ﾌﾞﾗｯｸ2

第６章　ブラックホ−ルへの道２

逆説の相対性理論　第3部に戻る

第５章　アインシュタインの方程式に戻る

第７章　シュバルトシルトの解(怪？）へ行く

アインシュタインのテンソルが出たところでもう一度ブラックホ−ルへ挑戦します。前回（４章）はアフィン係数や曲率テンソルの所でポショちゃったのですが夢よモウ一度．．．．と言うわけです。

ただアインシュタインのテンソルそのものを理解しながら進むのは少々骨が折れます。とりあえずブラックホ−ルの麓(ﾌﾓﾄ）から６合目（？）あたりまで　まだ雲の下、シュバルツシルトの外部解まで登って行きます。

六根清浄

６−１）夜空はなぜ暗い？　簡単そうで実は困った問題

　　　　　　　　本当の目的　重力ポテンシャルΦ

６−２）アインシュタインの方程式

　　　　　　　　ａ）定理

　　　　 　　　　ｂ）エネルギ−運動量テンソルＴ^μν

６−３）３次元空間、２次元空間の計量テンソルの解釈

　　　　　　6-3-1）３次元空間の計算

　　　　　　　　ａ）曲座標の計量テンソル　　時間を無視した３次元空間での考察！

　　　　　　　　ｂ）曲座標のクリストッフェルのカッコ

　　　　　　　　ｃ）曲座標のリ−マンクリストッフェルのテンソル

　　　　　　6-3-2)２次元空間の計算

　　　　　　　　ａ）３次元球面上の２次元平面

　　　　　　　　ｂ）アインシュタインのテンソルの式を適用する。

　　　　　　　　ｃ）イロイロな無重力

６−４）アインシュタインのテンソル/方程式　ってナンだ？

　　　　　　　ａ）アインシュタインのテンソルの式　　曲がる条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シュバルツシルト　見参！

　　　　　　　ｂ）クリストッフェルのカッコ

　　 　　 c)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R¹_0,01

　　　　　d)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R⁰_1,10

　　　　 ｅ)どう曲がってる？

６−５）この章の終りに．．．実は口上

　　　　　　　　　　ちょっと一服 「漆黒洞」

６−１）夜空はなぜ暗い？　簡単そうで実は困った問題

夜空はなぜ暗い？　この答えは小学生も熟年の男女も大体同じである。

太陽が沈むから

しかし夜空には星が輝いている。太陽の数百倍の星がゴロゴロ(?)と何万個も輝いている。それなのになぜ暗い？

それは地球から　う〜んと遠いので　光が弱まるから

しかし　星（恒星）がう〜んと数があれば星（恒星）がう〜んと遠くにあろうとやはり夜は明るくなる。つまり夜が暗くなるためには星（恒星）がう〜んと数があってもその効果がなくなるほどう〜んと遠くに配置されなければならない。つまりふたつのう〜んとう〜んの兼ね合いで夜空は暗くなる！。トイレじゃないぞ！（＾o＾）

そこでこの兼ね合いを計算する．．．と言っても別に難しくはない。まず半径rの球の表面積は

４πr^２　　　　　；球の表面積

である。この式は電磁気学でもちょろちょろ出て来る。

球の中心に地球を置き、rを数百光年くらいにする。するとその内側に太陽クラスの恒星がいくつか入る。その密度をρとする。すると半径rと半径r＋drの球のカラ(厚さdr)の中には

ρ４πr^２dr　個

の太陽クラスの恒星が入ることになる。

太陽クラスの恒星ひとつからの地球に到達する光は１／r^２に比例して弱まる。よって　ρ４πr^２dr　個の光は地球に到達する頃は合計すると

ρ４πr^２dr×（１／r^２)＝ρ４πdrに比例している。

よって地球から半径rの球の中にある太陽クラスの恒星からの全ての光量は

∫ρ４πdr＝ρ４πｒに比例することになる。

式　ρ４πｒ　を解釈すると「ｒを無限に大きくすると光量も無限に大きくなる。」つまり宇宙が無限に広がっており、その宇宙に太陽クラスの恒星が（密度が薄くとも）無限に有れば、地球の夜は無限に明るくなる！。（＾＾）

言葉を変えて言えば、恒星が遠ざかるために光が弱まる効果う〜んは恒星の数の増加で光が強くなる効果う〜んによって打ち消され、さらに強まるわけである。う〜んとう〜んの兼ね合いは矛盾する。

この計算に具体的な数値を入れるともっと悲惨になるらしいが．．．ともかく夜が暗いのは地球に到達する光は１／r^２に比例して弱まる以上に弱まるためである。宇宙に限界があるとか、暗黒物質があるとかも、言えなくはないがメジャ−ではない。

具体的に言えば、遠くの星ほど波長が長くなる（＝弱くなる）効果が加わるため、夜空は無限に明るくならない。遠くの星ほど波長が長くなるのは所謂ドップラ−効果、そのドップラ−効果がなぜ起きるかは宇宙が膨張しているから．．．よくよく言われているビッグバン理論である。夜が暗いのは宇宙が膨張している証拠である。

本当の目的　重力ポテンシャルΦ

この辺の話はこのＨＰを読んでいる読者にとって当たり前かもしれない。我々があえて一般相対性理論の真っ最中にこの話をするのは

式∫ρ４πdr＝ρ４πｒ　と　式�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）　ρ（Ｘ）；物質の質量密度

の類似性に注目して　式�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）　の意味を汲み取って欲しいからである。Φは重力ポテンシャルである。そろそろトイレを出よう！。(^ﾍ^)トイレじゃないぞ！

式�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）　を言葉で説明しようとすると結構苦しい。まず数学的な類推から類推する。

式∫ρ４πdr＝ρ４πｒ＝ＳとすればdＳ／dr＝ρ４πである。

　dＳ／drは地球を原点とした極座標のｒで全光量を微分したものである。

この微分をＳの増加率�儡とすれば　�儡＝ρ４πである。

式�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）はその延長線で考えれば良い。

重力も光も距離の２乗に反比例して弱まる。重力の場合　ニュ−トンの万有引力の公式

Ｆ＝ＧｍＭ／ｒ^２

Ｇ＝６．６７±０．００５×１０^-8 　　cm³ｇ^-1sec^-2

＝６．６７±０．００５×１０^-11　　Nm²kｇ^-2＝m³kｇ^-1S^-2　

となるから恒星の質量をＭとすると　ＧＭ／ｒ^２を質量Mの恒星が作る重力場Φと考えて良い。

Φ＝ＧＭ／ｒ^２

半径rと半径r＋drの球のカラ(厚さdr)の中には

ρ（Ｘ）４πr^２dr　個　　　　ρ（Ｘ）；物質の質量密度？

の恒星が入る。これを上記Mとして代入すれば

Φ＝ＧＭ／ｒ^２

＝Ｇ(ρ（Ｘ）４πr^２dr)／ｒ^２

＝Ｇρ（Ｘ）４πdrになるので

増加率�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）になる。

ここでρ（Ｘ）；物質の質量密度　としたのだが、実際には１辺数百光年のスペ−スに入っている恒星の全質量をスペ−スで割ったものだから（気分として）水や空気のような質量密度ではない。ただ物理的、数学的にはタダの質量密度である。ρ（Ｘ）のXは位置により密度が変わることを意味する。

式　�刄ｳ＝４πＧρ（Ｘ）　自体は重力ポテンシャルと宇宙的質量密度（？）ρ（Ｘ）の関係にしか過ぎない。これを言葉で説明しようとすると稀有壮大なオオボラになりそうである。

稀有壮大なオオボラは未だに成功しないのだが、大体こうなる。

地球を宇宙にポツンと浮かんでいる点と考え、それを原点とする座標を考える。そして適当な恒星が適当な存在濃度Ｇρ（Ｘ）で地球を取り巻くとした時、地球は重力ポテンシャルΦの環境に置かれる。

重力ポテンシャルΦは地球を取り巻く恒星が作るポテンシャルでとりあえずスカラ−である。スカラ−であるからポテンシャルそのものを地球をどこかに引っ張る引力（これは方向と量が要るからベクトル）だとしてはならない。Φがいくら大きくともそれは引力が強いことを意味しない。

ただし、地球を引っ張る引力は地球を取り巻く恒星が作るポテンシャルを通して形成されることまで否定してはいない。その引力は−ｍ（ｇｒａｄΦ)であたえられる。ｍは地球の質量である。もし地球を取り巻く恒星が偏った分布をしているならそっちの方向に引力−ｍ（ｇｒａｄΦ)で引っ張られることになる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−

このΦをニュ−トンの重力ポテンシャルΦと言う。ニュ−トン自身が作ったかどうかは知らないが、ニュ−トン力学の範囲では重力ポテンシャルΦはスカラ−でＯＫなのである。

このΦ(ニュ−トンの重力ポテンシャル)をもう少し考える。おなじみの位置エネルギ−

Ｅ＝ｍgｈ　　g；9.8m/s²は

Ｅ＝ｍΦ　　Φ＝gｈと書替えても良い。

Φはまさに重力ポテンシャルである。地球によって作られたΦである。この場合ｈは「物体と地球の中心までの距離を意味しない」。Φの大きさは引力を意味しないからである。Φによる引力は−ｍ（ｇｒａｄΦ)で与えられ、この場合ｈ方向のみであるから

ｇｒａｄΦ＝∂Φ/∂h＝gであり、引力は−ｍgになる。

この重力ポテンシャルΦは後で出て来る。引力とは−ｍ（ｇｒａｄΦ)である。

ただ　この議論は後から気付いたのだが、質量Mの恒星だけが作る重力場をΦとした場合、その恒星による引力Ｆ＝ＧｍＭ／ｒ^２＝−ｍ（ｇｒａｄΦ)ならば

ｇｒａｄΦ＝−ＧＭ／ｒ^２　Φ＝ＧＭ／ｒとなる。

最初の定義　Φ＝ＧＭ／ｒ^２　と異なる？。確かに！。．．．分かるような分からないような謎だが、今後質量Mの恒星だけが作る重力場ΦはΦ＝ＧＭ／ｒとする。（この項　未考慮）

６−２）アインシュタインの方程式

　　　　　　　　ａ）定理

　　アインシュタインのテンソルＧ^μνには次のような定理がある。

∇_μＴ^μν＝０　で　Ｔ^μνはｇ_μν，ｇ_μνの１階微分、ｇ_μνの２階微分を成分とするなら

Ｔ^μν＝c₁Ｇ^μν＋c_２ｇ^μνである。

これを証明するのがまた面倒なので来年まで先送りすることとして（＾０＾）、この定理を使うとアインシュタインの方程式を導ける。

Ｔ^μν＝c₁Ｇ^μν＋c_２ｇ^μν　

Ｇ^μν＋(c_２/c₁)ｇ^μν＝(1/c₁)Ｔ^μν　；*(1/c₁)

