第5章　アインシュタインの方程式

逆説の相対性理論　第3部に戻る

第４章　ブラックホ−ルへの道に戻る

第６章　ブラックホ−ルへの道２へ行く

アインの細道　３部作

アインシュタインのテンソルに至る細道が見つかりました。３部作でお送りします。Ｈ１３．９．７

アインシュタインの方程式

　「散策」「ブラックホ−ルへの道」と数式のジャングルになってしまって申し訳ない。ブラックホ−ルは近いようでまだ遠い存在だった。その前にアインシュタインの方程式があり、その前に計量ﾃﾝｿﾙ（ﾒﾄﾘｯｸﾃﾝｿﾙ）がある。第4章は勇み足だった。

　ところでここ（アフィン渓谷）では計量テンソルが登場すると容貌が一変する。計量テンソルとは本文にもあるのだがS^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2のテンソル風表現、S^2=η_υνX^υX^νのη_υν(ｸﾛﾈｯｶ-のﾃﾞﾙﾀ)を元にしたテンソルである。

　η_υν(ｸﾛﾈｯｶ-のﾃﾞﾙﾀ)を一般相対性理論に拡大したｇ_υνがどんな性質を持つのかで登場するのがクリストッフェルのカッコ｛_*^*_*｝、リ−マン−クリストフェルのテンソルR^α_β,μυ、リッチのテンソルR_μυ、スカラ−曲率R、ビアンチの恒等式等々の奇岩群(?)であり、それらの最終形態にアインシュタインのテンソルR^λμ−(1/2)ｇ^λμRが登場する。

　例によって数式が主体の読みやすくはない文章が続くが、(5-5)クリストッフェルのカッコ｛_*^*_*｝あたりから如何に精緻に巧妙に考えられてきたかがわかると有り難い。

　とは言え　いよいよこの章から論理のほころびが目立ち始める。こんなことも知らんのか、作者（パクパク）はアホやとビ−ルのつまみにするのも一興だろう。

５−１）おさらい

５−２）計量テンソル　　

５−３）間隔Ｓと次元

５−４）ｄS^2=ｇ_υν��X^υ��X^νのこと

５−５）クリストッフェルのカッコ　｛_*^*_*｝

５−６）リ−マン−クリストフェルのテンソル　R^α_β,μυ

５−７）リッチのテンソル　R_μυ　　　　スカラ−曲率

５−８）ビアンキの恒等式

５−９）アインシュタインのテンソル　Ｇ^λμ

５−１０）この章の終りに　

　　　　　　　　ちょっと一服「アフィン渓谷の散策」　

　　　　　　　　アインの細道　３部作

アインシュタインのテンソルに至る細道が見つかりました。３部作でお送りします。Ｈ１３．９．７

　　　　　　　　　　　　　　　アインの細道　第１部　　　Ｈ１３．９．７作

　　　　　　　　　　　　　　　アインの細道　第２部　　　Ｈ１３．９．１３作

　　　　　　　　　　　　　　　アインの細道　第３部　　　Ｈ１３．９．２８作

　５−１）おさらい

　行列を使ったロ−レンツ変換は第2部第7章に詳しく紹介した。ここではそれをテンソルの流儀にあわせて展開してみる。これまでのおさらいみたいなものである。まず下記の式からT,T'に注目する。

　Ｘ’＝（Ｘ−ＶT）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　　正変換

　T’＝（T-ＸＶ／Ｃ^２）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　正変換

ＴをＣＴにＴ’をＣＴ’するようまとめる。

Ｘ’＝（Ｘ−ＶＣT/C）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　　正変換

　CT’/C＝（CT/C-ＸＶ／Ｃ^２）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　両辺をC倍して

→CT'=（CT−XV/C)／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　正変換

CT＝Ｘ^０　Ｘ＝Ｘ^１　ＣＴ’＝Ｘ^０’　Ｘ’＝Ｘ^１’とおいて整理すれば

　Ｘ^０’＝（Ｘ^０-Ｘ^１Ｖ／Ｃ）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　

　Ｘ^１’＝（−Ｘ^０Ｖ／Ｃ＋Ｘ^１）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　　

Ａ＝１／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）、Ｂ＝（−Ｖ／Ｃ）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）とおけば

