ブラック

第4章　ブラックホ−ルへの道

逆説の相対性理論　第3部に戻る

第３章　テンソルの散策に戻る

第５章　アインシュタインの方程式に行く

ブラックホ−ルへの道

テンソルの園は如何でしたか？　なんとも抽象的なものばかりですみません。

　昔、当時の森首相がそんな言葉はないと言っていた正常心（？）を取り戻すべく、物理の世界に戻ります。とは言っても何時の間にかまたまたテンソルと戯れてしまいますけど。

　　本船（？）はこれよりテンソルの微分を通り、曲率テンソル、計量テンソルを経て一般相対性理論の入り口に向かいます。右に左に大きく揺れると思いますからご注意下さい。

　なお　第３章同様に　途中でヘタルかもしれませんが　その時はよろしく！

チョンチョン

目次

４−１）共変ベクトルの実際

　　　４−１−１）電界は共変ベクトルである。

　　　４−１−２）「光速度不変の謎」ふたたび

　　　　　　　一服のかわり　「寄り道」　光速度不変　奥の院　参照

４−２）共変微分　　　　

　　　４−２−１）共変微分

　　　４−２−２）アフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）

　　　４−２−３）共変ベクトルの共変微分

　　　４−２−４）　アフィン変換（おまけ）

　　　４−２−５）アフィンのまとめ

　　　　　ちょっと一服じゃない　「とりえず　一服」

４−３）曲率テンソル　　

　　　４−3−１）　２回共変微分∇_μ∇_υA^α≠∇_υ∇_μA^αと言うこと

　　　４−3−２）曲率テンソル

４−４）　微分と言うこと

　　　４−４−１）偏微分　∂Z/∂X

　　４−４−２）微分ｄZ/ｄX

　　４−４−３）∂Z/∂XとｄZ/ｄXと共変微分

　　４−４−４）ｄ²Z/ｄXｄY　と　ｄ²Z/ｄYｄX

　　　４−４−５）空間を曲げるト？

４−５）　この章の終りに

　　　　　　やはり　ここで区切る。このまま続けるにはちと問題が多いのだ。

　　　　　眞（？）　ちょっと一服「アインシュタインの方程式」　次章へのさそい！

４−１）共変ベクトルの実際

　　　４−１−１）電界は共変ベクトルである。

電界Eは共変ベクトルである。といきなり言ってもピンと来ないかもしれない。（来る人もある？）

とりあえず、電界Eは共変ベクトルであると仮定しよう。共変ベクトルであるからあるスカラ−量φ(X)を考えると電界Eの成分は

Eｘ＝-∂φ（X)／∂ｘ，Ey＝-∂φ(X)／∂ｙ，Ez＝-∂φ(X)／∂ｚとなる。

φ(X)としては空中の電位を考えれば良かろう。

これは電界＝-∇電位　と言うことである.。

注意；−（マイナス）をつけたのは電界＝-∇電位　に合わせるためで数学上は

−（マイナス）は必要ありません。

Eは共変ベクトルであるから　E_μ^'(Ｘ')＝(∂Ｘ^υ/∂Ｘ^μ')E_υ(Ｘ)が成り立つ。

それをE_υ(Ｘ)＝E_μ^'(Ｘ')(∂Ｘ^μ'/∂Ｘ^υ)と変形して上式に代入すると

E_ｘ＝-E_μ^'(Ｘ')(∂Ｘ^μ'/∂ｘ)　E_ｙ＝-E_μ^'(Ｘ')(∂Ｘ^μ'/∂ｙ)　E_ｚ＝-E_μ^'(Ｘ')(∂Ｘ^μ'/∂ｚ)

これをちょっと書きなおすと

E_ｘ＝-(E_μ^'(Ｘ')∂Ｘ^μ')/∂ｘ　E_ｙ＝-(E_μ^'(Ｘ')∂Ｘ^μ')/∂ｙ　E_ｚ＝-(E_μ^'(Ｘ')∂Ｘ^μ')/∂ｚ

　共通する−E_μ^'(Ｘ')∂Ｘ^μ'を∂φ'（X')とおけばもとに戻る。試してﾐﾃﾐﾃ！

ところで−E_μ^'(Ｘ')∂Ｘ^μ'＝∂φ'（X')とはE_μ^'(Ｘ')＝−∂φ'（Ｘ')／∂Ｘ^μ'と言うことである.。

これは電界’＝-∇電位’　と言うことである.。

ある系から見た共変ベクトル電界＝-∇電位は別の系から見ても共変ベクトル電界’＝-∇電位’である。つまり電界の式（定義）は変わらない（＝共変）である。すなわち電界Eは共変ベクトルである。

寄り道だが、物理では電場と電界は区別しない。どちらもｅｌｅｃｔｏｒｉｃ−ｆｉｅｌｄの訳語だ。実はパクパクは知らなかった。（出展；「電磁波とはなにか」　後藤尚久著　ブル−ブックス　より）