Ｇ^μν＋λｇ^μν＝κＴ^μν；c_２/c₁＝λ　(1/c₁)＝κ　とした。

ここでアインシュタインのテンソルをＧ^μν＝Ｒ^μν−(1/2)ｇ^μνＲとすれば

Ｒ^μν−(1/2)ｇ^μνＲ＋λｇ^μν＝κＴ^μνである。

このλｇ^μνがアインシュタインをして「生涯最大の過ち」と言わしめた宇宙項である。このλが０なら宇宙は膨張し、ﾏｲﾅｽなら収縮する。適当な値であれば定常宇宙になる。

実際には宇宙は膨張しているのでλ＝０で良いと言うのがメジャ−だが、数学的には宇宙項が入っても良いわけである。ともかく教科書では

Ｒ^μν−(1/2)ｇ^μν＝κＴ^μνをアインシュタインの方程式としている。

　　　　　　　　ｂ）エネルギ−運動量テンソルＴ^μν

上記アインシュタインの方程式に登場したｇ_μν，ｇ_μνの１階微分、ｇ_μνの２階微分を成分とするＴ^μνをエネルギ−運動量テンソルと言う。このＴ^μνの成分が６−１）のΦと結びつく。

ここで普通なら

裳華房；「一般相対性及び重力の理論」（教科書）　　R^μν−(1/2)ｇ^μνR＝κＴ^μν

が出たわけであるからブラックホ−ルへ行く道すがらアインシュタインの方程式を考えれば良いのだが、「アインの細道第3部　イロイロあるアインシュタインの方程式」で列挙した下記の式が気になる。

学研；「最新アインシュタイン論」　　Ｇ_μν＝８πＧＴ_μν

図解雑学；「重力と一般相対性理論」　　R_μν−(1/2)ｇ_μνR＝（８πＧ/Ｃ^４)Ｔ_μν

通商産業研究社；「一般相対性理論の直観的方法」　　R_μν−(1/2)ｇ_μνR＝Ｔ_μν

これらの式はエネルギ−運動量テンソルの係数の問題であり、エネルギ−運動量テンソルをどう取り扱っているかの問題である。幸いなことに係数（８πＧ/Ｃ^４)を呼び出す呪法(?)があるのでそれで考えて行く．．．．つもりだったがこの呪法(?)は九十九（ﾂｸﾓ）神まで召還するらしい。（＾ι＾）夢枕獏の「陽陰師」は面白い！

簡単に言えば重力場を作る物体が静止していてしかも非常に弱い場合、つまり重力場そのものも静止しておりほぼニュ−トンの重力理論に合う場合で、しかも重力場を作る物体の流れが完全流体に近い場合においては、多くの近似が成り立つので（８πＧ/Ｃ^４)が出て来るわけである。　いま少し　短兵急に結論を求めないで、アインシュタインのテンソルや方程式を眺めたほうが良いようである。H13.10.10　ﾊﾔｲﾊﾅｼ　負けた！

我々はアインシュタインの方程式を数学的に(機械的に）導き出しただけであり、物理的な意味は考慮してない。少々遠回りだが、アインシュタインのテンソルと方程式を考察してからブラックホ−ルへ向かう。

６−３）３次元空間、２次元空間の計量テンソルの解釈

第5章を俗っぽく解釈する。

　　　　　　6-3-1）３次元空間の計算

　　　　　　　　ａ）曲座標の計量テンソル　　時間を無視した３次元空間での考察！

　　　　　　　曲座標を下記に定める。　ψ；X-Y平面に対する仰角　θ；X-Y平面でのX軸に対する回転角

　　　　　X=Ｒsin（θ)cos（ψ) 　　Y=Ｒsin（θ)sin（ψ)　　　Z=Ｒcos（θ)

一応　S^2＝X^2＋Y^2＋Z^2

＝Ｒ^2sin（θ)^2cos（ψ)^2＋Ｒ^2sin（θ)^2sin（ψ)^2＋Ｒ^2cos（θ)^2

＝Ｒ^2{sin（θ)^2(cos（ψ)^2＋sin（ψ)^2)＋cos（θ)^2｝

＝Ｒ^2{sin（θ)^2＋cos（θ)^2｝＝Ｒ^2

つまり　S^2＝Ｒ^2　である。このS^2＝X^2＋Y^2＋Z^2は気取って

S^2＝η_μνX^μX^ν　　μ,ν＝１,２,３　X¹＝X，X^２＝Y，X^３＝Z

η₁₁＝１　η₂₂＝１　η₃₃＝１　η_μν＝０　μ≠ν　と書けるし

dS^2＝η_μνdX^μdX^ν　　；微小変化の式　とも書ける。

ところでこれは同じものを直行座標（X，Y，Z）で見てるか、曲座標（Ｒ,θ,ψ）で見てるかの違いである。

よって微小変化の式もＲ,θ,ψで表され

dS^2＝g_μνdX^μdX^ν　　μ,ν＝１,２,３　　X^１＝Ｒ、X^２＝θ、X^３＝ψ

の形式にすれば　g₁₁＝1 　　g₂₂＝（X¹）^2　　g₃₃＝（X¹sin（θ)）^2　　g_μν＝０　μ≠ν

となる。ピンとこないかもしれないが実は単純なことだ。

曲座標（Ｒ,θ,ψ）で表されたベクトルを（Ｒ＋dＲ,θ＋dθ,ψ＋dψ）とするベクトルにすることを考える。

最初θだけ-dθ動かした時、ベクトルの先が動く距離をS(dθ)とする。同じようにψだけdψ動かした距離をS(dψ)、ＲだけdＲ動かした距離をＳ(dＲ）とするなら、もとのベクトルをdθ,dψ,dＲだけ動かした距離dＳは