Ｘ^０’＝ＡＸ^０＋ＢＸ^１　　Ｘ^１’＝ＢＸ^０＋ＡＸ^１　　　となる。ここは単に置換置換するだけ！

これを行列で書けば

これをテンソルの流儀で書けば 　　Ｘ^μ＝ｇ^μαＸ^αとなる。

このＸ^μ、Ｘ^αはベクトルを表す。テンソル形式ではベクトルの次元は直接現れない。上の例では2次元であるが同じ形式で3次元、4次元,5次元．．．．を表すことができる。

　さてここで逆変換をテンソルの流儀で書くとＸ^α＝ｇ^αμ’Ｘ^μとなる。すると

Ｘ^μ＝ｇ^μαＸ^α

＝ｇ^μαｇ^αμ’Ｘ^μ

＝δ^μ_αＸ^μとなる。

ただしδ^μ_α＝ｇ^μαｇ^αμ’

δ^μ_αはμ＝αなら１、μ≠αなら０となる記号(クロネッカ−のデルタ)である。

注意しなければならないのは単にｇ^αμと書くとｇ^μαの対称行列を示すことだ。

Ｘ^μ＝δ^μ_αＸ^μを行列で書けばδ^μ_αは所謂行列Eに相当し

δ^μ_α＝ｇ^μαｇ^αμを行列で書けば下記になり逆変換ｇ^αμ’も行列式から求まる。

Ａ^2−Ｂ^2＝１はＡ，Ｂの式を計算すれば明らかだろう。

これで逆変換はＸ^０＝ＡＸ^０’−ＢＸ^１’　　Ｘ^１＝ＢＸ^０’−ＡＸ^１’　　　となる。置換置換してもとに戻すと

　Ｘ＝（Ｘ’＋ＶT’）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　　逆変換

　T＝（T’＋Ｘ’Ｖ／Ｃ^２）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　　逆変換

一方、Ｘ^０’＝ＡＸ^０＋ＢＸ^１　　Ｘ^１’＝ＢＸ^０＋ＡＸ^１　を　お互いに足し算、引き算して

Ｘ^０’＋Ｘ^１’＝（Ａ＋Ｂ）（Ｘ^０＋Ｘ^１）　　Ｘ^０’−Ｘ^１’＝（Ａ−Ｂ）（Ｘ^０−Ｘ^１）　となる。

そのままかけ合わせると

Ｘ^０’^2−Ｘ^１’^2＝（Ａ^2−Ｂ^2）（Ｘ^０^2−Ｘ^１^2）　となる。

Ａ^2−Ｂ^2＝１だから

Ｘ^０’^2−Ｘ^１’^2＝Ｘ^０^2−Ｘ^１^2

置換置換してもとに戻すと

(CT')^2−Ｘ’^2＝(CT)^2−Ｘ^2となる。

ただこれはぎゃくにＸ’^2-(CT')^2＝Ｘ^2-(CT)^2とすることも可能である。

　５−２）計量ﾃﾝｿﾙ（ﾒﾄﾘｯｸﾃﾝｿﾙ）

第3部第2章「特殊相対性理論との統合」　ａ）異文化との接触で　いきなり

>S^2=η_υνX^υX^ν　かつη_υνはミンコフスキ−型計量テンソルで

>υ=ν≠0ならば η_υν＝１，υ=ν=0ならば η_υν＝−１ ,ν≠υならばη_υν＝０　である。

とした。これは明らかにS^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2のテンソル風表現である。それは良いのだが逆の形式S^2=(CT)^2−Ｘ^2−Ｙ^2−Ｚ^2についての考察がない。これでは擬似科学の言う通り、変換不変量を「ナンの根拠もナシにS^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2のＳとした。」と言う主張に真っ直ぐ対抗できない。第2部の最初で悩んだように変換不変量はもともと伸縮しない「空間の棒の長さ」からの直感的な（非科学的な）類推に根拠を置くとしか言えない。それは我々が空間的3次元の世界にいるのだが何らかの手段で2次元とか1次元に移行する幼稚なＳＦの世界から脱却できていないことでもある。

