのである。
このαを 0.6 C/年 とすれば『加速度運動の特殊相対論的解釈』に登場した t'=0.93625 が得られる。やってみる？
さて図に戻ろう。最初の加速で兄が経過する加速時間は0.967年である。次に速度0.436Cから減速して０になる期間はちょうど真逆の関係だからやはり0.967年である。地球に向かっての加速も地球に軟着陸するための減速もやはり0.967年として差し支えなかろう。
結局 兄が加速度運動も含めて再会するまでの全所要時間は 0.967*4+4*0.9+4*0.9=3.868+7.2=11.068年となる。
さて 結論
上の図と対応する加速度ﾅｼの図である。
弟との歳の差は 11-10=1歳 ；加速度運動考慮ﾅｼ
弟との歳の差は 12-11.068=0.932歳 ；加速度運動考慮
である。
加速度運動を考慮した時としない時では歳の差は約7%の誤差になった。この7%にはどんな意味があるのか？
イタヅラ！
結果を使ってイタヅラ(?)をする。兄から等速直線運動を除いたらどうなるのか？
弟の経過時間は4年、兄は常に加速か減速状態で行って来るのだが経過時間は
0.967*4=3.868年 である。その差は0.132年
すると上の結論 その差0.932歳中0.8歳は等速直線運動の影響である。逆に等速直線運動の期間を延ばすと弟との歳の差はもっと増えるﾊｽﾞだ。7%の差はﾀﾏﾀﾏそういう設定で出た値に過ぎない。兄と弟の歳の差は等速直線運動の影響がかなりある。
万が一、加速度運動の特殊相対論的解釈が間違っていたとしても加速すればいつかは0.436Cになるだろうし、0.436Cから減速すればいつかは速度０になる。だから兄の加速・減速期間を分からんがある有限の値としておいてもその他の等速直線運動の部分を充分に大きく取れば多少の誤差はあろうとも兄と弟の歳の差は得られると考えるべきである。
まぁ 早い話「加速度運動の特殊相対論的解釈」は双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの議論に本当に必要と言うわけではない。（＾＾）
考察
少しノンビリし過ぎかもしれない。加速度１Gで1年間加速すると光速の80%程度になると言うことは、光速の40%程度なら半年１Gで加速すればほぼ得られる値である。その辺を考慮すれば1年で光速の40%にする加速、言いかえれば加速度はほぼ0.5Gはかなりノンビリし過ぎである。弟（地球）時間 12年の内4年も加速・減速期間に使うなんて（＾＾）
これは前回ﾚﾎﾟ-ﾄ『加速度運動の特殊相対論的解釈』に t'=∫dt'=∫01√(1-(αt/C)^2)*dt の計算方法を載せることに何故躊躇（ﾁｭｳﾁｮ）したかに関連がある。まさかこんなところでAsin（ｱ-ｸｻｲﾝ）関数が出るとは「ｵ釈迦様ﾃﾞﾓ気ｶﾞ付ｸﾒｪ～」である。ﾊﾟｸﾊﾟｸにとってもﾏｻｶの展開であった。
こんな式を見て即座に「ｿｳﾀﾞ、ｿﾉ通ﾘﾀﾞ！」と賛成してくれる読者はそうはおるまい。むしろﾅﾝﾀﾞ、ﾅﾝﾀﾞとなってしまって歳の差が出る要因がおろそかになる。そう危惧したわけだ。
しかしながらここで公開するには半年と言う期間を考慮する時間がなかった。とりあえずそれなりに正しいと思われる妹時間1年はそのまま使用した。そう言う事情を理解頂けたらありがたい。
ﾊﾟｸﾊﾟｸは得られた数値がｴｸｾﾙ値の延長にある妥当な値であったから正しいのではないかと思うのだが、「ﾁｮｯﾄ信じられない」と言われても分かるような気がする。無理に信じる必要はない。
双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの議論でｱﾊﾞｳﾄな結論を得るなら加速度運動無視でも充分である。それでは気にいらないなら兄の加速度期間を『詳細不明だがある有限な値』にしてさえおけば等速直線運動の部分を充分大きく取るだけでその影響はいくらでも小さく出来ることに気が付く。
再度言うけど一般相対性理論には『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ』を解く如何なる魔力も存在しない。一方等速直線運動の影響、特殊相対論的効果は明らかにある。
この双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽは解釈本がもっとも馬脚を表すﾃ-ﾏである。著者が相対論を分かっているのかいないのかは双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽを読めば見当がつく。
もともと双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽは「お互いの時計が遅れる」ことに対するｲﾁｬﾓﾝである。お互いの時計が遅れている者同士が再会したらどうするのだと言う矛盾（ﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ）である。双子は脚色に過ぎない。
