とにかく素人のズウズウしさで不変量の式をＳ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）とする。そしてＹ，Ｚを省略して不変量の式Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２として話を進める。この式をＴ２で両辺割れば（Ｓ／Ｔ）２＝Ｃ２−（Ｘ／Ｔ）２となる。逆説の相対性理論 第２部
第１章）ロ−レンツ変換の不変量
目次
１−１）はじめに
１−３）４次元不変量のシュミレ−ション
１−５）不変量の式Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）の意味するもの
ａ）ピタゴラスの定理
ｂ）固有時間を導く
ｃ）Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２の成立範囲
１−７）計算
番外 「ちょっと一服」
１−１）はじめに
第１部第２章ではふたつの原理からロ−レンツ変換を導き出した。それは「光速度不変の原理」と「すべての慣性形では物理法則が同じ」の２点である。
これらは光速度以下なら不完全ながらも理論の条件を満たしている。
そして相対論的４次元空間いわゆるミンコフスキ−空間はすべての慣性系（基準系も含めて）にはロ−レンツ変換に対して不変量が存在するとされている。その不変量（=Ｓ）とはＳ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２の関係にあるそうだ。？
確かに４次元をＹ＝０、Ｙ＝０として２次元 Ｓ２＝Ｘ２−Ｃ２Ｔ２とした時、ロ−レンツ変換の式 (1)、(2)、(3)、(4)を用いれば「１−６）この章の終りに参照 他に第１部第２章参照」Ｘ２−Ｃ２Ｔ２＝Ｘ’２−Ｃ２Ｔ’２となる。だから Ｓは不変量となるのだが、この考えはきわめて都合が悪い。
４次元不変量Ｓの式Ｓ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２は３次元不変量Ｓ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２の自然な拡張であり、何ら疑問がないように思われるかもしれない。だがきわめて都合が悪いのである。どこが悪いのか？。その説明の前に３次元不変量Ｓ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２を考察しよう。
空中を飛んでいる飛行機を地上から見上げた人がいるとする。一方同じ飛行機を山の上から見た人がいるとする。
二人の人は飛行機の位置を自分の好きな座標で観測したとする。すると二人の観測地はまったくバラバラであり、後から同じ飛行機であったと立証することはできない。
一方各々自分の好きな座標で観測したとしても各々自分の値から飛行機の機首と尾翼の長さを割り出せば、測定誤差と計算誤差を除けばぴったり同じになるであろう。この場合、機首と尾翼の長さは不変量である。なぜなら飛行機の機首と尾翼は伸び縮みしないから！。
だが飛行機の機首と尾翼の距離を測るためにはふたつの点を同時に観測しなければならない。各々の観測者は各々の座標でふたつの点を観測するわけだが、観測した後で座標を都合良く移動し観測点のひとつを座標の原点に持ってくれば後の計算に都合が良い。なにしろひとつの点だけ観測すれば良いから。つまり暗黙の了解の内に不変量Ｓの片方は原点に鎮座する。
よって３次元不変量はＳはＳ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２を満足する。
１−３）４次元不変量のシュミレ−ション
同じ方法で４次元不変量のシュミレ−ションをする。３次元ではＸ、Ｙ、Ｚのみであったが４次元ではそれにＣＴが加わる。 Ｃ；光速度
４次元でもＳの片方は原点（０、０、０、０）にあるとするべきだろう。
３次元でも観測者一人でＳは算出できる。よって観測者を一人とし、飛んでいる飛行機は１秒ごとにランプをフラッシュさせているものとする。
まず最初にランプが光った点を原点とし（Ｔ＝０）、次にランプが光った点のＸ、Ｙ、Ｚを求める。Ｔ＝１は最初に決めたので明らかである。
そして式Ｓ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２に代入してＳを求めるのだが面倒なのでＹ＝Ｚ＝０となるように座標を選んだとすると式Ｓ２＝Ｘ２−Ｃ２Ｔ２となる。Ｘは１秒間に飛行機が飛んだ距離になる。