　　　４−１−２）「光速度不変の謎」ふたたび

電磁気学は電界、磁界から始まるのでどうもやり難いのだが、磁界も同様共変ベクトルとする。さて「光速度不変の謎」ではrotE=-μ０(∂H/∂t)　 rotH=ε０(∂E/∂t)　を出発点とした。

もう一度マックスウェルの電磁方程式を解こう。まず基準系で光の進行方向をＸ軸とする。すると電界、磁界のＸ成分　Ｅｘ，Ｈｘは０になる。

そして電界はＹ成分のみ０でなく、Ｙ成分はＸ，Ｔの関数とする。つまりＥｙ＝Ｅｙ（Ｘ，Ｔ）　　Eｘ＝Ez=0

同じく磁界をＺ成分のみ０でなく、Ｚ成分はＸ，Ｔの関数とする。つまりＨｚ＝Ｈｚ（Ｘ，Ｔ）　　Hx=Hy=0

rotE=-μ０(∂H/∂t)ではrotEは分解して(∂Ez/∂y-∂Ey/∂z)ｉ＋(∂Ex/∂z-∂Ez/∂x)ｊ＋(∂Ey/∂x-∂Ex/∂y)ｋであるが上記の関係から(∂Ey/∂x)ｋしか残らない。ｉ，ｊ，ｋは基本ベクトルであるから残っている(∂Ey/∂x)はＺ方向の成分である。

よってrotE=-μ０(∂H/∂t)は成分だけを書くと(∂Ey/∂x)=-μ０(∂Hz/∂t)となる。

rotH=ε０(∂E/∂t)も同じ方法を取ると(∂Hz/∂x)=-ε０(∂Ey/∂t)となる。

これより(∂²Ey/∂x²)=μ０ε０(∂²Ey/∂t²)となり、Eyの解をEy=ａsin(x-ct)とすればａ;振幅(ｽｶﾗ-)c²μ０ε０＝１であれば良いことになる。もちろんこれはｃ＝1/√(μ０ε０)を表している。endだよ！

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

それでこれを別の系から眺める。

電界、磁界とも共変ベクトルであるからE_μ^'(X')＝(∂X^υ/∂X^μ')E_υ(X)とH_μ^'(X')＝(∂X^υ/∂X^μ')H_υ(X)が成り立つ。

ややこしくなるから系の変換はX軸（光の進行方向）のみ変わるとする。すなわち

X'=X'(X,T)≠X　T'=T'(X,T)≠T　Y'=Y　Z'=Z

μ=1の時X^μ＝X　E_μ^'(X')＝Eｘ’とおけるからEｘ'=(∂X^υ/∂X^')E_υ

ところがE_υでυ＝1,2,3　(=x､y､z)のうち０でないのはEｙ（υ＝2）のみである。

しかしEｘ'=(∂Y/∂X^')Eｙは(∂Y/∂X^')が０である。

よってE_ｘ^'=0　Ez'=0　同じく　H_ｘ^'=0　Hy'=0である。

μ=2の時X^μ＝Y　E_μ^'(X')＝Eｙ’とおけるからEｙ'=(∂X^υ/∂Y^')E_υ

(∂X^υ/∂Y^')で０にならないのはυ＝2のみである。

つまりEｙ'=(∂Y/∂Y^')Eｙ→Eｙ'=Eｙ　同じく　Hｚ'=Hzである。

以上の結果をまとめると

Ｅｙ＝Ｅｙ（Ｘ，Ｔ）　　Eｘ＝Ez=0　→Ｅｙ’（X’，T’）＝Ｅｙ（Ｘ，Ｔ）　　Eｘ’＝Ez’=0

Ｈｚ＝Ｈｚ（Ｘ，Ｔ）　　Hx=Hy=0　→Ｈｚ’（X’，T’）＝Ｈｚ（Ｘ，Ｔ）　　Hx’=Hy’=0

なんのことはない！！　早い話　もとのEy,Hz．．式にみんな　’（ダッシュ）がついただけ！

　そうするとマックスウェルの式はrotE=-μ０(∂H/∂t)　 rotH=ε０(∂E/∂t)は

rotE’=-μ０(∂H’/∂t’)　 rotH’=ε０(∂E’/∂t’)に堂々と置き変えることができる。

　μ０ε０を変更する必然性がない．．．というより変更できない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これはものすごく重要なことだ。どの系からみてもマックスウェルの式は変わらない。．．だけじやなくμ０ε０も変更できない。どの系からみても誘電率ε０と透磁率μ０は同じだ。