ここで「一般相対論を扱わないと本当は解けない」と逃げを打つようだと明らかに負けだろう。「お互いの時計が遅れる」こと自体が一般相対性理論の霧の中に埋没する。分かっていないのだ。
「一般相対論を扱わないと本当は解けない」と逃げを打つようだと読む価値はないし、考える価値もないし、本を買う価値もない。他の記述も推して知るべしなのである。
次回は最初に戻って双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽのそもそもの成り立ち「お互いの時計が遅れる」ことについて考察する。
前回ﾚﾎﾟ-ﾄでも指摘したように双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽは『お互いの時計が遅れる』ことに対するｲﾁｬﾓﾝである。まったくの想像だが初期のｲﾁｬﾓﾝはこんなものだったのではないだろうか？
ｵｲｵｲお互いの時計が遅れた者同士が再会したらどうなる？
「この矛（ﾎｺ）はどんな盾でも打ち破る。この盾はどんな矛（ﾎｺ）でも跳ね返す」と大言壮語する商人に客（見物人）が浴びせた痛打
ｵｲｵｲその矛でその盾を突いたらどうなる？
を連想させる。
「矛と盾」は論理的破綻を示す好例で矛盾(ﾑｼﾞｭﾝ)の語源である。では「お互いの時計が遅れた者同士の再会」も論理的破綻を示す好例（＝矛盾）なのか？ それほど簡単ではあるまい。（＾＾）
再会方法は多種多様に考えられる。それにそもそも「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」と言う問いと、その結果から「お互いの時計が遅れた者同士が再会した場合どうなるのか？」の問いがﾐｯｸｽされていると思う。
「再会した場合」のみを取り上げ再会方法等を脚色し演出したのが双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽであろう。これはそれなりに利点がある。前回ﾚﾎﾟ-ﾄ『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解』に見られるように兄が宇宙に飛び出しまた戻る、弟はひたすら待つ脚色・演出では兄が等速直線運動をしている時はもちろん、加速度運動中もひたすらｔ’（兄の時間）＜ｔ（弟の時間）であるから結果は明らかである。兄の方がかならず若くなる。これだけで「再会した場合」の結論は出る。
だがこの結論は「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」と言う問いにﾅﾝの解答も与えない。
双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽを完全に記述し完成するにはそもそもの発端「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」まで掘り下げなければならない。「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」が特殊相対性理論発表の当初から正しく理解されていたのなら双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽはまったく不要である。ｲﾁｬﾓﾝと断定した理由である。
皮肉なのだが「お互いの時計が遅れること」の解釈の方が「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ」より簡単なのである。
８年前 『中学生が解くﾛ-ﾚﾝﾂ変換』の勢いそのままに『お互いの時計が遅れることを図示する』を書き上げた。その論理は今でも健在であり非の打ち所がないと言いたいのだがｲﾝｽﾋﾟﾚ-ｼｮﾝに任せ過ぎたｷﾗｲがあり、少々強引でもある。今回書き直すに当たって『粒子の寿命』に立ち帰り、応用に留意した。
まずはﾛ-ﾚﾝﾂ変換の式そのもの、これの応用を淡々と解き明かそう。ﾛ-ﾚﾝﾂ変換の４式はγ=1/√(1-V^2/C^2)として
x'=γ(x-Vt) 1)；正変換
t'=γ(t-(V/C^2)x) 2)；正変換
x=γ(x'+Vt') 3)；逆変換
t=γ(t'+(V/C^2)x') 4)；逆変換
である。正変換とは点(x,t)を変換して相当する点(x',t')を導く変換のことである。つまり x'､t' を確定するためにはふたつの変数 ｘ、ｔ を入れなければならない。
しかしながらこのｘ、ｔを粒子の軌跡（あるいは兄の軌跡）として x=Vt の関係をつけるとｔだけ指定すればｘは奇跡の式で指定されるから x'､t' は確定される。
x'=0 1)；正変換 ただし x=Vt
t'=√(1-(V/C)^2*t 2)；正変換 ただしx=Vt
一方逆変換とは正変換の真逆であり、点(x',t')を変換して相当する点(x,t)を導く変換のことである。上記でx'=0となるのでそれを逆変換に入れれば