それはさておき　S^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2において

S^2＞０；空間的　　S^2=０；ゼロベクトル　　S^2＜０；時間的

と言う奇妙な説明が登場する。どうも我々が変換不変量Ｓと呼んだもの、実はこれが距離の概念の延長と捕らえているらしい。それにしてもこのネ−ミングはまずい。特にゼロベクトル！　ﾍﾞｸﾄﾙとは大きさと方向を持つ量であるから大きさ０のﾍﾞｸﾄﾙと勘違いする（ｵﾏｴだけだ！ はぁ〜？）

勿論　X=C,T=1,Y=Z=0でもS^2=０である。ｾﾞﾛﾍﾞｸﾄﾙはﾍﾞｸﾄﾙの成分が０を意味しない。

別の本では「間隔」と言う解説がある。「１ｍ間隔で線と引く」と言った場合は間隔は距離であり「２秒間隔で点滅する」と言う場合は時間である。間隔は距離と時間の両方の感覚を持つ．．．．このＳを扱うテンソルを計量テンソルと言う。

ここは最初に述べたように「馬には乗ってみる」ことにする。

そして､両方の感覚(距離or時間)を持つ間隔Sを扱うのが計量テンソルである。

さてS^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2にS^2、テンソルの流儀で書けばS^2=η_υνX^υX^νを微分形式にすれば

ｄS^2=-��(CT)^2＋��Ｘ^2＋��Ｙ^2＋��Ｚ^2　　　ｄS^2=η_υν��X^υ��X^ν

でなければならない。ロ−レンツ変換においてη_υνはミンコフスキ−型計量テンソルで

である。そして我々が存在する空間におけるS^2はS^2＜０；時間的間隔Sである。少なくともこれは特殊相対性理論では成り立つ。

そこで一般相対性理論における間隔SのS^2もS^2＜０；時間的間隔Sであるとし、ｄS^2=ｇ_υν��X^υ��X^νであるとするとき、η_υν≠ｇ_υνであるわけだが、η_υνが持っている性質の一部はｇ_υνでも成り立つ。

うまく証明は出来ないのだが（ﾀﾞﾚか　ﾔｯﾃ!!）その性質とは下記の<0,>0の条件である。

そしてｇ_υνに対してｇ^υνｇ_υν＝Ｅとなる対称反変テンソルｇ^υνを考えておく。物理的意味より数学的な意味を持つ。→５−５）にｇ^σλｇ_σλ＝１が登場する。

ｇ^υνｇ_υν＝１(＝Ｅ) 　5-2-1)式

　５−３）間隔Ｓと次元

結局計量テンソルはS^2=η_υνX^υX^ν　つまり　S^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2で表される間隔Ｓの概念を一般相対性理論にまで発展させたｄS^2=ｇ_υν��X^υ��X^νのｇ_υνのことである。そして空間が曲がっているか否かはｇ_υνを調べれば良い？

だが　間隔とは何か？

通常　空間は座標つきで表現される。2次元空間とか3次元空間とか表現される。そうしないと計算も考察も出来ない。つまり空間とは区分割りされた倉庫のようなものであり、いろんな物質を収納できる。そして物質の位置を断定するのに必要な数値の種類を次元を言う。

次元が変わること　特に低くなる場合は、次元を省略することである。無視することでもある。無視して差し支えないので無視することである。棒の長さは、棒自体は伸び縮みしない前提であるから測定時間は無視してＸ,Ｙ,Ｚ３次元空間の座標からＳを割り出せば良い。このＳは長さと呼ぼうと間隔と呼ぼうとあるいは第２部のように変換不変量と呼ぼうと差し支えない。