ところで飛行機は１秒間に何ｍ飛ぶものだろうか？ マッハが１秒間３６０ｍだからまぁ３００ｍ程度だろう。そしてＴは１秒、Ｃは光速度だから３×１０８ｍ／秒 ちょっと待て！！ Ｓはほぼ−３×１０８になる。要するにＳは虚数にしかならない。飛行機が超光速度で飛ばない限りは！。
そう言うわけで不変量（＝Ｓ）をＳ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２のＳにするのはＳが虚数になるから都合が悪い。Ｓが虚数にならないように４次元の不変量はＳ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２ではなく不変量をＳ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）のＳにするべきである。
当然反論があるだろう。不変量が虚数でなぜアカンのだ、不変量が実数だろうと虚数だろうと不変量だから文句言うな！と。だが３次元までは不変量は実数なのである。その自然な延長のはずの４次元不変量がナゼ虚数になるのか？、そして虚数にする必然性はあるのか？。
虚数を使ったから即失格だ、非科学的だ、とまでは言わないが使わなければ使わないほうが良い。虚数はウサン臭い。理解しづらい。そして誤魔化し易いし、収拾がつけにくい。虚数を使わないと量子力学は成立しないと豪語する先生もおられるし、そうかもしれない。だけど虚数を使わないで説明可能な科学もゴマンとある。そして無理に虚数を使う必要がなければ、虚数をなるべく使わないに越したことはない。
また説明では３次元の不変量と４次元の不変量の測定方法、システムが違いすぎる。これでは３次元までの不変量と４次元の不変量は別物だとの批判もあるだろう。だがひとつの点を測定し決めた途端、不変量が決まると言う点では同じである。そして別物でもかまわないと言うより別物にならざるを得ない。虚数をまったく使わずに３次元の不変量を４次元の不変量に拡大できれば良いのだが、ミンコフスキ−空間でも４次元量を虚数ｉを使ってＣＴｉとしている。個人的にはミンコフスキ−空間は統一的でエレガントで魅力的なのだが、実際問題としては人気がないし役に立たないし必然性もない。そこで居直って不変量は変換に対して不変であれば十分なのだとする。そして不変量は実数でなければならないと仮定しておく。
こんな説明では納得できない方もおられよう。今、無理に納得することはないし、結論を急ぐこともない。ただ言っておく。これから述べることを理解するなら納得せざるを得なくなる。
１−５）不変量の式Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）の意味するもの
ａ）ピタゴラスの定理
とにかく素人のズウズウしさで不変量の式をＳ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）とする。そしてＹ，Ｚを省略して不変量の式Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２として話を進める。この式をＴ２で両辺割れば（Ｓ／Ｔ）２＝Ｃ２−（Ｘ／Ｔ）２となる。
書きなおせばＣ２＝（Ｘ／Ｔ）２＋（Ｓ／Ｔ）２でＸ／ＴをＶ（速度）とすれば、Ｃ２＝Ｖ２＋（Ｓ／Ｔ）２である。
これはＣを直角の対角線とする直角三角形の式である。有名なピタゴラスの定理である。そしてＣとＶとＳ／Ｔがこの関係であればかならずＶ＜Ｃである。つまり光速度以上の速度はピタゴラスの定理から存在できない。！
ロ−レンツ変換で不変量ＳがＳ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）の関係にあれば、光速以下の物体をいくらロ−レンツ変換で変換しても光速以上にはならないのである。
ｂ）固有時間を導く
点（Ｘ、Ｔ）を定めた。それは原点（０、０）を通り、点（Ｘ、Ｔ）を通る物体とする座標の網を被せたことである。この時点で不変量ＳはＳ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２を満足するＳとして決まってしまう。この時点でＶとは被せた網で測った対象物の速度（ただしＶ＜Ｃ）である。
いろいろ被せる網の中で横軸が対象物の軌跡と重なるものがひとつある。それは最初に被せた網との相対速度がＶである系である。その座標で観る限りＸ’＝０つまり距離は動かないわけである。
よって Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２＝Ｃ２Ｔ’２−Ｘ’２をＴ２で割りＸ／Ｔ＝Ｖ、Ｘ’＝０とすれば
Ｃ２−Ｖ２＝Ｃ２（Ｔ’／Ｔ）２になるからＴ’＝Ｔ√（１−（Ｖ／Ｃ）２）が導ける。