x=γVt' 3)；逆変換 ただし x'=0
t=γt' 4)；逆変換 ただし x'=0
ここにおいて 粒子の軌跡（あるいは兄の軌跡）として x=Vt の関係をつけることは x'=0 と関係付けることと等価であることになる。その結果として得られる２式
t'=√(1-(V/C)^2*t 2)；正変換 ただしx=Vt
t=γt' 4)；逆変換 ただし x'=0
も実は同じこと！ 同じにならなければﾛ-ﾚﾝﾂ変換が間違っていることになる。この ｘ＝Vt または x'=0 をﾀ-ｹﾞｯﾄの式と名付ける。今回のｼﾘ-ｽﾞでここまでに使った式は実は上記式のみである。実質は式ひとつだ（＾＾）
－－－－－－－－－－－－－
一方数学的にはﾀ-ｹﾞｯﾄの式を逆にしたもの すなわち x=0 を入れたものも可能である。1)2)に入れると
x'=-γVt 1)；正変換 ただしx=0
t'=γt 2)；正変換 ただしx=0
この2式は結局 x'=-Vt' となる。一方3)に入れると
0=γ(x'+Vt') 3)；逆変換 ただしx=0
であり、 x'=-Vt' となる。矛盾しない。このx'=-Vt' を4)式に入れると
t=γ(t'+(V/C^2)x')
=γ(1-(V/C)^2)t'
=√(1-(V/C)^2*t'
となる。これも t'=γt と矛盾しない。
－－－－－－－－－－－－－
まとめると
ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=Vt （x'=0） ならば t'=√(1-(V/C)^2*t
ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=0 (x'=-Vt') ならば t=√(1-(V/C)^2*t'
である。
これが「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」の解答であると言いたいが焦らず慌てずひとつひとつ検討していこう。（＾＾）
ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=Vt (x'=0) ならば t'=√(1-(V/C)^2*t
を図示したのがこれ！
ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=Vtは図ではx=(V/C)T となっているが図面を書く上の方便である。線 0-T' に該当する。
それはまた x'=0 の線と同じであり同時にT'の目盛でもある。V/Cは前回ﾚﾎﾟ-ﾄに合わせ0.436とした。この値はｔ’：ｔ=9：10になり非常に都合がよろしい(^^)
そして 式 t'=√(1-(V/C)^2*t のｔ’，ｔの関係を示すのが図の青い線である。T’，Tの関係でもある。一例としてT'=9でT=10を示す。
この図は時空図である。 8年前ほとんどｲﾝｽﾋﾟﾚ-ｼｮﾝで描いた図を少し補正してある。
青い線の関係は時空図を純粋に数学的に解釈したに過ぎない。
ｲﾛｲﾛ ｺﾞﾞﾁｬｺﾞﾁｬしたわけであるが議論に必要な部分を抽出して描くとこうなる。
宇宙旅行をする兄の時計をﾀ-ｹﾞｯﾄとするならその時間はT'で表され、その観測者は地球に留まる弟で時間はTである。
青い線についた矢印は観測者に届けられるべき情報の流れを示す。その速さは超光速どころではない。もとが時空図を純粋に数学的に解釈したものであるから『観測者にとって所要時間０で受け取る速度』である。すなわち∞（無限大）の速度、もちろん技術的・原理的には不可能な速度である。
同様に
ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x'=-Vt'（x=0） ならば t=√(1-(V/C)^2*t'
を図示したのがこれ！ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=0は図では線 0-T に該当する。それは x'=-Vt' の線と同じである。図ではx'=-(V/C)T'になっているがこれは方便である。
式 t=√(1-(V/C)^2*t' のｔ’，ｔの関係を示すのが図の赤い線である。T’，Tの関係でもある。一例としてT'=10でT=9を示す。
この図も時空図である。ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=Vt (x'=0) は直行座標であるがこれは斜行座標である。
何故これが斜行座標かは観測者の位置にある。
タ－ゲット時間と観測者時間の関係がまったく逆なのだ。
議論に必要な部分を抽出して描くとこうなる。
宇宙旅行をする兄の時計はﾀ-ｹﾞｯﾄではなく観測者の時計である。すなわち兄からみて弟はこうみえる。