(∂²Ey'/∂x'²)=μ０ε０(∂²Ey'/∂t'²)となり、Ey'はEy'=ａsin(x'-ct')とすればａ;振幅(ｽｶﾗ-)

c²μ０ε０＝１が出ることは自明なのである。別の系からみても光速度は不変なのだ。

　　ワカルだワカランだと言う前に騙されたような感じになるが、これを覆すことはできない。

　　しかもただX軸のみの変更であり、慣性系は勿論、加速度系でも成り立つし、超光速でも？？？

う〜む　　恐るべし　共変ベクトル！

余談だがｒｏｔの覚え方は図のような行列式もどきが良い。

ｉ　ｊ　ｋは基本ベクトルである。

ｒｏｔＡのｘ成分は基本ベクトル　ｉ　の係数であり、ｉを通過する

赤い線上の演算子と成分を合成した∂Ａz/∂yから

青い線上の演算子と成分を合成した∂Ａy/∂zを引けば良い。

−−−−−−−−−−−−

一服のかわり　「寄り道」　光速度不変　奥の院　参照

４−２）共変微分

　　　　　４−２−１）共変微分

　共変ベクトルは微分に対して共変であるから上記のような操作が可能であったと言いたいところだが後に書くように本当はそうではない。ただE_Y以外はすべて０、H_Z以外は全て０としたので以下に述べるアフィン係数が出てこなかっただけである。反変ベクトルとなると　はなからうまくいかない。！

　反変ベクトルと共変ベクトルは基本的に異なる。反変ベクトルは座標の値そのものが成分であるから任意の2点を取れば必ずどこかの成分が異なる。

　偏微分ではある反変ベクトル関数A^μ(X)があったとすると、その偏微分∂A^μ(X)/∂X^υはどうなるのか？

問題を言い換えれば∂A^μ(X)/∂X^υは反変ベクトルなのか共変ベクトルなのか？

一般の微分（定義）は　　∂A^μ(X)/∂X^υ＝Lim(1/��X){A^μ(X^υ＋��X)-A^μ(X^υ)}

と書ける。この∂A^μ(X)/∂X^υ自身は形式上添え字がふたつだが本来は添え字ひとつのベクトルである。

これが反変ベクトルなら反変ベクトルの性質　すなわち

B^μ＝(∂X^μ/∂X^α)B^α　ただし　B^μ＝∂A^μ(X)/∂X^υを満足しなければならない。

これをもっと数学的に直せば

(∂A^μ(X)/∂X^υ)＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^υ/∂X^β)(∂A^α(X)/∂X^β)

でなければならない。けれどもそうなってない。反変ベクトルではない．．．ﾝ？

そうなってないとはどうして分かる？　順に解いて行こう。

まず　A^μ(X)＝(∂X^μ/∂X^α)A^α(X)　ダァ〜　（ｱﾝﾄﾆｵ　ｲﾉｷ調）

よって(∂A^μ(X)/∂X^υ)＝(∂(∂X^μ/∂X^α)/∂X^υ)A^α(X)＋(∂X^μ/∂X^α)(∂A^α(X)/∂X^υ)

＝(∂X^２μ/∂X^α∂X^υ)A^α(X)＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂A^α(X)/∂X^β)

もう　良いだろう。収拾がつかないくらい合わない！

何が問題なのか？　整理する！

　ある反変ベクトルA^μ(X)が偏微分可能としよう。当然A^μ(X)を座標変換した反変ベクトルA^α(X)も偏微分可能でなければなるまい。

　そしてA^μ(X)を偏微分したベクトルはA^α(X)を偏微分したベクトルと大きさや方向は異なってもかまわないが同じ種類のベクトルでなければなるまい。そのベクトルは反変ではない。ではナンなのか？そしてどうするのか？

なんと偏微分の定義を変えてしまう！！！！！！！

偏微分できて、しかも偏微分の結果がやはりベクトル（反変ではない）である場合、

そう言う偏微分を共変微分と言う。

共変微分は∇_υA^μと書かれる。

そして∇_υA^μ＝∂A^μ(X)/∂X^υ＋A^λΓ^μ_λυと定義される。

普通の偏微分に比べてA^λΓ^μ_λυだけ余分につく。

このΓ^μ_λυこそがアフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）なのである。

そしてこの∇_υA^μ自身は添え字の位値が示すように混合ベクトル(?)である。

注意；ベクトルは本来添え字ひとつのテンソルであるから

反変ベクトルか共変ベクトルである。

混合ベクトル(?)は本来あり得ない。∇_υA^μは実質としては共変ベクトルなのだが

形式上では混合ベクトル(?)として扱う（苦肉の策）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　　　　４−２−２）アフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）

　要するにアフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）は∇_υA^μ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)∇_βA^αでなければならないためにある。∇_υA^μ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^υ/∂X^β)∇_βA^αではない。注意して欲しい。混合ベクトル(?)である。

　一方∇_υA^μ＝∂A^μ(X)/∂X^υ＋A^λΓ^μ_λυ∇_βA^α＝∂A^α(X)/∂X^β＋A^γΓ^α_γβである。

つまり

∂A^μ(X)/∂X^υ＋A^λΓ^μ_λυ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ){∂A^α(X)/∂X^β＋A^γΓ^α_γβ}；元式

