したことに、光の線を45度にしたことが疑問であり、不満だった。光の線を45度にすること自体は間違いではない。45度にしたらロ−レンツ変換が導けること、その結果は他の本やら資料と同じであることは一応成果であり成功と言えるだろう。行列式
雑学その２
第7章 行列式を使ったロ−レンツ変換
目次
１）いきなり変換の行列による表現！
２）相対速度Ｖを扱う
３）ガリレオ変換への応用
４）光速度不変の導入
５）ａの決定
６）変換不変量の式を導く
７）例によって この章の終りに
「ちょっと一服」 行列の巻
8)Ｙ軸の導入（空間の拡大）H12.11.23，ｱｯﾌﾟ
8-1）下準備！
８−２）Ｄの一般式
８−３）結論
８−４）結論検証 Ｙ＝ＣＴの時
「ちょっと一服」 行列の巻２
自分で出しておきながら、ロ−レンツ変換の出し方には疑問があり、不満だった。縦軸をX/C、横軸をTとしたことに、光の線を45度にしたことが疑問であり、不満だった。光の線を45度にすること自体は間違いではない。45度にしたらロ−レンツ変換が導けること、その結果は他の本やら資料と同じであることは一応成果であり成功と言えるだろう。
だが厳密には光の線を45度にした時の特殊解でしかない。光の線を30度や60度にしても同じ結果が得られると解って初めて本当の成功なのだ。
どんな尺度でも同じロ−レンツ変換を導けなければならないはずだ。他力本願をしてはならない。
その疑問に対して行列式を利用することでロ−レンツ変換は唯一無二の変換であることを示そう。できるのだ これが！
とは言っても受験生ブル−ス「ｓｉｎ、ｃｏｓｉｎナンになる」だ。ｓｉｎ，ｃｏｓｉｎは確かに普通の生活には役に立たない。だけども設計や電機関係では大いに役立つ、これはわかる。しかし「行列」となるとよりマイナ−な世界、マンズ 何、それ？である じつはパクパクも （＾＾）！。
そう言うわけでここで扱う行列はごくごく初歩的なものにした。（あまり立ち入ったらパクパクもわからない）どちらかと言えば変換の整理に都合が良いから使う程度のほんのさわりなのだ。ではさっそく！
１）いきなり変換の行列による表現！
まず正変換の定義はどうしてこうなるというより、こう定義するものだとしておく。実際にそうだから！もともと行列はリニア−変換の表現として便利なものなのだ。
そこで正変換を定義すると逆変換が公式としてさっさと導ける。速い速い！！！(@@)
まだこの段階では単に正変換（X､TからX',T'を導く）と逆変換（X'､T'からX,Tを導く）だけのことでガリレオ変換かロ−レンツ変換か超光速変換か決まってない。
この逆変換の覚え方は覚えていた方が良い。あまり役には立ちそうもないみたいだが、これだけでD=1となる。なぜなら逆変換した式をもう一度逆変換すると正変換になるわけだが、2回逆変換した分母は
D'=(aB−Ab)/D２=1/Dとなり、
正変換の各要素a､b､A､Bが元の式になるためにはD=1しかない。
言わば逆変換できると言う条件だけでD=1になる。まだ何も決めてない状態で！！(^^)
２）相対速度Ｖを扱う
2つの系の相対速度をVとする。すると座標(X､T）の系から見てちょうどX=VTとなる運動は座標（X',T')の系から見ればX'=０である。ロ内
その関係を代数的に処理するとｂ＝−ａＶが得られる。ロ内
同じ事を逆変換で扱う。今度は座標（X',T')の系から見ればX'=−ＶＴである運動は座標（X,T)の系から見ればX=０である。またまたロ内
これは同じ処理でｂ’＝ａ’Ｖになるのだが、 １）の■、■を考えれば「ａ’はもともとＢ」であり、「ｂ’も、もともとａＶ」なので 結局Ｂ＝ａになる。
よって正変換の結論は図の下のほうの赤線で囲まれた部分になる。
Ｂ，ｂが消えてくれるわけである。
３）ガリレオ変換への応用