赤い線についた矢印は観測者に届けられるべき情報の流れを示す。その速さは超光速であるが、無限大ではないように思える。だがこれも、もとが時空図を純粋に数学的に解釈したものであるから『観測者にとって所要時間０で受け取る速度』である。観測者にとっては∞（無限大）の速度なのだ。もちろん技術的・原理的に不可能な速度であることには変わりない。
観測者からみればﾀ-ｹﾞｯﾄは常に遅れる。
図形を合成してみた。これが「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」と言う問いの解答である。見事にお互いの時計が遅れている。
でもこの合成した図をどう説明するﾍﾞｷや？（＾＾） 赤い線、青い線が気にかかる。
この赤い線や青い線はもともと時空図の一部である。地図を見ると山は『等高線』と呼ばれる曲線で表される。地図で同じ等高線に乗っている物は同じ高さにあることを示す。
するともともと時空図の一部である赤い線や青い線を『等高線』と同じように『同時刻線』とか『同時線』と呼べないだろうか？
もし呼ぶことを許して頂けるなら「二つの出来事が『同時刻線』または『同時線』上で起きたならそれは『同時刻』または『同時』に起きたことを意味する」と定義出来る。
ただ問題は『同時刻』または『同時』は各慣性系で異なっており同じではない。よって慣性系毎に『同時刻線』または『同時線』が異なる。よって赤い線や青い線のように傾きが異なる『同時刻線』または『同時線』が現れるわけである。それを謎めいた言い方にしたのが「お互いの時計が遅れる」と言うセリフである。この現象は別名『同時刻の相対性』とも呼ばれる。
結局『お互いの時計が遅れる』ことは遅れるのだが、それを「お互いに確認する」ことは技術的にも原理的にも無理であると言うのがここの結論である。（＾＾）
ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝは『お互いの時計が遅れる』とは言ったのだが、それを「お互いに確認すること」がﾃﾞｷﾙともﾃﾞｷﾅｲとも言ってない。ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝって意地が悪いのかなぁ～ (^^)ｲﾔｲﾔ単なるﾕ-ﾓｱじゃよ！
考察
ﾊﾟｸﾊﾟｸとしては珍しくあたりさわりのﾅｲ結論になってしまった。読者の中には何か誤魔化されたようで釈然としない人もおられよう。それもそのはず、最初の問いにまだ完全には答えていない。
ｵｲｵｲお互いの時計が遅れた者同士が再会したらどうなる？
ｲﾝﾊﾟｸﾄのｱﾙ解答として「世間から遅れたｵｯﾁｬﾝふたりがﾎﾟﾂﾝと残る」あたりを期待しますか？ ←冗談ﾃﾞｽ念ﾉﾀﾒ（＾＾）
兄と弟が合ってお互いに遠ざかる。その時はお互いに相手の時計が遅れる。だけど再会した時、何故兄の方、宇宙旅行をした方が若いのだ、どこで歳の差ができるのだと言うことをﾘｱﾙﾀｲﾑ(?)で示さなければならない。
8年前、「兄から見てｳﾝﾇﾝ」、「弟から見てｳﾝﾇﾝ」と見て見て見て見て．．を繰り返すと読者ばかりでなく著者までも混乱するとして 赤い線、青い線で情報を仕入れることを『観る(ﾐﾙ)』と名付けた。時空図を使った推理、これも観ることである。その時、兄から観た弟の時間経過、歳の取り方を一応説明している。
前回『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解』、これは弟から観た兄の時間経過、歳の取り方であるが、それを書き上げた。
次回はその裏面として、兄から観た弟の時間経過、歳の差がどこで出るかを『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解２』で扱って見る。
８年前の再解説であるが、その時にはなかった目玉『加速度運動の特殊相対論的解釈』を駆使してどこまで具体的に迫れるかの実験をする予定である。
「これが「お互いの時計が遅れるとはどう言うことか？」と言う問いの解答である。見事にお互いの時計が遅れている。」とした。
だけどこの説明だけで充分だろうか？
この説明はお互いが離れて行く時の説明である。お互いの時計が遅れるとはお互いが離れて行く場合のみであると言い切って良いのか？ 間違いではないが少々意味が狭過ぎる。そこに付け込んだような解説もｱﾙ。（＾＾）
『お互いが近づく場合はお互いの時計は進む』のだ！ ﾎﾝﾏかいな？(^^)
数学的に解いてみよう。
お互いが近づく場合を図示する。tは例によって弟・妹時間（地球時間）（年）とし、t’は兄の時間（年）とする。後で問題になるのだが計算上の都合で弟の時計が１０年で兄と再会する。その時兄の時計も１０年だったとする。無理やりそうする。（＾＾）
図の0～10は弟・妹時間（地球時間）（年）とする。その時兄の時間 つまり青い線で矢印のない方の時間はどうなるのか？
ﾛ-ﾚﾝﾂ変換
x'=γ(x-Vt) ；正変換
t'=γ(t-(V/C^2)x) ；正変換
x=γ(x'+Vt') ；逆変換
t=γ(t'+(V/C^2)x') ；逆変換