これを計算する！．．その前にA^α(X)＝(∂X^α/∂X^μ)A^μ(X)だから

∂A^α(X)/∂X^β＝(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)A^μ(X)＋(∂X^α/∂X^μ)∂A^μ(X)/∂X^β

＝(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)A^μ(X)＋(∂X^α/∂X^μ)(∂X^υ/∂X^β)(∂A^μ(X)/∂X^υ)

これを右辺に代入すればA^α(X)が消えてくれる。

右辺＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ){(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)A^μ(X)

＋(∂X^α/∂X^μ)(∂X^υ/∂X^β)(∂A^μ(X)/∂X^υ)

＋A^γΓ^α_γβ}

＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^υ/∂X^β)(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)A^μ(X)

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^α/∂X^μ)(∂X^υ/∂X^β)(∂A^μ(X)/∂X^υ)

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)A^γΓ^α_γβ

＝上記第2項は赤青の係数を見ると打ち消し合い

(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^α/∂X^μ)(∂X^υ/∂X^β)(∂A^μ(X)/∂X^υ)

＝(∂A^μ(X)/∂X^υ)になる。

−−−−−−−−−−−−−−−−

よって元式は両辺から∂A^μ(X)/∂X^υが消えて

A^λΓ^μ_λυ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)A^μ(X)

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)A^γΓ^α_γβ

A^λ，A^μ，A^γは反変であるから

A^μ＝(∂X^μ/∂X^λ)A^λ

A^γ＝(∂X^γ/∂X^λ)A^λ

^{が常に成り立ち　その結果}

A^λΓ^μ_λυ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)(∂X^μ/∂X^λ)A^λ

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^γ/∂X^λ)A^λΓ^α_γβ

が常に成り立ち　その結果共通のA^λが省略できる。

Γ^μ_λυ＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^μ/∂X^λ)(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^γ/∂X^λ)Γ^α_γβ

_{右辺第1項は}

(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^μ/∂X^λ)(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)

＝(∂X^μ/∂X^α)(∂X^２α/∂X^λ∂X^υ)

右辺第２項を順番を入れ替え

(∂X^μ/∂X^α)(∂X^β/∂X^υ)(∂X^γ/∂X^λ)Γ^α_γβ

＝（∂X^μ/∂X^α)(∂X^γ/∂X^λ)(∂X^β/∂X^υ)Γ^α_γβ

^{また右辺第1項と第2項を入れ替えて整理する。その結果}

Γ^μ_λυ＝（∂X^μ/∂X^α)(∂X^γ/∂X^λ)(∂X^β/∂X^υ)Γ^α_γβ

＋(∂X^μ/∂X^α)(∂X^２α/∂X^λ∂X^υ)

＜ｅｎｄ＞

多分　ほとんどの読者は数式をサァ〜．．．と飛ばしてここを見るだろう(^^!!)

パクパクでも同じ事をしている。気を悪くしないからご安心を！！

まともに付き合うと気が狂うか、それとも気を失うか？

どっちみちこんなもの覚えられっこないけど．．．．．これがアフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）の関係式！、アフィン係数　Γ（ｶﾞﾝﾏ）の唯一の条件　