４次元空間となると特殊相対性理論の効果で「長さが縮む」ことがあるわけだから、３次元から４次元へのアップは純粋な長さの概念から外れる。３次元から４次元　あるいは４次元から３次元への移行を速やかにして長さの概念を保つにはS^2=-(CT)^2＋Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2で表される間隔Ｓの概念が都合が良い。ただ都合は良いのは数学的形式においてである。次元のアップダウンでいらない次元を無視してうまく繋がる意味では都合が良い。物理的にはそれから他の公式を導く意味ではうまくない。３次元から４次元へのアップは純粋な長さの概念から外れるのだが変換不変量としての概念は残っている。

さて一般相対性理論に移るとＳは変換不変量としての役割さえも放棄する！。ただし局所系では変換不変量の性質を保つこととなる。

読者において、間隔Ｓとはある場合は長さ（＝距離）であり、ある場合は変換不変量であり、ある場合は時間であり、ある場合は変換不変量にはならない厄介な代物であり、感覚的にしかわからないとしておいてもらいたい。→ﾅﾆｶﾞｲｲﾀｲ！　ﾏｧﾏｧ．．．．（＾ﾍ＾）

　５−４）ｄS^2=ｇ_υν��X^υ��X^νのこと

反変ベクトルの共変微分　∇_υA^μ＝∂_υA^μ＋A^λΓ^μ_λυである。

変ベクトルの共変微分　∇_υB_μ＝∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυである。

そして２階共変テンソル(＝計量テンソル)ｇ_υνの共変微分は

∇_λｇ_υν＝∂_λｇ_υν−Γ^σ_υλｇ_σν−Γ^σ_νλｇ_υσ

である。

∇_λｇ_υνは∇_υB_μのキレイな拡張になっている（数学的に）。

特殊相対性理論における計量テンソルη_υνでは当然∇_λη_υν＝０である。

それと同じく一般相対性理論における計量テンソルｇ_υνでも∇_λｇ_υν＝０である。つまり

０＝∂_λｇ_υν−Γ^σ_υλｇ_σν−Γ^σ_νλｇ_υσ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　５−５）クリストッフェルのカッコ｛_*^*_*｝

添え字λυνをλμνに置き変える。そしてλμνを交換して次の3式を作る。

０＝∂_λｇ_μν−Γ^σ_μλｇ_σν−Γ^σ_νλｇ_μσ　5-5-1)式

０＝∂_νｇ_λμ−Γ^σ_λνｇ_σμ−Γ^σ_μνｇ_λσ　5-5-2)式

０＝∂_μｇ_νλ−Γ^σ_νμｇ_σλ−Γ^σ_λμｇ_νσ　5-5-3)式

ここでもミンコフスキ−型計量テンソルη_υνの性質の一部反対称テンソルη_νυは元のテンソルη_υνと同じと言うことが計量テンソルｇ_υνにも適用できると仮定する。つまりｇ_υν＝ｇ_νυである。よってｇ_σν＝ｇ_νσ，ｇ_σμ＝ｇ_μσ．．．とすれば式がかなり見やすくなる。