は暗黙の了解でVはﾌﾟﾗｽとなっており、また原点（x=0，t=0）は原点（x'=0，t'=0）と重なる。このままではお互いが近づく場合は計算できないからﾛ-ﾚﾝﾂ変換を変更する。まずは図に添って近づくのであるから V→-V とする。
x'=γ(x+Vt) ；正変換
t'=γ(t+(V/C^2)x) ；正変換
x=γ(x'-Vt') ；逆変換
t=γ(t'-(V/C^2)x') ；逆変換
次に点（x=0，t=0）と点（x'=0，t'=0）の重なりを点（x=0，t=10）と点（x'=0，t'=10）の重なりに変更する。これは t→(t-10) t'→(t'-10)に変更すれば良い。
x'=γ(x+V(t-10)) ；正変換
t'-10=γ((t-10)+(V/C^2)x) ；正変換
x=γ(x'-V(t'-10)) ；逆変換
t-10=γ((t'-10)-(V/C^2)x') ；逆変換
そして正変換にﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=-V(t-10)を入れる。
x'=0 ；正変換 ただしx=-V(t-10)
t'-10=γ(1-(V^2/C^2)(t-10) ；正変換 ただしx=-V(t-10)
逆変換に x'=0を入れる。
x=-γV(t'-10) ；逆変換
t-10=γ(t'-10) ；逆変換
結局 (t'-10)=√(1-(V^2/C^2)*(t-10) となる。
V/C=0.436とすれば√(1-(V^2/C^2)=0.9 であるから t'-10=0.9*(t-10) → t'=0.9t+1
これをもとにｔ’の値を入れればこんな図になる。
青い線で矢印のない方（ﾀ-ｹﾞｯﾄ）の時間 ｔ’ は矢印のある方（観測者）の時間 ｔ と
t'=0.9t+1 の関係にある。
------------------------------------
同様に赤い線 つまり ﾀ-ｹﾞｯﾄと観測者を入換えて矢印のない方（ﾀ-ｹﾞｯﾄ）の時間 ｔ は矢印のある方（観測者）の時間 ｔ’ との関係は
正変換に ﾀ-ｹﾞｯﾄの式 x=0を入れる。
x'=γV(t-10) ；正変換 ただしx=0
t'-10=γ(t-10) ；正変換 ただしx=0
以下省略
結局 (t-10)=√(1-(V^2/C^2)*(t'-10)
t=1+0.9t' となる。
赤い線に数値をそれなりに書き込むとこうなる。そして図を眺める。『お互いの時計が進む』のか？
弟からみて兄の時計は（青い線）兄の方が進んでいる。
兄からみて弟も（赤い線）弟の方が進んでいる。
まぁ確かに『お互いに進む』ことは進んでいるとは言える！
だけどこれを納得出来るように説明できる？ 二人が会った途端に時計がﾋﾟﾀﾘと合うことがｿｳｿｳ起こり得ると思う？ その前までお互いに時刻が異なるのに！ もし可能ならよほどうまい前提条件が要るのだがそれは何？
双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽではまず兄弟が会って時計を合わせてからお互いが離れて行く。その後のことはともかくここで分からんとゴネル人はいない。前提条件は単純だ。『お互いに進む』とは違って（＾＾）
この話はまず出て来ない。説明不能だから皆遠慮(?)する。だけどこれを逆手に取ってトンでもない話に摩り替えた解説書があったように思う。曰く
「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽでは兄弟が会ってからお互いに遠ざかる時にはお互いの時間と言うか年令はお互いに遅れるのだが、お互いに近づく時にはお互いの時間・年令は進むのである。よってお互いに遅れた分はここでお互いに進むのでお互いに相殺されて再会した時には時間・年令の差はなくなるのである。」 ｳｿですよｺﾚ（＾＾）
この話は言葉のﾄﾘｯｸである。『お互いに進む』ことを言わんとすれば再会した時に同時刻としないと図にならない。そしてそうなるように無理やり計算した。計算自体は間違いない。
だが図から別の解釈が可能だ。
青い線で t=0～2 は t'=1～2.8である。 よって 弟からみて弟経過2(年)は兄経過1.8(年)にあたる。
赤い線で t'=0～2 は t=1～2.8である。 よって 兄からみて兄経過2(年)は弟経過1.8(年)にあたる。
つまり時間経過からみれば『ﾀ-ｹﾞｯﾄ時間は観測者からみればかならず遅れる』のである。お互いに遠ざかろうが近づこうが関係ない。同じである。言葉のﾄﾘｯｸの意味、お分かりだろう。『お互いの時刻が進むようにみえる』ことが偶然起こることはあっても『お互いの経過時間が進む』ことはあり得ない。
まぁ一部変な解説書もあるのだが解説書の大部分は「宇宙旅行をした兄の方が若い」のを結論としている。この点は正しい。徹頭徹尾、観測者を弟時間（地球時間）におけば反論するｽｷはなくなる。