　それで気を失う（？）前に、確認しておく。このアフィン係数Γ（ｶﾞﾝﾏ）による共変微分での偏微分した後のベクトルは混合ベクトル(?)である。

そして慣性系対慣性系の変換では(∂X^２α/∂X^μ∂X^β)＝０になるからアフィン係数の関係式は

Γ^μ_λυ＝（∂X^μ/∂X^α)(∂X^γ/∂X^λ)(∂X^β/∂X^υ)Γ^α_γβ

のみとなる。この式自身はアフィン係数が3階混合テンソルであることを示す。

要するに慣性系を扱う場合はアフィン係数＝3階混合テンソルである。

逆に言えば慣性系でない系の場合はアフィン係数はテンソルではない。

　それで何かと言うと擬似接続係数とか言うワケワカラン名前になる。まぁ混合ベクトル(?)(ﾊﾟｸﾊﾟｸの造語)もワケワカランけども(^^)。

　　　　　４−２−３）共変ベクトルの共変微分

　共変微分と普通の偏微分はどこが違い、どこが同じなのか？　

普通の偏微分で成り立つ関係　∂(Ｕ・Ｖ)/∂ｘ＝Ｕ(∂Ｖ/∂ｘ)＋Ｖ(∂Ｕ/∂ｘ)は成り立つ　つまり

∇_υ(A^μB_μ)＝A^μ∇_υB_μ＋B_μ∇_υA^μ

ところで一方�刄ﾓ（ｘ）＝B_μとする時、その共変微分的表現

∇φ（ｘ）＝B_μも成り立つ　要するにスカラ−の共変微分はアフィン係数がつかない。

そしてA^μB_μ自体はスカラ−である。

これらから　ちょっとややこしいけど整理すれば

∇_υ(A^μB_μ)＝A^μ(∂_υB_μ)＋B_μ(∂_υA^μ)＝A^μ∇_υB_μ＋B_μ∇_υA^μ

が成り立つ　なお∂_υB_μは∂B_μ/∂X^υを表すことにする。

さて∇_υA^μ＝∂_υA^μ＋A^λΓ^μ_λυと定義される。

同様に∇_υB_μ＝∂_υB_μ＋B_λΓ^？と定義しておこう。

これを上式に適用するとうまいこと消えてくれて結局

B_μA^λΓ^μ_λυ＋A^μB_λΓ^？＝０となってくれる。

ここでB_μ＝（∂X^λ/∂X^μ)B_λ　　A^λ＝（∂X^λ/∂X^μ)A^μとなるので

Γ^？＝−（∂X^λ/∂X^μ)Γ^μ_λυ

＝−Γ^λ_μυとなる。

早い話　共変ベクトルの共変微分は　∇_υB_μ＝∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυとなる。

＜ｅｎｄ＞

またまた　ほとんどの読者は数式をサァ〜．．．と飛ばしてここを見るだろう(^^!!)

前回と同じく（？）気を悪くしないけどこの証明は実にうまく出来ている。

できたら

テンソル計算の独特な方法がわかっていただけたら

あり難いのだが

．．．<ﾑﾘ?>．．．．

　　　４−２−４）　アフィン変換（おまけ）　　affine transformation

　アフィン係数とは直接関係ないが 線型変換と平行移動の組み合わせによる図形や形状の移動や変形をアフィン変換と言う。具体的には平行移動、回転、左右反転、拡大、縮小等々AVCG(?)でお世話になるやつ(!!^^)

　アフィン変換は元の図形と変換後の図形が直線なら変換後も直線、平行線なら変換後も平行線であるなど、幾何学的性質が保たれる。

　　　４−２−５）アフィンのまとめ

　　アフィンである。アッフ〜ンやウッフ〜ンではない。

　　慣れない式と説明でこんなものが何が重要なのだと思われる方がおられるかもしれない。それはこれから順に述べて行くことになる。これから先はアフィンがなければ始まらない。アフィンはキ−ワ−ドなのだ。

　　所謂「空間が曲がる」と言うこと、それは曲率テンソルや、スカラ−曲率となるわけだがその概念のもとがアフィンなのである。この概念が発展するとアインシュタインの方程式になり、その特殊解がブラックホ−ルである。

　今ここで胡散臭い、信じられないｳﾝﾇﾝを展開するより、これから起こるダイナミックな展開に備えてアフィンとは（とりあえず、賛成しなくても良いから、現時点では）こうなのだと宣言しておこう。

　　ズバリ

反変ベクトルの共変微分　∇_υA^μ＝∂_υA^μ＋A^λΓ^μ_λυ

共変ベクトルの共変微分　∇_υB_μ＝∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυ

である。これが　次の展開の鍵になる。

お疲れ様「とりえず　一服」して下さい。

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４−３）曲率テンソル

　　　　４−3−１）　２回共変微分∇_μ∇_υA^α≠∇_υ∇_μA^αと言うこと

　共変微分の驚くべき重要な性質は２回共変微分した結果は微分した順序に依存することである。すなわち

∇_μ∇_υA^α≠∇_υ∇_μA^αと言うこと

　例によってこの辺はあの式とその式からこの式が出ると言う説明である。ほとんど圧縮デ−タ−みたいなもの！

前節４−２）共変微分の結論からこの式なるものを導くのだが、面倒な方は飛ばしても良い。(T,T）ｶﾅｼｲｹﾄﾞ

→飛ぶ

反変ベクトルの共変微分∇_υA^μ＝∂_υA^μ＋A^λΓ^μ_λυ

共変ベクトルの共変微分∇_υB_μ＝∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυ

μをαに置換える。

∇_υA^α＝∂_υA^α＋A^λΓ^α_λυ∇_υB_μ＝∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυ

反変ベクトル*共変ベクトルの共変微分

∇_υ(B_μA^α)＝∇_υB_μ・A^α＋B_μ・∇_υA^α

＝A^α(∂_υB_μ−B_λΓ^λ_μυ)＋(∂_υA^α＋A^λΓ^α_λυ)B_μ

＝(∂_υA^α・B_μ＋A^α・∂_υB_μ)＋A^λB_μΓ^α_λυ−A^αB_λΓ^λ_μυ

＝∂_υ(B_μA^α)＋B_μA^λΓ^α_λυ−B_λA^αΓ^λ_μυ

B_μを∇_μB_λを∇_ρに置き変える。つまりBを∇に、λ(ﾗﾑﾀﾞ)をρ(ﾛ-)に変える。

左辺；∇_υ(B_μA^α)→∇_υ∇_μA^α

右辺；∂_υ(B_μA^α)＋B_μA^λΓ^α_λυ−B_λA^αΓ^λ_μυ

→∂_υ(∇_μA^α)＋∇_μA^λΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

つまり

∇_υ∇_μA^α＝∂_υ(∇_μA^α)＋∇_μA^λΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