もうひとつアフィン係数Γ^σ_μλもΓ^σ_μλ＝Γ^σ_λμと仮定する。

ここで添え字をλμνの順に統一して式を書きなおすと

０＝∂_λｇ_μν−Γ^σ_λμｇ_σν−Γ^σ_λνｇ_σμ　5-5-1)'式

０＝∂_νｇ_μλ−Γ^σ_λνｇ_σμ−Γ^σ_μνｇ_σλ　5-5-2)'式

０＝∂_μｇ_λν−Γ^σ_μνｇ_σλ−Γ^σ_λμｇ_σν　5-5-3)'式

5-5-1)'式−5-5-1)'式を計算するとΓ^σ_λνｇ_σμが消えて

０＝∂_λｇ_μν−∂_νｇ_μλ＋(Γ^σ_μνｇ_σλ−Γ^σ_λνｇ_σμ)　5-5-4)式

5-5-4)式−5-5-3)'式を計算するとまたΓ^σ_λνｇ_σμが消えて

０＝∂_λｇ_μν−∂_νｇ_μλ−∂_μｇ_λν＋２Γ^σ_μνｇ_σλ　5-5-5)式

２Γ^σ_μνｇ_σλ＝∂_νｇ_μλ＋∂_μｇ_λν−∂_λｇ_μν　5-5-5)'式

ここでｇ^σλを両辺にかけると（注意；ｇ^σλｇ_σλ＝１）

Γ^σ_μν＝(∂_νｇ_μλ＋∂_μｇ_λν−∂_λｇ_μν）ｇ^σλ／２　5-5-6)式

が得られる。なお参考書ではもっとややこしい方法で

Γ^σ_λν＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　5-5-7)式

となっている。この式はアフィン係数Γ^σ_λνを計量テンソルのみで表したもので

Γ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２

と定義され｛_λ^σ_ν｝をクリストッフェルのカッコと言う。

式から｛_λ^σ_ν｝＝｛_ν^σ_λ｝が簡単に分かる。

クリストッフェルのカッコ｛_λ^σ_ν｝はアフィン係数Γ^σ_λνを計量テンソルのみで表したものである。

５−６）リ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυ

　　曲率テンソルはアフィン係数で出来ている。そのアフィン係数は計量テンソルで表せる。と言うことは曲率テンソルは計量テンソルで表されるわけである。

前章では曲率テンソルをB^α_λ,μυ＝∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ＋Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυとした。

これをクリストッフェルのカッコ｛_λ^σ_ν｝で表すと

B^α_λ,μυ＝∂_μ｛_λ^α_υ｝−∂_υ｛_λ^α_μ｝＋｛_λ^β_υ｝｛_λ^α_μ｝−｛_λ^β_μ｝｛_λ^α_υ｝となる。（ハズ）

この曲率テンソルは特にリ−マンクリストッフェルのテンソルと呼ばれR^α_β,μυと表現される。

R^α_β,μυ＝∂_μ｛_β^α_υ｝−∂_υ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_υ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_υ｝となる。5-6-1)式

ここでクリストッフェルのカッコを展開できるだろうが、展開しても大した意味はない。リ−マンクリストッフェルのテンソルの利点はテンソルとテンソルの関係が簡単に出て来ることである。

一応　参考書に基づくとR_αβ,μυ＝ｇ_ασR^σ_β,μυとすれば

R_αβ,μυ＝R_μυ,αβ　5-6-2)式

R_αβ,μυ＝−R_αβ,υμ　5-6-3)式

R_αβ,μυ＝−R_βα,μυ　5-6-4)式

　R_αβ,μυ＋R_αμ,υβ＋R_αυ,βμ＝０　5-6-5)式

らしい(^^;;)!!　ﾄﾞｺｶﾞ　ｶﾝﾀﾝﾔﾈﾝ!

　この上記　5-6-2)式〜5-6-5)式は

R_αβ,μυ＝(1/2){∂_μ∂_βｇ_υα−∂_υ∂_βｇ_μα＋∂_υ∂_αｇ_μβ−∂_μ∂_αｇ_υβ｝　5-6-6)式

から証明される。この5-6-6)式は

B^α_λ,μυ＝∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ＋Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυ　前章の曲率テンソル