上記「変換の一般形」でａ＝１、Ａ＝０とするとガリレオ変換になる。
説明はほとんど不要だろう。
そして逆変換はロでは符号が変わるしロではお互いに交換されるのだが、式に展開するとちゃんと出てくる。
よってガリレオ変換では．．．．．
面倒だからヤメ！
４）光速度不変の導入
上記「変換の一般形」で光速度不変の原理を導入する。
光速度不変とは系（X､T)でX＝CTと観測されるなら系（X'､T')ではX'=CT'と観測されることである。（C；光速度）
よってX=CTとX'=CT'を正変換に入れ展開し、代数的に解くと
A=−ａＶ／Ｃ2が得られる。
５）ａの決定
１）でD=1であることを証明した。それは今でも変わらない。よって
D=ａ２−ａＡＶ＝ａ２（１−Ｖ２／Ｃ２）＝１ ａ＝１／√（１−Ｖ２／Ｃ２）である。
ａを正しか取らないのはガリレオ変換にスム−ズに移行するためである。
念のためにロ−レンツ変換を出して見ると
１）Ｘ’＝（Ｘ−ＶＴ）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
２）Ｔ’＝（Ｔ−ＶＸ／Ｃ2）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
３）Ｘ＝（Ｘ’＋ＶＴ’）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
４）Ｔ＝（Ｔ’＋ＶＸ’／Ｃ2）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
となる。（＾＾）／OK！
６）変換不変量の式を導く
左の数式を見ればお分かりだろう。
最後の数式Ｘ’２−Ｃ２Ｔ’２＝Ｘ２−Ｃ２Ｔ２から
変換不変量をＳ２＝Ｘ２−Ｃ２Ｔ２を満足するＳとするのは自然だろう。
ただ我々としてはこの第2部前半でＳは虚数でないとして
Ｓ２＝Ｃ２Ｔ２−Ｘ２とした。
これにて「行列式を使ったロ−レンツ変換」は終る。この出し方はロ−レンツ変換の条件として光速度不変の原理と逆変換可能の原理（？）しかない。
一般的にロ−レンツ変換では光速度不変の原理は良いとして、他の条件がいまひとつ首をひねる表現が多い。大抵は「相対的」であり、「当たり前」であり、「常識的」なものがくる。この種の「ごく当たり前に受け入れられている原理」でロ−レンツ変換を導くのは問題がある。
ロ−レンツ変換自体が結果として出す「時間の遅れ」や「同時性の相対性」は「当たり前」ではないし、「常識的」なものではない。「当たり前」であり、「常識的」なものはたしかにあるが、結果が「当たり前」でなく、「常識的」なものでない原理を導くのに無条件で「当たり前」であり、「常識的」なものを採用するわけにはいかない。
「お互いに相対的」と言う場合もまた難解である。立場によりどうにでも解釈できる。まさに相対的な用語なのだ。そう。相対的とは立場、系、状況により一律に決めることができないこと。
それに対して「逆変換可能」の方が意味が狭いだけすっきりする。．．．．．と思うのだが．．．．
７）例によって この章の終りに
どうにも気にかかっていた憂い、第1部で導いたロ−レンツ変換は特殊解ではないかと言う疑問はこれで解消した。実際光速度はただ単に「どの系から見ても光速度だ」と言うよくよく言い古された条件以外は使ってない。
だけどもこれで、ロ−レンツ変換は「光速度不変」と「逆変換可能」だけを備えた変換としては唯一無二の存在になりそうである。
それと変換不変量！ この説明は通常概念から始まるため解ったような解らないような結果に終ることが多い。中には時間が虚数表現であることから時間とは実体がない虚構の存在と飛躍する御仁もおられる。第2部で再々注意しているが変換不変量とは変換で変わらない量のことである。
あまり期待できないが、ひょとしたら別の形の不変量があるかも？