∇_υ∇_μA^α＝∂_υ(∇_μA^α)＋∇_μA^λΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ(色をリセット）

∇_υA^α＝∂_υA^α＋A^λΓ^α_λυから∇_μA^α＝∂_μA^α＋A^λΓ^α_λμと新たに　定義し

また∇_μA^λ＝∂_μA^λ＋A^βΓ^λ_βμと新たに　定義すれば

右辺＝∂_υ(∇_μA^α)＋∇_μA^λΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

＝∂_υ(∇_μA^α)＋∇_μA^λΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

＝∂_υ(∂_μA^α＋A^λΓ^α_λμ)＋(∂_μA^λ＋A^βΓ^λ_βμ)Γ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

＝∂_υ∂_μA^α＋∂_υ(A^λ･Γ^α_λμ)＋∂_μA^λΓ^α_λυ＋A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

＝∂_υ∂_μA^α＋∂_υA^λΓ^α_λμ＋A^λ∂_υΓ^α_λμ＋∂_μA^λΓ^α_λυ＋A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

結局∇_υ∇_μA^α

＝∂_υ∂_μA^α＋∂_υA^λΓ^α_λμ＋A^λ∂_υΓ^α_λμ＋∂_μA^λΓ^α_λυ＋A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

＝∂_υ∂_μA^α＋∂_υA^λΓ^α_λμ＋A^λ∂_υΓ^α_λμ＋∂_μA^λΓ^α_λυ＋A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ−∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

ここで∇_υ∇_μA^αに対して∇_μ∇_υA^αを計算する。υμを入換えるだけだ。

∇_μ∇_υA^α

＝∂_μ∂_υA^α＋∂_μA^λΓ^α_λυ＋A^λ∂_μΓ^α_λυ＋∂_υA^λΓ^α_λμ＋A^βΓ^λ_βυΓ^α_λμ−∇_ρA^αΓ^ρ_υμ

_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

それで∇_μ∇_υA^αと∇_υ∇_μA^αから∇_μ∇_υA^α−∇_υ∇_μA^αを計算するわけだけどヤヤコシイから右辺を１項〜６項に分けて個別に吟味する。

第1項　∂_μ∂_υA^α−∂_υ∂_μA^α→０

第２項　∂_μA^λΓ^α_λυ−∂_υA^λΓ^α_λμ→(０)；注意１

第３項　A^λ∂_μΓ^α_λυ−A^λ∂_υΓ^α_λμ→≠０

第４項　∂_υA^λΓ^α_λμ−∂_μA^λΓ^α_λυ→(０)；注意１

第５項　A^βΓ^λ_βυΓ^α_λμ−A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ→≠０　注意２

第６項　−∇_ρA^αΓ^ρ_υμ＋∇_ρA^αΓ^ρ_μυ→≠０

　注意1；第２項そのものは０ではないが、第２項＋第４項＝０である。

注意２；A^βΓ^λ_β＝(∂X^β/∂X^λ)A^λΓ^λ_β＝A^λ(∂X^β/∂X^λ)Γ^λ_β＝A^λΓ^β_λ

よって第５項は

A^βΓ^λ_βυΓ^α_λμ−A^βΓ^λ_βμΓ^α_λυ

＝A^λΓ^β_λυΓ^α_λμ−A^λΓ^β_λμΓ^α_λυ

＝A^λ(Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυ)

となる。第５'項とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

結局∇_μ∇_υA^α−∇_υ∇_μA^αを計算した結果は３,５',６項のみの

A^λ∂_μΓ^α_λυ−A^λ∂_υΓ^α_λμ

＋A^λ(Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυ)

−∇_ρA^αΓ^ρ_υμ＋∇_ρA^αΓ^ρ_μυ

となる。A^λについて整理して

A^λ(∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ＋Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυ)

＋∇_ρA^α(Γ^ρ_μυ−Γ^ρ_υμ)

着地

信じられないだろうけど、「飛ぶ」から「着地」の間は専門書ではわずかに６行。

それでA^λの係数⁽∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ＋Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυ)を曲率テンソルB^α_λ,μυと呼びB^α_λ,μυ＝∂_μΓ^α_λυ−∂_υΓ^α_λμ＋Γ^β_λυΓ^α_λμ−Γ^β_λμΓ^α_λυとする。

早い話曲率テンソルはアフィン係数で出来ている！。　

　　　　４−3−２）曲率テンソル

　ややこしいので何回も整理する。曲率テンソルをB^α_λ,μυとすると．．

∇_μ∇_υA^α−∇_υ∇_μA^α＝A^λB^α_λ,μυ＋∇_ρA^α(Γ^ρ_μυ−Γ^ρ_υμ)