からΓ(アフィン係数)を０として(ただし∂_μΓは０ではない）

B^α_λ,μυ＝∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ

としておいて、

R_αβ,μυ＝ｇ_ασR^σ_β,μυ

＝ｇ_ασ（∂_μΓ^σ_βυ−∂_υΓ^σ_βμ）　5-6-6)'式

とする。→理由は後で！！

一方

Γ^σ_λν＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　5-5-7)式　から

右辺は左辺の係数^σ_λνに含まれない^μを含むからこれを^αに置換え

Γ^σ_λν＝(∂_λｇ_αν＋∂_νｇ_λα−∂_αｇ_νλ）ｇ^σα／２として

5-6-6)'式の右辺に合うようにΓ^σ_βυ、Γ^σ_βμを作る　すなわち

Γ^σ_βυ＝(∂_βｇ_αυ＋∂_υｇ_βα−∂_αｇ_υβ）ｇ^σα／２−−−_λを_βに置き変える。

Γ^σ_βμ＝(∂_βｇ_αμ＋∂_μｇ_βα−∂_αｇ_μβ）ｇ^σα／２−−−_υを_μに置き変える。

よって5-6-6)'式は

ｇ_ασ（∂_μΓ^σ_βυ−∂_υΓ^σ_βμ）

＝∂_μ(∂_βｇ_αυ＋∂_υｇ_βα−∂_αｇ_υβ）／２

−∂_υ(∂_βｇ_αμ＋∂_μｇ_βα−∂_αｇ_μβ）／２

ただしｇ^υνｇ_υν＝１(＝Ｅ) 　5-2-1)式　の変形ｇ_ασｇ^σα＝１を使用する。

＝(1/2){∂_μ∂_βｇ_υα−∂_υ∂_βｇ_μα＋∂_υ∂_αｇ_μβ−∂_μ∂_αｇ_υβ｝　→5-6-6)式

となるわけである。

　理由→このΓ(アフィン係数)を０にできるのはアフィン係数はテンソルでないから局所的には０にできるからである。早い話　局所的にアフィン係数を０にして関係を求めたわけである。これは座標変換でもある。そしてこのΓ(アフィン係数)を０にする座標を測地系とか測地座標系とか言うらしい。

５−７）リッチのテンソル

リ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυを縮約して

R_μυ＝R_υμ＝R^α_μ,υα＝∂_μΓ^α_υα−∂_αΓ^α_μυ＋Γ^α_μβΓ^β_υα−Γ^β_μυΓ^α_βα　5-7-1)式

となるR_μυまたはR_υμをリッチのテンソルと言い

ｇ^μυR_μυ＝RとなるRをスカラ−曲率と言う。　　5-7-2）式−−−−−んっ？

まず　5-7-1)式を導く。元の式は

R^α_β,μυ＝∂_μ｛_β^α_υ｝−∂_υ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_υ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_υ｝となる。5-6-1)式

である。ここでαとυについて縮約をおこなう(υをαに置き変える)と

R^α_β,μα＝∂_μ｛_β^α_α｝−∂_α｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_α｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_α｝

とりあえずこれがR_βμである。すなわち

R_βμ＝∂_μ｛_β^α_α｝−∂_α｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_α｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_α｝である。

上式の_βを_υに置き変える　置換１

R_υμ＝∂_μ｛_υ^α_α｝−∂_α｛_υ^α_μ｝＋｛_υ^λ_α｝｛_λ^α_μ｝−｛_υ^λ_μ｝｛_λ^α_α｝

上式の第3項｛　｝｛　｝を入換える

R_υμ＝∂_μ｛_υ^α_α｝−∂_α｛_υ^α_μ｝＋｛_λ^α_μ｝｛_υ^λ_α｝−｛_υ^λ_μ｝｛_λ^α_α｝

上式の_λを_βに置き変える　置換２

R_υμ＝∂_μ｛_υ^α_α｝−∂_α｛_υ^α_μ｝＋｛_β^α_μ｝｛_υ^β_α｝−｛_υ^β_μ｝｛_β^α_α｝

｛_λ^σ_ν｝＝｛_ν^σ_λ｝であるからそれを｛_β^α_μ｝、｛_υ^β_μ｝に適用する。

R_υμ＝∂_μ｛_υ^α_α｝−∂_α｛_υ^α_μ｝＋｛_μ^α_β｝｛_υ^β_α｝−｛_μ^β_υ｝｛_β^α_α｝

これを展開すると5-7-1)式になる。　証明　おわり！

R_μυ＝R_υμ＝∂_μΓ^α_υα−∂_αΓ^α_μυ＋Γ^α_μβΓ^β_υα−Γ^β_μυΓ^α_βα　5-7-1)式

う〜む　間違いではないのだが　いきなり理解しようとすると置換１､２があるから混乱する。本だけ見て間違いないと確信して読みこなす人は、はたしているのか？。　格言「テンソルは化ける！」