このＨＰは勉強しながら書きこんでいる！。行列に詳しい方の指摘があればありがたいのだが。
8)Ｙ軸の導入（空間の拡大）
８−１）下準備！
ガリレオ変換、ロ−レンツ変換どちらも空間はＸのみの（Ｘ、Ｔ）の変換である。それを空間Ｙを追加した場合どうなるのか 検討する。
空間にYを追加すると言うことは2次元ベクトルを3次元ベクトルにすることである。図に示すように（Ｘ’，Ｔ’，Ｙ’）のペア、（Ｘ，Ｔ，Ｙ）のペアはベクトルと呼ばれる。
変換はベクトルがどう変化するかを扱うことである。
一般論を展開すれば3次元ベクトルの展開であるから
X'=aX+bT+cY
T'=dX+eT+fY
Y'=gX+hT+iY
となるのでかなり複雑になる。（本来の行列式）
ただし系をＸ軸に沿って動かすのみの変換ではｃ、ｆ、ｇ、ｈは０で良いし、ｉは１なので図の簡略行列式で代用できる。
１）の「いきなり変換．．」で扱った逆行列の出し方■や■を使った説明は数学的には余因子行列と呼ばれるものをだしている。余因子行列イコ−ル逆行列ではない。逆行列にするためには行列の各因子をＤで割らなければならない。ただ今回の場合「逆変換を再度逆変換にするともとの変換になる」条件からＤ＝１が成り立ち、このＨＰに関する限り余因子行列は逆行列である。
８−２）Ｄの一般式
Dの値は２次元と３次元では大幅に異なる。これらの行列式は代数として解けばいずれも証明できるのだが根気が要る。気になる人は解いて見られたら良い。だがまぁ根競べはこの辺にしておこう。４次元になると気が狂うかもしれない(!!^^)
このくらいの基礎知識さえあれば上記の「簡略行列式」及び「簡略逆行列式」でae-bd=1でさえあればDは１であることが簡単にわかる（割愛する あしからず）
それでD＝１はガリレオ変換、ロ−レンツ変換になる資格があることである。
８−３）結論
すこしａ，ｂ，Ａ，Ｂ，ｄ，ｅの混乱があるかもしれないがさしたる事はあるまい（と思う！(~^)）2次元ベクトルの変換を3次元ベクトルに変換すると行列式としては図のようになる。数式に展開するとこうなる。
ガリレオ変換
Ｘ’＝Ｘ−ＶＴ Ｔ’＝Ｔ Ｙ’＝Ｙ
ガリレオ逆変換
Ｘ＝Ｘ’＋ＶＴ’ Ｔ＝Ｔ’ Ｙ＝Ｙ’
ロ−レンツ変換
Ｘ’＝（Ｘ−ＶＴ）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） Ｙ’＝Ｙ
Ｔ’＝（Ｔ−ＶＸ／Ｃ2）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
ロ−レンツ逆変換
Ｘ＝（Ｘ’＋ＶＴ’）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） Ｙ＝Ｙ’
Ｔ＝（Ｔ’＋ＶＸ’／Ｃ2）／√（１−Ｖ２／Ｃ２）
ハッキリ言えば３）ガリレオ変換への応用 ４）ａの決定にＹ’＝Ｙを追加しただけである。
８−４）結論検証 Ｙ＝ＣＴの時
これでも光速度不変の原理は成立する。証明しよう。Ｙ＝ＣＴであったとする。注意すべきはＸ＝０も考慮するところだろう。
Ｘ＝０、Ｙ＝ＣＴをロ−レンツ変換に代入すると
Ｘ’＝（−ＶＴ）／√（１−Ｖ２／Ｃ２） Ｙ’＝ＣＴ Ｔ’＝Ｔ／√（１−Ｖ２／Ｃ２）が得られる。整理すれば
Ｘ’＝−ＶＴ’ Ｙ’＝ＣＴ’√（１−Ｖ２／Ｃ２）となる。
Ｙ’＝ＣＴ’にならない？ ならなくても良い。基準系からはＹ方向に進む光であるが、慣性系から見ればＹ方向からずれる。ずれはＸ’分 すなわち−ＶＴ’である。よって光が進む距離をＬとすればＬ２＝Ｘ’２＋Ｙ’２＝が Ｃ２Ｔ’２であれば光速度不変の原理は成立する。
Ｌ２＝Ｘ’２＋Ｙ’２＝Ｖ２Ｔ’２＋Ｃ２Ｔ’２(１−Ｖ２／Ｃ２）=Ｖ２Ｔ’２＋Ｃ２Ｔ’２−Ｖ２Ｔ’２＝Ｃ２Ｔ’２
成立している。（＾０＾）／ﾜ-ｲ