「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解」に登場したこの図は弟からみた兄の様子である。そう言うわけだからこの図は正しい。
お互いの時計が遅れるとはお互いが離れて行く場合のみではない。お互いが近づく場合も経過時間（こちらで１分経っても相手の時計は５０秒しか進まない意味）ではお互いの時計は遅れるのである。
「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解」に登場した加速度運動を考慮した図を載せた。もちろん弟からみた兄の様子である。
今まで「みる」と言ってきたがこれは観る(ﾐﾙ)としてもらいたい。観るとは時空図を使って各慣性系の同時を判断することである。つまり今皆様がやっておられることである。（＾＾）
これは8年前に作った造語である。まぁそんなことはどうでも良いが．．
それで図を正確に観るとこうなる。
図は弟から観た兄の年令推移である。遠ざかる時も近づく時もﾀ-ｹﾞｯﾄである兄の経過時間は常に遅れその結果再会した時は約0.93年兄が若くなっている。
弟から観た場合はこれで良い。では兄から観た弟の年令推移はどうなるのか？
それには兄の加速部分を考慮しなければならない。
そのために図の加速部分を大垣に移す。もとい 大書にする。←ｵﾔｼﾞｷﾞｬｸﾞ(^^)
加速部分を大書きにする。
左が加速部分を大書きにした図である。兄から観て加速が終った時の弟の年令は？で示した。 この？は簡単に求まる。
中央の図は加速を考えない場合の図であり、加速はｺﾚを元にして設定した。中央の図では弟から観て0.5年で兄は0.45年である。その兄から観て0.45年は弟4.05年である。ｺﾚを立て板に水で捲し立てると混乱するｿﾞ(^^)
それを足し算したのが右の図である。兄が加速を終った時（0.967年)弟を観たら0.905年であった。すなわち加速期間でも『お互いの時計は遅れる』わけである。
兄から観た弟の年令推移はどうなるのか？
『お互いの時計は遅れる』わけであるが、お互いに経過時間が遅れるのであり、時刻が遅れるのではない。
図の4.567（時刻/年）は弟の1～5（4年)の0.9倍を兄の経過時間とし、それに0.967を足し算したものである。
0.967+4*0.9=4.567 年
同じように図の4.145は兄の経過時間 4*0.9 の0.9倍を弟の経過時間とし、それに0.905を足し算したものである。
4*0.9*0.9+0.905=4.145 年
地球に帰る方も経過時間だけから引き算するとこうなる。多分正しい（＾＾）
そうすると地球に向かう減速と加速で兄の経過時間1.934年に対し、兄から観た弟の経過時間は3.71年になる。つまり兄から観て弟は約1.9倍の速度で歳を取るわけである。これで兄から観た弟時間はﾘｱﾙﾀｲﾑになる。兄から観て弟とは最初のんびり動き、次に約2倍の速度でﾊﾟﾀﾊﾟﾀ動き回りまたのんびり動いて結果的に自分より歳を取ってしまう変な奴である。（＾＾）
兄から観れば地球に引き返すための減速・加速期間はお互いに時計が遅れる期間ではなく弟が一方的に歳を取る許されざる期間(?)であり、その意味では「引き返すためのUﾀ-ﾝが歳の差を決める」ことになる。 
ソラミヨ！ やっぱりUﾀ-ﾝで歳の差が決まるのだと成りそうだが同じ歳の差を出すもうひとつの方法がある。
兄から観て弟だけじゃなく姉も登場させよう。まぁ今まで兄弟と妹が登場したから姉という安直な発想だ。
姉は弟と同じく加速度運動をしない。そうすると図のようになる。最終的に姉と兄の歳の差は弟と兄の差と同じで兄の方が若くなるのだが、その差を作るのは地球に引き返すための減速・加速期間ではなく、地球を離れるための加速期間と地球に軟着陸するための減速期間である。
このシリ－ズ 全体の考察と後書き
『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ』は罠が多い！ 大抵の解釈本は罠にかかっている。双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽは解釈本がもっとも馬脚を表すﾃ-ﾏである。著者が相対論を分かっているのかいないのかは双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽを読めば見当がつく。
「『双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの完全解』でここで一般相対論を扱わないと本当は解けないと逃げを打つようだと、本を買う価値もない。」と言い切ったのだが実際問題としてその基準で本を選ぶと買える本が無くなってしまう。情けないがそれが現実だ。
最後に一般相対性理論ではどう扱われているかを言えば扱ってはいない。調べてみられたら宜しい。ﾊﾟｸﾊﾟｸが持っている『一般相対論および重力の理論 裳華房』には双子のﾌの字も登場しない。（＾＾）