dS^2＝S(dＲ)^2＋S(dθ)^2＋S(dψ)^2となる。

つまり　立体的な幾何学でしかない（下図参照）

動く距離　S(dＲ),S(dθ),S(dψ)　のうちで一番考えやすいのがS(dＲ)＝dＲ　次がS(dθ)＝−Ｒdθだろう。

なお最初にdＲだけ動かして次にdθ動かすと、本当はdθの変化で（Ｒ＋dＲ)dθ＝Ｒdθ＋dＲdθとすべきだろうが、dＲdθ＝０として無視することにする。

S(dψ)は注意が要る。考え方を図に示す。S(dψ)＝sin(θ)dψになる。

よって

dS^2＝S(dＲ)^2＋S(dθ)^2＋S(dψ)^2

＝(dＲ)^2＋(Ｒdθ)^2＋(Ｒsin(θ)dψ)^2

テンソル風に書きなおすと

dS^2＝g_μνdX^μdX^ν　　μ,ν＝１,２,３　　X^１＝Ｒ、X^２＝θ、X^３＝ψ

g₁₁＝1 　　g₂₂＝（X¹）^2　　g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2　　他は０

一方直行座標（X，Y，Z）でのテンソル風の式は

dS^2＝η_μνdX^μdX^ν　　μ,ν＝１,２,３　X¹＝X，X^２＝Y，X^３＝Z

　η_１１＝η_２２＝η_３３＝１　他は０

ここで我々は初めてη_**以外の計量テンソルを手に入れた。同じものでも測定方法で計量テンソルは異なる。この計量テンソルを元にしたリ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυは０になる。ハズ．．．．．

　　　　　　　　ｂ）曲座標のクリストッフェルのカッコ

とりあえず、g^μν g_μν＝Ｅ 　となるg^μν を

g¹¹＝1 　　g²²＝1/（X¹）^2　　g³³＝1/（X¹sin(X²)）^2　　　他は０

とする。要するに　g₁₁g¹¹＝1　g₂₂g²²＝1 　g₃₃g³³＝1　なのである。

するとクリストッフェルのカッコΓ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　が計算できる。　第5章　アインシュタインの方程式５−５）　参照

計算と言っても左辺は添え字νσλμで右辺はνσλだ。μをどうする？　だがσ≠μ　ならｇ^σμ＝０だ。だから実際に計算する価値のあるクリストッフェルのカッコはμ＝σとしての

Γ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_σν＋∂_νｇ_λσ−∂_σｇ_νλ）ｇ^σσ／２　だけである。

ここでσ＝１とする。するとｇ_σν,ｇ_λσは０か１であるから偏微分すれば０である。よって

Γ¹_λν＝−∂₁ｇ_νλ／２　だけが残る。　　；ｇ^σσ＝ｇ¹¹＝１　

ｇ_νλについては、ν＝λ以外は０である。よってΓ¹_λνはΓ¹₂₂，Γ¹₃₃以外は０である。

Γ¹₂₂＝−∂₁ｇ₂₂／２＝−(1/2)∂ｇ₂₂／∂X¹＝-X¹　　：λ＝ν＝2　g₂₂＝（X¹）^2

　Γ¹₃₃＝−∂₁ｇ₃₃／２＝−(1/2)∂ｇ₃₃／∂X¹＝-X¹（sin(X²)）^2　　：λ＝ν＝3　g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2

またσ＝２とする。この場合、一端下記のように書いておき、ν，λを代入する前に０になるか否か判断すると早い。

Γ²_λν＝｛_λ²_ν｝＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２

ν＝λ＝１では青字が０になる。（下記）よってΓ²₁₁＝０である。

Γ²₁₁＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２＝０　

ν＝１　λ＝２では青字が０になり、式が1/3に短くなる。

Γ²₁₂＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２　

＝(∂₁ｇ₂₂)ｇ²²／２＝(1/2)(∂（X¹）^2/∂X¹)ｇ²²

＝X¹ｇ²²＝1/X¹　　；g²²＝1/（X¹）^2

以下、同じ事の繰り返しである。面倒なので結論だけ列挙する。

　Γ²₁₃＝０　　　Γ²₂₁＝1/X¹　；上式Γ²₁₂と同じ　つまりΓ²₂₁＝Γ²₁₂＝1/X¹

Γ²₂₂＝０　　Γ²₂₃＝０　　

Γ²₃₁＝０　　　Γ²₃₂＝０

Γ²₃₃＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２　　；ν＝λ＝３では青字が０

＝−(∂₂ｇ₃₃）ｇ²²／２＝−(1/2)(∂g₃₃/∂X²)ｇ²²　　；g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2

＝−sin(X²)cos(X²)　