である。

ここで添え字μﾐｭ-、υｳﾌﾟｼﾛﾝを交換したものを考える。すなわち

∇_υ∇_μA^α−∇_μ∇_υA^α＝A^λB^α_λ,υμ＋∇_ρA^α(Γ^ρ_υμ−Γ^ρ_μυ)

もとの式とそのまま足せば

０＝A^λB^α_λ,μυ＋A^λB^α_λ,υμ＋∇_ρA^α(０）であるから

０＝B^α_λ,μυ＋B^α_λ,υμである。

書きなおせば

B^α_λ,υμ＝−B^α_λ,μυ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　問題はこれがナニを意味するか　分かり難いことである。(^^;)

３次元空間で関数（曲面）が存在する時、

点ＰでＸ方向(Ｘμ)に共変微分して�凾wをかけ点Ｃにいたり、点ＣでＹ方向(Ｘυ)に共変微分して�凾xをかけ点Ｑ'に至るＰ−Ｃ−Ｑ'のル−トと、

点ＰでＹ方向(Ｘμ)に共変微分して�凾xをかけ点Ｒにいたり、点ＲでＸ方向(Ｘυ)に共変微分して�凾wをかけ点Ｑに至るＰ−Ｒ−Ｑのル−トでは

最後のＱとＱ'は異なることがある。その必要十分条件は曲率テンソルが０でないことであり、通常は起こり得ないが、空間が曲がっている場合は起こるとなっては．．いる。(数式の証明つきで！）

　ただ　これでは分かり難い！。分かり難いと言うより誤解しているところがありそう。以下　述べてみる。

　　　　４−４）　微分と言うこと

　数式を書くと大体5回くらい見なおす。書く方はそれだけ大変なのだが、読む方だって大変だ。分かっていても書かざるを得ない。　だけど　その結果　「なにも分からん」じゃぁ　寂しすぎる！（-ｔ-)

　と言うわけで完全オリジナルであるが、この「微分と言うこと」を追加して、共変微分がそもそもどう考えられたのかを追求し、概念を創造してみる。．．．と言うより概念を想像してみる。

　　　　　　　４−４−１）偏微分　∂Z/∂X

ﾍﾞｸﾄﾙを離れてただ単に3次元空間に関数Z=X²+Y²があるとする。この関数は

Y=0ならZ=X²　X=0ならZ=Y²　Z=R²≠０ならR²=X²+Y²である。

よってこの関数Z=X²+Y²はX,Y,Z　3次元空間で図のような曲面になる。

関数が具体的であるからサッサと偏微分できて

∂Z/∂X＝２X　∂Z/∂Y＝２Y　

∂Z²/∂X∂Y＝∂Z²/∂Y∂X＝０である。

スリムなワイングラスの底みたいなイメ−ジだ。

ここでY=0,Y=1,Y=2と固定して考えると、関数Z=X²+Y²は　Z=X²　Z=X²+１　Z=X²+４になる。このいずれの関数も微分すれば２Xとなる。（図　参照）

これより∂Z/∂Xは3次元空間に書かれる関数Z=X²+Y²をYで切った時の曲線のX方向の傾きを示すことになる。言い変えると曲面のX方向の傾きを示すことになる。

∂Z/∂Yも同じように3次元空間に書かれる関数Z=X²+Y²の曲面のY方向の傾きを示すことになる。

曲面に対する微分はこれで終り。

　　　４−４−２）微分ｄZ/ｄX

一方　関数Z=X²+Y²にXとYの関係　例えばY=AXを与えてやれば、3次元空間に書かれる曲線を表すことになる。この曲線は曲面Z=X²+Y²の上に書かれることになる。

つまり「Z=X²+Y²かつY=AX」は曲線である。図の緑の太い曲線

「Z=X²+Y²かつY=AX」はそのまま微分してｄZ/ｄX=２X＋２Y(ｄY/ｄX)=２X+２AY=2(1+A²)Xとしても良いしZ=(1+A²)X²としてｄZ/ｄX=2(1+A²)Xとしても良い。

ここで∂Z/∂XはｄZ/ｄXと違うことに注意されたい。∂Z/∂Xは3次元空間に書かれる関数Z=X²+Y²の曲面のX方向の傾きを示すわけだ。ではｄZ/ｄXはなにを意味するのか？

　実は上の図に書きこんでしまった。小さなZ-Xのグラフの緑の曲線がZ=(1+A²)X²であり、ｄZ/ｄXはその微分なのである。つまり太い曲線にY軸に平行な光線をあてた時にZ-Xスクリ−ンに写る影である。