もし一般相対論で双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽを扱ったものがあれば知らせて欲しいのだが、まともな一般相対論で双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽを扱うことはもともと無理である。何故なら一般相対論で扱う時空間はある場所の近傍でしか成立しない。早い話、ﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽの元になる全体を眺める時空間が書けないわけだ。通常書かれていることは「水星の近日点移動」とか「皆既日食での光の曲がり」や「ブラックホ－ル」あたりが中心である。
どっちみち、特殊であろうが一般であろうが、『時空図』を扱わないと解決しない。
時空間が一般相対論ではどう変化するかを書いた本はある。『一般相対性理論の直観的方法 長沼伸一郎著』である。
それによると特殊相対論では時空間は正方形から菱形に変形するのだが（図）、加速度や重力が加わると菱形の辺ひとつひとつが丸みを帯びるそうだ。ちょっと見には風を受けた帆みたいになる。参考ｺｺ
なるほどと思いその帆をつないで時空間を作ろうとしたのだがどうしてもうまく行かなかった。
待てよひょっとして．．と思ったのがｽｲｶぐらいの球体に切手ｻｲｽﾞの紙をすきまなく貼れるかと言う問題！ 多分無理でしょう(^^)
ともかくこのシリ－ズは「双子のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽから完全に一般相対論を完璧に駆逐する」ことを目標に書いたわけでしてある程度は成功していると思うのだがどうだろうか？
多少の疑問は読者自身が計算して解決できるように書いたつもりだ。 ともかく4月から続いたこのシリ－ズはひとまずここで終ることにする。少しは考えさせるﾃ-ﾏであったと思うのだがどうだったでしょうか？
--------ｶﾞﾗｶﾞﾗｶﾞﾗ-------
アリス；今晩わ 明けましておめでとうございます。お邪魔します。
マスタ－；おめでとうございます。いらっしゃい！去年に引き続き毎度ありがとうございます。ペコペコ
アリス；やだ！マスタ－ 改まって！ まぁ今年もよろしく
パクパク；すっかり仕切ってるね！
テリス；うむ 宴会奉行！
パクパク；それにしてもまた絵が変わった。あの中央の煙突みたいなのは？
テリス；案外 銭湯の煙突？
アリス；ｺﾗｺﾗ．．．．．
マスタ－；まぁ
ともかく正月らしくお節でいっぱいやってください。
アリス；それじゃぁ～ 遠慮なくﾄｸﾄｸ 乾杯！
パクパク＆テリス；乾杯＆ｸｲｯ
パクパク；うぃ～ お酒も良いね～
テリス；うぃ～ 本当に正月らしくて、でもパクパクさん、例の件、酔わないうちに頼みますよ！
マスタ－；うぃ～←ちゃっかり飲んでる！ そうそうお願いしますね～
パクパク；うむ 世界一短い擬似科学ね ｸｲｯ．． こんなだったか？
１）光はﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
２）音もﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
３）音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は音の媒質である空気がなければ不可能である。
４）よって光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果も光の媒質であるｴ-ﾃﾙが存在しなければならない。
まぁ 音も光も同じようにﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こすのは同じ原理が働いているﾊｽﾞだから．．．．．うぃ？
．．．．．．．無言．．．．．．．
アリス＆テリス； ＾｝｛＾ 大丈夫かなぁ～
アリス；でもまぁ どこから手をつけたら良いのか迷うﾄｺﾛではあるね。
テリス；うむ こう言う場合は感覚的に整理すると分かり易い。本当か嘘かで整理すると
本当；１）光はﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
本当；２）音もﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
本当；３）音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は音の媒質である空気がなければ不可能である。
嘘；４）よって光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果も光の媒質であるｴ-ﾃﾙが存在しなければならない。
アリス；論点を整理するには便利です。１）、２）、３）の真偽は誰も異存はないでしょう。