またσ＝３とする。

Γ³_λν＝｛_λ³_ν｝＝(∂_λｇ_3ν＋∂_νｇ_λ3−∂₃ｇ_νλ）ｇ³³／２

Γ³₁₁＝０　　Γ³₁₂＝０　　

Γ³₁₃＝(∂_λｇ_3ν＋∂_νｇ_λ3−∂₃ｇ_νλ）ｇ³³／２　；ν＝１　λ＝３では青字が０

＝(∂₁ｇ₃₃）ｇ³³／２＝(1/2)(∂g₃₃/∂X¹)ｇ³³

　＝X¹(sin(X²)）^2ｇ³³；g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2

＝1/X¹　　；g³³＝1/（X¹sin(X²)）^2　

Γ³₂₁＝０　　Γ³₂₂＝０

Γ³₂₃＝(∂_λｇ_3ν＋∂_νｇ_λ3−∂₃ｇ_νλ）ｇ³³／２　；ν＝２　λ＝３では青字が０

＝(∂₂ｇ₃₃）ｇ³³／２＝(1/2)(∂g₃₃/∂X²)ｇ³³

＝X¹^2sin(X²)cos(X²)ｇ³³；g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2

　　　　　＝cos(X²)/sin(X²)　　；g³³＝1/（X¹sin(X²)）^2

Γ³₃₁＝1/X¹Γ³₃₂＝cos(X²)/sin(X²)　　Γ³₃₃＝０　

結局、曲座標における０でないリ−マンクリストッフェルのカッコは

Γ¹₂₂＝-X¹　　　Γ¹₃₃＝-X¹（sin(X²)）^2　　

Γ²₁₂＝Γ²₂₁＝1/X¹Γ²₃₃＝−sin(X²)cos(X²)

Γ³₁₃＝Γ³₃₁＝1/X¹Γ³₂₃＝Γ³₃₂＝cos(X²)/sin(X²)　

でもこの計算は合ってるのｶｲﾅ！→ 　ﾗｼｲ！

　　　　　　　　ｃ）曲座標のリ−マンクリストッフェルのテンソル

リ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυは（第5章　５−６）参照　ｹﾞｪｯ〜

R^α_β,μυ＝∂_μ｛_β^α_υ｝−∂_υ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_υ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_υ｝となる。5-6-1)式

この式も左辺はα,β,μ,υの４文字なのに右辺はα,β,μ,υ,λの５文字で落ち着かない。

教科書に従いα＝１,β＝３,μ＝１,υ＝３とすると

R¹_3,13＝∂₁｛₃¹₃｝−∂₃｛₃¹₁｝＋｛₃^λ₃｝｛_λ¹₁｝−｛₃^λ₁｝｛_λ¹₃｝

＝∂₁｛₃¹₃｝＋｛₃^λ₃｝｛_λ¹₁｝−｛₃^λ₁｝｛_λ¹₃｝　　；｛₃¹₁｝＝Γ¹₃₁＝０

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで初心(?)に戻り「Ｘ^υ,ｘ^αの仮面をかぶっている式は一族全員が参加している。Σ_υ=0^３が省略されている。」とする。＜第3章　テンソルの散策／３−１）反変ベクトルと共変ベクトル／ａ）ｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αの解釈＞　参照

つまり　

｛₃^λ₃｝｛_λ¹₁｝−｛₃^λ₁｝｛_λ¹₃｝＝��_λ=1³［｛₃^λ₃｝｛_λ¹₁｝−｛₃^λ₁｝｛_λ¹₃｝］

＝｛₃³₃｝｛₃¹₁｝＋｛₃²₃｝｛₂¹₁｝＋｛₃¹₃｝｛₁¹₁｝−｛₃¹₁｝｛₁¹₃｝−｛₃²₁｝｛₂¹₃｝−｛₃³₁｝｛₃¹₃｝

＝−｛₃³₁｝｛₃¹₃｝　　；青字が０

＝−Γ³₃₁Γ¹₃₃

＝−(1/X¹)（-X¹（sin(X²)）^2)＝(sin(X²)）^2

となる。_{（小声）っと考えるべきだろうなぁ〜}

よって

R¹_3,13＝∂₁｛₃¹₃｝＋｛₃^λ₃｝｛_λ¹₁｝−｛₃^λ₁｝｛_λ¹₃｝

＝∂Γ¹₃₃／∂X¹＋(sin(X²)）^2

＝∂(-X¹（sin(X²)）^2)／∂X¹＋(sin(X²)）^2

＝-（sin(X²)）^2＋（sin(X²)）^2＝０　　となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

なおμ＝υならR^α_β,μμ＝０　λはなんでも良い。下記赤と青で打ち消し合う！。

R^α_β,μμ＝∂_μ｛_β^α_μ｝−∂_μ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_μ｝

＝∂_μ｛_β^α_μ｝−∂_μ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_μ｝

このようにユ−クリッド空間ではR^α_β,μμ＝０になる。(原語）（^0^)oh〜

なお　ここで注意したいのだがR^α_β,μμの変わりに

R_αβ,μυ＝(1/2){∂_μ∂_βｇ_υα−∂_υ∂_βｇ_μα＋∂_υ∂_αｇ_μβ−∂_μ∂_αｇ_υβ｝　5-6-6)式

を計算してR^α_β,μμ＝ｇ^ααR_αβ,μυとするとまったく別のものになる。これはΓ(アフィン係数)を０としてR_αβ,μυを導いているためである。第5章　ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの方程式　５−６）参照

　　　　　6-3-2)２次元空間の計算

　　　　　　　　ａ）３次元球面上の２次元平面

早い話、地球の表面における平面の話である。幾何学の「三角形の内角の和は１８０゜である」というのは普通のサイズなら地表にかいた三角形でも成り立つ。だが三角形の中にロシアや中国がすっぽり入るほど大きい三角形なら「内角の和は１８０゜以上」になる。

曲がった2次元平面と言っても良いだろう。

曲座標を下記に定める。　ψ；X-Y平面に対する仰角　θ；X-Y平面でのX軸に対する回転角

　　　　　X=Ｒsin（θ)cos（ψ) 　　Y=Ｒsin（θ)sin（ψ)　　　Z=Ｒcos（θ)