ミンコフスキ−的な記述Ｓ２＝Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２−Ｃ２Ｔ２ではこうは行かない。ではどうなるかは次の章ではやるのでお楽しみに。以上の操作はロ−レンツ変換がＶ＜Ｃの条件でしか成立しない。そのために不変量Ｓが満足するべき式は ２次元ではＳ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２でなければならない。４次元に拡大するとＳ２＝Ｃ２Ｔ２−（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）の式であるべきだ。なぜならＶ’＜Ｃと言う条件と固有時間Ｔ’が導ける。
ｃ）Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２の成立範囲
Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２は両辺をＴで割りＸ／ＴをＶで置換え整理するとＣ２＝Ｖ２＋（Ｓ／Ｔ）２である。これでＣ，Ｖ，Ｓ／Ｔを辺とする直角三角形が書ける。これはひとつの系を表す。（青線）Ｖ、Ｓ／Ｔは青線の辺の長さである。
一方ロ−レンツ変換をした別の系では別の直角三角形が書ける。これもひとつの系である。（赤線）ＶがＶ’、Ｓ／ＴがＳ／Ｔ’になる。
それ以外にもロ−レンツ変換をした色々な系で色々な直角三角形が書ける。その全ての三角形でＣが共通であるから直角はＣを直径とする半円を描くことになる。
これで０≦Ｖ＜Ｃは成立する。ところでＶがＣに近づくとどうなるか？ 図ではＳ／Ｔ’が０になれば良い。つまりＴ’が∞になれば良い。その条件を飲めば０≦Ｖ≦Ｃとなる。
ロ−レンツ変換で光速以下の速度をより光速に近い速度に見えるよう系を選ぶことができる。物体の進行方向と逆方向の相対速度を持つ系を選べば良い。つまり赤い三角形の系は青い三角形の系から逆方向の相対速度を持つ系である。この関係を第１部第２章「中学生が解くロ−レンツ変換」でおなじみの図で描いたのが左の図である。
ＴがＴ’に変換されるとグンと伸びて行く様子がわかる。
Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２の成立範囲はＶ＝Ｘ／Ｔとして
０≦Ｖ≦Ｃ、０≦Ｔ≦∞
までは良さそうだ。
誤解のないように言っておく。この章で出した式Ｔ’＝Ｔ√（１−（Ｖ／Ｃ）２は第１部第３章の「お互いの時計が遅れるということ」のＢ）数学上の解釈でＴ＝Ｔ’／√（１−（Ｖ／Ｃ）２）と書かかれたものの変形である。
これは基準系から観たＴ’の意味である。
第１部第３章の「中学生が解くロ−レンツ変換」で出した(4)式の変形（Ｘ’＝０としたもの）である。(2)と間違えないで欲しい。これはＸ’を操作したためである。
(1) Ｘ’＝（Ｘ−Ｖt）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） 正変換
(2) t’＝（t-ＸＶ／Ｃ２）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） 正変換
(3) Ｘ＝（Ｘ’＋Ｖt’）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） 逆変換
(4) t＝（t’＋Ｘ’Ｖ／Ｃ２）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） 逆変換
Ｔ’＝Ｔ√（１−（Ｖ／Ｃ）２ この式をＶ＞Ｃまで拡大は出来ない。無理に拡大すれば数式上はＴ’が虚数になる。
もうひとつ注意しておく。この章で明らかにした（またはそのつもりの）のはあくまでロ−レンツ変換で系どうしの相対速度が光速以下の場合である。系の相対速度が光速以上の場合はまだ吟味していない。
１−７）計算 以下は参考
Ｃ２ｔ’２−Ｘ’２＝｛Ｃ２（t-ＸＶ／Ｃ２）２−（Ｘ−Ｖt）２｝／（１−Ｖ２／Ｃ２）
分子＝Ｃ２（t-ＸＶ／Ｃ２）２−（Ｘ−Ｖt）２＝Ｃ２（t２-２ｔＸＶ／Ｃ２＋Ｘ２Ｖ２／Ｃ４）−（Ｘ２−２ＸＶt＋Ｖ２ｔ２）；単純展開
＝Ｃ２t２-２ｔＸＶ＋Ｘ２Ｖ２／Ｃ２−Ｘ２＋２ＸＶt−Ｖ２ｔ２＝Ｃ２t２＋Ｘ２Ｖ２／Ｃ２−Ｘ２−Ｖ２ｔ２；赤は互いに消える。
＝Ｃ２t２−Ｘ２−Ｖ２ｔ２＋Ｘ２Ｖ２／Ｃ２＝Ｃ２t２−Ｘ２−Ｖ２（ｔ２−Ｘ２／Ｃ２）；位置を移動しＶ２でくくる。
＝Ｃ２t２−Ｘ２−Ｖ２／Ｃ２（Ｃ２ｔ２−Ｘ２）＝（Ｃ２ｔ２−Ｘ２）（１−Ｖ２／Ｃ２）
よってＣ２ｔ’２−Ｘ’２＝｛Ｃ２（t-ＸＶ／Ｃ２）２−（Ｘ−Ｖt）２｝／（１−Ｖ２／Ｃ２）
＝（Ｃ２ｔ２−Ｘ２）（１−Ｖ２／Ｃ２）／（１−Ｖ２／Ｃ２）
＝Ｃ２ｔ２−Ｘ２
よって Ｃ２ｔ’２−Ｘ’２＝Ｃ２ｔ２−Ｘ２