　スカラ−曲率R＝ｇ^μυR_μυ？　誰か　教えて．．．！　　ハッキリ言ってわからない。

５−８）ビアンキの恒等式

　　演算子[X､Y]を　[X､Y]A＝XYA-YXA　と決める。ただしX,Yとも演算子である。

すると[∇_μ､∇_υ]A^α＝∇_μ∇_υA^α-∇_υ∇_μA^α＝R^α_β,μυA^βとなる。

この概念を拡張して[∇_λ、[∇_μ､∇_υ]]A^αを考える！！　　ウ〜　ﾔﾔｺｼそう！

[∇_λ、[∇_μ､∇_υ]]A^α

＝∇_λ[∇_μ､∇_υ]A^α-[∇_μ､∇_υ]∇_λA^α

第1項は簡単である

∇_λ[∇_μ､∇_υ]A^α＝∇_λ(R^α_β,μυA^β)＝∇_λ(R^α_β,μυ)A^β＋(R^α_β,μυ)∇_λA^β

第２項は、またまた計算に失敗するのだが結果は

[∇_μ､∇_υ]∇_λA^α＝R^α_β,μυ∇_λA^β−R^σ_λ,μυ∇_σA^α

となるそうだ(丸写し）．．．．よって

[∇_λ、[∇_μ､∇_υ]]A^α＝∇_λ(R^α_β,μυ)A^β＋R^σ_λ,μυ∇_σA^α　5-8-1)式

である。上式の左辺[∇_λ、[∇_μ､∇_υ]]A^α＝はジャコビの恒等式で常に０である。よって

０＝∇_λ(R^α_β,μυ)A^β＋R^σ_λ,μυ∇_σA^α　5-8-1)'式

λμυについて順序を入換えたもの

０＝[∇_λ、[∇_μ､∇_υ]]A^α＝∇_λ(R^α_β,μυ)A^β＋R^σ_λ,μυ∇_σA^α

０＝[∇_μ、[∇_υ､∇_λ]]A^α＝∇_μ(R^α_β,υλ)A^β＋R^σ_μ,υλ∇_σA^α

０＝[∇_υ、[∇_λ､∇_μ]]A^α＝∇_υ(R^α_β,λμ)A^β＋R^σ_υ,λμ∇_σA^α

を作った場合、全部合計しても０でなければならない。如何なる∇_σA^α_,A^βでも成り立つためには∇^σA^α_,A^βの係数は常に０でなければならない。

この内∇_σA^α　の係数については

R^σ_λ,μυ＋R^σ_μ,υλ＋R^σ_υ,λμ＝０が成り立つ。5-6-5)式　参照

一方この内A^α　の係数については

∇_λ（R^α_β,μυ)＋∇_μ(R^α_β,υλ)＋∇_υ(R^α_β,λμ)＝０　5-8-2)式

が成り立つ。これが有名なビアンチの恒等式である。

５−９）アインシュタインのテンソル　Ｇ^λμ

ビアンチの恒等式∇_λ（R^α_β,μυ)＋∇_μ(R^α_β,υλ)＋∇_υ(R^α_β,λμ)＝０をα,υで縮約する。

第1項∇_λ（R^α_β,μυ)は単純にα,υが消えて∇_λ（R^α_β,μυ)→∇_λR_βμになる。

第2項はR_γβ,υλ＝ｇ_γαR^α_β,υλとした時R_γβ,υλ＝−R_γβ,λυである（　5-6-3)式　参照）からR^α_β,υλ＝−R^α_β,λυである。！　よって∇_μ(R^α_β,υλ)をα,υで縮約すると−∇_μR_βλとなる。