この曲座標の原点を地球の中心に置き、Rを地球の半径とする。すると地上の任意の点はθとψで表される。これは2次元である。（ただし　曲がった！）

この平面でも

dS^2＝ｇ_μνdX^μdX^ν　　μ,ν＝１,２　X¹＝θ，X^２＝ψ

となり、g₁₁＝R^2　　g₂₂＝（Rsin(X¹)）^2　　他は０

および　g¹¹＝1/R^2　　g²²＝1/（Rsin(X¹)）^2　　他は０　　となる。

するとクリストッフェルのカッコΓ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　が計算できる。　第5章　アインシュタインの方程式５−５）　参照

例によってσ≠μ　ならｇ^σμ＝０だ。だから実際に計算する価値のあるクリストッフェルのカッコはμ＝σとして

Γ^σ_λν＝(∂_λｇ_σν＋∂_νｇ_λσ−∂_σｇ_νλ）ｇ^σσ／２となり

Γ¹_λν＝(∂_λｇ_1ν＋∂_νｇ_λ1−∂₁ｇ_νλ）ｇ¹¹／２

以下　青文字は０を示す

Γ¹₁₁＝(∂₁ｇ₁₁＋∂₁ｇ₁₁−∂₁ｇ₁₁）ｇ¹¹／２＝０

Γ¹₁₂＝(∂₁ｇ₁₂＋∂₂ｇ₁₁−∂₁ｇ₁₂）ｇ¹¹／２＝０

Γ¹₂₁＝Γ¹₁₂＝０

Γ¹₂₂＝(∂₂ｇ₁₂＋∂₂ｇ₂₁−∂₁ｇ₂₂）ｇ¹¹／２

＝−(∂ｇ₂₂/∂X¹）ｇ¹¹／２　　

＝−sin(X¹)cos(X¹)　；g₂₂＝（Rsin(X¹)）^2　　g¹¹＝1/R^2

Γ²_λν＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２となり

Γ²₁₁＝(∂₁ｇ₂₁＋∂_νｇ₁₂−∂₂ｇ₁₁）ｇ²²／２＝０

Γ²₁₂＝(∂₁ｇ₂₂＋∂₂ｇ₁₂−∂₂ｇ₂₁）ｇ²²／２

＝(∂ｇ₂₂/∂X¹）ｇ²²／２

＝cos(X¹)/sin(X¹)＝Γ²₂₁；g₂₂＝（Rsin(X¹)）^2　g²²＝1/（Rsin(X¹)）^2

Γ²₂₂＝(∂₂ｇ₂₂＋∂₂ｇ₂₂−∂₂ｇ₂₂）ｇ²²／２＝０

結局　　　Γ¹₂₂＝−sin(X¹)cos(X¹)　　Γ²₁₂＝Γ²₂₁＝cos(X¹)/sin(X¹)　　他は０　となる。

Γ^σ_λνも｛_λ^σ_ν｝もΓ¹₂₂もクリストッフェルのカッコと言う。(ﾗｼｲ!)．．．．でそのクリスが出たので例によってリ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυを求めるわけだが「μ＝υならR^α_β,μμ＝０　λはなんでも良い。」わけだから　０でないリ−クリのテンソル(?)は

R^α_β,12，R^α_β,21のみである。

R^α_β,12＝∂₁｛_β^α₂｝−∂₂｛_β^α₁｝＋｛_β^λ₂｝｛_λ^α₁｝−｛_β^λ₁｝｛_λ^α₂｝とすれば

計算すべきR^α_β,12はR¹_1,12　R¹_2,12R²_1,12R²_2,12

R¹_1,12＝∂₁｛₁¹₂｝−∂₂｛₁¹₁｝＋｛₁^λ₂｝｛_λ¹₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ¹₂｝　；青字が０