あたりアエダのｸﾗｯｶ-　ﾌﾙｲねぇ〜

　　　　４−４−３）∂Z/∂XとｄZ/ｄXと共変微分

　あくまで関数「Z=X²+Y²かつY=AX」だけの話だが形式的に

ｄZ/ｄX=∂Z/∂X＋２Y(ｄY/ｄX)　と書ける。

そして共変微分は∇_υA^μ＝∂A^μ(X)/∂X^υ＋A^λΓ^μ_λυと定義される！

　う〜む　「ソナタ〜　ベクトルとテンソル ﾃﾝｿﾙ〜、ソナタ　ただの関数、ｶﾝｽｳ〜」ってｽﾓｳじゃないけど！　似ているようで似てないようで！！　　なんて深く考えてはならない。直感勝負！。共変微分は偏微分より普通の微分に近い！！

　このHPでは直感で「こうじゃないかな？」と思ったらそう「仮定」する。そして遊ぶ！

　今の場合　「共変微分は普通の微分の概念から創造された」と仮定する。否「共変微分は普通の微分の概念から想像された」と．．．似たようなものか！　さぁ　遊ぼう！！

　　　　４−４−４）ｄ²Z/ｄXｄYとｄ²Z/ｄYｄX

「Z=X²+Y²かつY=AX」より

ｄZ/ｄX=２X＋２Y(ｄY/ｄX)=２X+２AY=２(1/A＋A)Y　より　ｄ²Z/ｄXｄY＝２(1/A＋A)

ｄZ/ｄY=２X(ｄX/ｄY)＋２Y=２X/A+２Y=２(1/A＋A)X　より　ｄ²Z/ｄYｄX＝２(1/A＋A)

よってｄ²Z/ｄXｄY＝ｄ²Z/ｄYｄX　おわり(^^)

　　　　４−４−５）空間を曲げるト？

　　　４−3−２）曲率テンソルではｄ²Z/ｄXｄY≠ｄ²Z/ｄYｄXが空間が曲がっている場合は起こることになる。では空間を曲げてみよう。どうやって？。「変換とは座標の網を被せなおすこと」である。今の空間　X,Y,Zは取り合えず曲がってないことにする。そして曲がった空間をX',Y',Z'とする。そう　曲がった空間の座標の網を被せなおせば良い。

ただしX'=X²　Y'=Y　Z'=Zとする。このX'=X²が曲がりなのだ。

すると　Z=X²+Y²→Z’＝X’＋Y’²Y=AX→Y'=A√(X')であり

Z’＝X’＋Y’²Y'=A√(X')を考えることになる。

Z'=X'＋A²X'となるからｄZ'/ｄX'＝(１＋A²)　ｄZ'²/ｄX'ｄY'＝０である。

一方　Z’＝X’＋Y’²＝(1/A²＋１)Y’²となるからｄZ'/ｄY'＝２(1/A²＋１)Y'

加工してｄZ'/ｄY'＝２(1/A＋A)√(X')となるからｄZ'²/ｄY'ｄX'≠０である。

よってｄZ'²/ｄX'ｄY'≠ｄZ'²/ｄY'ｄX'である。

うむ　できた（自己満足)

　とっ　まぁ〜　命題「共変微分は普通の微分の概念から創造された」はそれらしい。少しは共偏微分が分かるような気になるだろうか？？

　　　　４−５）この章の終りに

　う〜む＾４！　やはりここで区切る。ひとつはあまりにも数式が多い割りに雑なこと。数式を追いかけないと分からないだけじゃなく、多分追いかけても分からない！。頭とｼｯﾎﾟに多少ヒントを加えはしたが、やはり　ウンザリ！

　もうひとつは計量テンソルが半端じゃないこと。種類が多い、内容も豊富．．は良いのだがイイカゲンな知識で突っ込むとニッチもサッチも、ヨッチもゴチも（？）行かなくなる。

　専門書でも間違うことはあるのか？　と　問われれば、かつて見つけたと答えておこう。学生時代に経験した。一般教養の教科書になったものだから、一応権威ある半専門書なのだが単純な計算間違いをしていた。それをもとに論理展開しているのだからドエライ問題なのだが、結果オ−ライで誰も問題にしなかった。

　間違いは絶対にないとは言い難い。単純なミスは目をつぶろう（我々にもあるし〜）　ただ論理的なものにはやはり注意したい。

　さて

　残念ながらブラックホ−ルへの道はまだ遠い。その前に「アインシュタインの方程式」が立ちはだかる。最初は単なる通過点のつもりだったがいざ近づくと遠ざかる。いっそ目標にした方が良いとの判断で次の章は「第5章　アインシュタインの方程式」とする。とりあえず　積み残しはそこに収める。

　何回も挑戦して何回も逃げられた方程式である。今度こそ用意周到に追い詰めてゲットしたい。

　最後にこの章は４−４）微分と言うこと　をまとめるのに時間がかかり、思うようにアップできなかった。ここまで読んでいただいた読者に感謝とお詫びをしてこの章をしめくくる。ありがとうございました。

眞（？）　ちょっと一服「アインシュタインの方程式」　次章へのさそい！

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