第3項は仕方ないからそのままαをυにしておく。

∇_λR_βμ−∇_μR_βλ＋∇_υ(R^υ_β,λμ)＝０　5-9-1)’式

意味はないのだが本に合わすためβをτにしておく　どうも意味のない置換が多くて(ｸﾞﾁ)

∇_λR_τμ−∇_μR_τλ＋∇_υ(R^υ_τ,λμ)＝０　　5-9-1)式

さてこれから「これにｇ^λτをかけ、添え字μをもち上げると」(原文)

∇_λ（R^λμ−(1/2)ｇ^λμR)＝０となる。　5-9-2)式

「ここでｇ^λτは共変微分が０となる性質を使った」(原文)

この章　最大の謎．．．で,　ともかくこの（R^λμ−(1/2)ｇ^λμR)をアインシュタインのテンソルＧ^λμと言い

Ｇ^λμ＝R^λμ−(1/2)ｇ^λμRと表す。

？？？？？？？？？？？？？

５−１０）この章の終りに　

う−む！　多少問題があるとはいえ、アインシュタインの方程式までたどり着くハズだったのだが　5-9-1)式から5-9-2)式への移行方法がわからない。まぁ　分かったところで直感的に解釈せよとなるとまた悩むけど．．．．．！

アインシュタインのテンソルからアインシュタインの方程式まではあっけなく終るから（アインシュタイン自身は、気に食わないと言ったけど）　アインシュタインの方程式はアインシュタインのテンソルをちゃんと導けないと今後困る。

このHPの特徴は読者の迷惑を省みずに計算式をちゃんと載せることだ。計算式を使わずに理屈だけをゴロゴロ並べることは擬似科学への迷路に通じる。第一　計算式を使わないと間違いを発見できない。次に　別の論理展開を作ろうとすれば、数式は良い道しるべになる。そして　今わからなくとも将来わかるかもしれないから、知的在庫品（？）としての価値がある。

それにしても残念！　ただ諦めは悪い方だからナンヤカヤひねくり回している。その内解答が見つけるだろう。　やはり　アインシュタインは偉かった！？

この章は書いていて面白かった。なんとなくオドロオドロしい世界なのだが、ついに化け猫が正体をあらわし始めたようだ。なにしろテンソルはよく化ける。そう言えばお盆だ！。

化け猫はかわいそうだ。せめて「となりのトトロ」にでてくるバスネコ（？）にしよう。ナゼか　気に入ってる。

どうもその化け方（？）がわかる間はついて行けるが　わからなくなるとバスネコは電線の上を走っている？。５−７）リッチのテンソルは2回も化けてる　化けすぎだよ　ｱﾝﾀ！！

５−５）クリストッフェルのカッコ｛_*^*_*｝における添え字λμν交換により3式5-5-1)〜5-5-3)を作る工程。

５−８）ビアンキの恒等式での同じように添え字λμυについて順序を入換える方法

これらはテンソルならではの手法だろう。

冒頭でも述べたように「アホやな　こうすれば良いジャン」とわかったらメ−ルを下さい。

HP開設以来、初めて２ヶ月もアップ出来なかった。その間に「丹毒で入院」とか、夏風邪を引いたとか、暑さでバテタとか、「渡る世間は鬼ばかり」がうるさかったとか、イロイロあったけど、とにかくアップした。今後　残暑でまたまたバテる予定（？）だけど、ともかくもうちょっとアインシュタインのテンソルを考えて行く。そんなわけだから、次のアップは何時になるか見当がつかない。多分涼しくなってからと思う。

そんなわけでこの「第5章　アインシュタインのテンソル」は終る。

ご清聴ありがとうございました。

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