＝��_λ｛₁^λ₂｝｛_λ¹₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ¹₂｝

＝｛₁¹₂｝｛₁¹₁｝−｛₁¹₁｝｛₁¹₂｝＋｛₁²₂｝｛₂¹₁｝−｛₁²₁｝｛₂¹₂｝＝０

つまりR¹_1,12＝０

R¹_2,12＝∂₁｛₂¹₂｝−∂₂｛₂¹₁｝＋｛₂^λ₂｝｛_λ¹₁｝−｛₂^λ₁｝｛_λ¹₂｝

＝∂₁｛₂¹₂｝＋｛₂¹₂｝｛₁¹₁｝−｛₂¹₁｝｛₁¹₂｝＋｛₂²₂｝｛₂¹₁｝−｛₂²₁｝｛₂¹₂｝　；同時に書く

＝∂₁｛₂¹₂｝−｛₂²₁｝｛₂¹₂｝

＝−∂(sin(X¹)cos(X¹))/∂X¹−{cos(X¹)/sin(X¹)}{−sin(X¹)cos(X¹)｝

＝−(cos(X¹))^2＋(sin(X¹))^2＋(cos(X¹))^2

＝(sin(X¹))^2

面倒になった！　結果だけ書くと

　R¹_2,12＝(sin(X¹))^2　　R¹_2,21＝−(sin(X¹))^2　　他は０

それで

R¹_2,21＝−(sin(X¹))^2＝Ｒ₂₂；リッチのテンソル

Ｒ＝g²²Ｒ₂₂　　；Ｒ₂₂によるスカラ−曲率

＝−(sin(X¹))^2/(Rsin(X¹))^2　　　；g²²＝1/（Rsin(X¹)）^2

＝−1/R^2

一方

R_12,12＝g₁₁R¹_2,12＝R^2(sin(X¹))^2　；g₁₁＝R^2

R_21,12＝−R_12,12＝−R^2(sin(X¹))^2　

R²_1,12＝ｇ²²R_21,12；g²²＝1/（Rsin(X¹)）^2

＝−１　　　　これもＲ₁₁；リッチのテンソル　

Ｒ＝g¹¹Ｒ₁₁　　；Ｒ₁₁によるスカラ−曲率

＝−1/R^2　　；g¹¹＝1/R^2

ただしスカラ−曲率Ｒ自体は

Ｒ＝g^μνＲ_μν＝��_μ��_νg^μνＲ_μν

＝g¹¹Ｒ₁₁＋g²²Ｒ₂₂

＝−2/R^2　である。

この関係式Ｒ＝-2/R^2より　Ｒをスカラ−曲率と呼ぶ　どうだ！　分かったかとなるのだが．．．．．．．．今ひとつ！

　　　　　　　　ｂ）アインシュタインのテンソルの式を適用する。

まぁ　ともかく．．．これは３次元的に見たら曲がっている２次元空間の話である。その空間ｇ_μνは

ｇ_μν；　g₁₁＝R^2　　g₂₂＝（Rsin(X¹)）^2　　他は０

と　書かれ、リッチのテンソル、スカラ−曲率Ｒは

R_μν；　R₂₂＝−(sin(X¹))^2　　R₁₁＝−１　　他は０　　Ｒ＝−2/R^2

である。これらが

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　　；アインシュタインのテンソルの式

を満足していることを示そう。どうも教科書を除いてほとんどの本が添え字を下につけている。多分上記の形にも導けるのであろう。（＾＾）　　　R_μν,ｇ_μνを行列として書くと

となる。よって

行列＝−R_μν＝ｇ_μν/R^2

書き変えると

R_μν＋ｇ_μν/R^2＝０

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　　；Ｒ＝−2/R^2　より

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　　　　　　ｃ）イロイロな無重力

　これは曲がった２次元空間の話の話である。結果としてそれはアインシュタインのテンソルＧ_μν＝０を満足する。

　　３次元的に見たら曲がっている２次元空間の話？？　　　簡単に考えよう。我々は地球の表面(＝曲がった２次元空間)に縛り付けられているアワレ(?)な存在である。そこではミクロ的(実生活上)ではﾕ-ｸﾘｯﾄﾞ幾何学が成り立つ。土地を買うとか売る場合、その面積は四角四面の土地ならば縦×横（ｍ^2）として計算すれば良い。どこの不動産でもそれで良い。だけどその面積がベラボ−に大きくなり中国やロシアがすっぽり入るくらいになると縦×横（ｍ^2）としての計算では成り立たない。「三角形の内角の和は１８０゜」ではないからであり、曲がった２次元空間だからである。

ではこれを４次元的に見たら曲がっている３次元空間の話に書きなおせるか？

これはミクロ的に見たら問題ないがマクロ的(総括的)に見たら問題となる事項があるかと言う問いでもある。その実例を所謂「自由落下のエレベ−タ−」では次のように記述する。

最初　エレベ−タ−内にふたつのリンゴを適当な距離において自由落下をさせる。このリンゴは地球の中心に近づくにつれ、徐々に接近するはずである。なぜなら各々のリンゴは地球の中心に向かって落ちて行くだけであるから。

これはリンゴ間に引力が働いたためではなく、空間がそうなっているから接近すると言うわけだ。

そうすると(無重力)のアインシュタインの方程式もイロイロあることになる。「自由落下のエレベ−タ−」での無重力も無重力である。だけど本当の無重力なら「リンゴが徐々に接近する」ことはない。「自由落下のエレベ−タ−」での無重力は時間的空間的に局所の無重力である。

そんなわけでＲ_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０は完全なる(?)無重力ではなくﾊﾞ-ﾁｬﾙな無重力の式である。完全なる(?)無重力ではＲ_μν＝０，Ｒ＝０だから０−(1/2)ｇ_μν×０＝０となる。「一切が空？」とでも言おうか？　ともかく

我々の空間は４次元的に見たら曲がっている３次元空間なのである。

我々が概念する宇宙はﾊﾞ-ﾁｬﾙな無重力はあるが本当の無重力はない。宇宙にそっと置いた物体はそのうちどこかの星に落っこちるか、楕円の衛星軌道にハマルしかないわけである。（小声）ココまで言いきって良いのか？

そう言うわけだ。．．お待たせしました。いよいよ　ブラックホ−ルの本質に突入しよう。

６−４）アインシュタインのテンソル／方程式　ってナンだ？

まずアインシュタインのテンソルの式と　アインシュタインの方程式を並べる。

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　　；アインシュタインのテンソルの式

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν　　；アインシュタインの方程式

アインシュタインのテンソルの式はＴ_μν＝０でのアインシュタインの方程式であるからアインシュタインのテンソルの式はＴ_μν＝０(無重力)でのアインシュタインの方程式であると言えそうである。←早口言葉？

そしてこの式Ｒ_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０自体は計量テンソルｇ_μνの条件である。スカラ−曲率Ｒの空間の「自由落下のエレベ−タ−」での無重力(=ﾊﾞ-ﾁｬﾙな無重力)での式である。