パクパク；うむ ここでちょっとした心理が働く。当然だと思うこと、正しいと思われることが3個4個と連続すると次に言われたことも正しいと錯覚する。心理的な慣性の法則で、ﾄﾘｯｸや詐欺の常套手段になっている。復活（＾＾）
テリス；でもこのままじゃぁ～音も光も同じ原理でﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こすと言う主張に対抗できない。本当とした１）、２）、３）に何かｶﾗｸﾘがある。
パクパク；うむ 実は『本当のことだが論理に関係ないこと』が紛れ込んでいる。
アリス；それってひょっとして
本当；３）音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は音の媒質である空気がなければ不可能である。？？ ぐいっ
マスタ－；でもそんなの関係ねぇ～、でもそんなの関係ねぇ～ オッ パッ ピィ～
アリス；ｹﾞﾎﾞｯ．．．．．やだ！ マスタ－
マスタ－；いや 失礼！ 去年のｷﾞｬｸﾞでした。
テリス；関係ないはちょっと乱暴かもしれないなぁ～ １）、２）と結論の４）を結ぶ重要な論理だから
パクパク；いやいや 本当に関係ない。試しに３）は「音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は．．．」と展開しているから４）として
４）光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は．．．．．．
と続けてみよう。
アリス； ３）音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は音の媒質である空気がなければ不可能である。
に対抗して
４）光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は媒質であるｴ-ﾃﾙがなくても可能である。
と追加できる。でもそうすると結論である５）はどうなるの？。結論を条件に組みこむのは良くないのじゃ？
テリス；待て待てまとめるから
１）光はﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
２）音もﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こす
３）音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は音の媒質である空気がなければ不可能である。
４）光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は媒質であるｴ-ﾃﾙがなくても可能である。
５）よって？？？？
でもって ５）に何を書くべきか？
パクパク；うむ 結論を変えてみる。
図の左は一般的な音のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果の説明、右はそれを機械的に音源を光源に、観測者の耳を目に置き換えたものだ。
同じ原理でﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こすだろうことは想像できる。
ではその同じ原理とは何だろうか？
アリス；うむ 音は観測者に対して高い音も低い音も同じ音速で届く。一方光も周波数が高い（青い）光も低い（赤い）光も同じ光速で届く．．．．ｱﾀﾘ？
パクパク；その通り！ よって５）は
５）それは音速も光速も音や光の種類に関わらず同じ音速、光速を持っているからである。
が正しい。
アリス；ちょっと待って グイッ すると光のﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果は「光速度不変」の間接的証明になる？
テリス；まぁ そういうことにもなるけどかなり苦しいなぁ 光はｴ-ﾃﾙがあろうがなかろうがﾄﾞｯﾌﾟﾗ-効果を起こすと言うべきだろう。 グイッ
パクパク；うぃ～ まぁ「光速度不変」は一般的に光源や観測者の運動に関係なく速度が一定であるというのだが、赤い光も青い光も強い光も弱い光も一定であることまで拡大すべきだと思っている。
アリス；赤い光、青い光、強い光、弱い光 でもそんなの関係ねぇ～、でもそんなの関係ねぇ～ オッ パッ ピィ～
パクパク；出ました！ 真打！
テリス；ではこの辺で新年会をお開きにします。皆さん 良いお年を
後書き；
１０年ぐらい前に『擬似科学』が話題になりました。ｻｲﾄでは連綿と擬似科学がありますが一般的には忘れられた頃ではないでしょうか？。擬似科学に出会った時、どう思われますか？ 案外ﾈﾀﾊﾞﾚのﾍﾀな手品として楽しんでいませんか？
この話はどうも評判は悪いようです。ｴ-ﾃﾙは存在しないﾊｽﾞなのに何を今更でしょう。
でも簡単そうなﾃ-ﾌﾞﾙﾏｼﾞｯｸだけどどうしてもﾀﾈがわからないものがありますよね！。この話はそういう一品として楽しんでください。ﾈﾀをばらしちゃったけど（＾＾）
ﾁｮﾝﾁｮﾝ