それでまずアインシュタインのテンソルの式から行く！

　　　　　　　　ａ）アインシュタインのテンソルの式　　曲がる条件

シュバルツシルト　見参！

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　　；アインシュタインのテンソルの式

これに　　ａ）曲座標の計量テンソル　　時間を無視した３次元空間での考察！　の式

dS^2＝S(dＲ)^2＋S(dθ)^2＋S(dψ)^2

＝(dＲ)^2＋(Ｒdθ)^2＋(Ｒsin(θ)dψ)^2

にCTを考慮する。つまり

dS^2＝−(CdT)^2＋S(dＲ)^2＋S(dθ)^2＋S(dψ)^2

＝−(CdT)^2＋(dＲ)^2＋(Ｒdθ)^2＋(Ｒsin(θ)dψ)^2

テンソル風に書きなおすと

dS^2＝g_μνdX^μdX^ν　　μ,ν＝０,１,２,３　　X^０＝CT、X^１＝Ｒ、X^２＝θ、X^３＝ψ

g₀₀＝−1　g₁₁＝1 　　g₂₂＝（X¹）^2　　g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2　　他は０

そして、リ−マンクリストッフェルのテンソル→リッチのテンソル→スカラ−曲率と追い詰めるわけであるが、残念ながらこのままではリ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυは全て０になる。その結果スカラ−曲率も０になる。つまり　曲がらない。

ではこれが曲がるためにはどうすれば良いか？　「ａ）３次元球面上の２次元平面」　　「ｂ）アインシュタインのテンソルの式を適用する。」にヒントが隠されている。

ｇ_μν；　g₁₁＝R^2　　g₂₂＝（Rsin(X¹)）^2　　他は０

R_μν；　R₂₂＝−(sin(X¹))^2　　R₁₁＝−１　　他は０

この式からR_μν/ｇ_μν＝−(1/R^2）となる。これがＲ＝−2/R^2≠０に繋がるわけだ。

．．．と言うことはR_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０を満足することはR_μν/ｇ_μν＝(1/2)Ｒ≠０　を満足させることである。ただしｇ_μν＝０ならR_μν＝０でこれは計算しない。

そうなるとR₀₀，R₁₁ともR₀₀/g₀₀＝R₁₁/g₁₁≠０であるようにg₀₀，g₁₁ を決めなければならない。

R₀₀から検討する。

R₀₀＝R^α_0,0α＝∂₀｛₀^α_α｝−∂_α｛₀^α₀｝＋｛₀^λ_α｝｛_λ^α₀｝−｛₀^λ₀｝｛_λ^α_α｝

上式にα＝０を代入すれば簡単に計算できるが、R⁰_0,00＝０である。だからαは１以上である。ところで上の式は全て｛₀^ａ_ｂ｝と書ける項を含んでいる。これらの｛₀^ａ_ｂ｝が全部０であれば、R₀₀は０になるからいくつかは０ではない。

ところでクリストッフェルのカッコ　Γ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　　より

｛₀^ａ_ｂ｝＝(∂₀ｇ_μb＋∂_bｇ_0μ−∂_μｇ_b0）ｇ^ａμ／２　

となるがこの｛₀^ａ_ｂ｝が０でないためにはｇ^ａμ≠０　つまりａ＝μでなければならないから

｛₀^ａ_ｂ｝＝(∂₀ｇ_ａb＋∂_bｇ_0ａ−∂_ａｇ_b0）ｇ^ａａ／２となる。

ここで∂₀ｇ_ａbに注目する。これは計量テンソルの成分をＣＴで微分することである。もしこれが０でないなら計量テンソルが時間的に変化することである。逆に∂₀ｇ_**＝０なら時間経過によって空間が変化しないことである。今　どんな条件だったか？　空間がニョロニョロ変わるなら無重力どころではない。よって今の条件下では∂₀ｇ_ａb＝０である。．．．．なら

｛₀^ａ_ｂ｝＝(∂₀ｇ_ａb＋∂_bｇ_0ａ−∂_ａｇ_b0）ｇ^ａａ／２

＝(∂_bｇ_0ａ−∂_ａｇ_b0）ｇ^ａａ／２であり、

この｛₀^ａ_ｂ｝が０でないためには、ａ，ｂが同時に０であってはダメだが、ａかｂどちらかはかならず０でなければならないことになる。

言葉を変えて言えば、ｇ₀₀はX^０(=ＣＴ)を含んではならないが、X^０以外のものはなにかひとつはかならず含まなければならない。

同様にして

R₁₁＝R^α_1,1α＝∂₁｛₁^α_α｝−∂_α｛₁^α₁｝＋｛₁^λ_α｝｛_λ^α₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ^α_α｝

各項は｛₁^*_*｝がかならず入っている。よってこれらの｛₁^*_*｝が全部０であれば、R₁₁は０になるからいくつかは０ではない。

｛₁^ａ_ｂ｝＝Γ^ａ_1b＝(∂₁ｇ_ａb＋∂_bｇ_1ａ−∂_ａｇ_b1）ｇ^ａａ／２ になる。

ａ＝０の場合｛₁⁰_ｂ｝＝Γ⁰_1b＝(∂₁ｇ_0b＋∂_bｇ₁₀−∂₀ｇ_b1）ｇ⁰⁰／２　であるからb＝０以外は０である。

Γ^０_1０=｛₁⁰₀｝=｛₀⁰₁｝＝(∂₁ｇ₀₀）ｇ⁰⁰／２ 　他のa＝０のΓ⁰_**は０

ｂ＝０の場合｛₁^ａ₀｝＝Γ^ａ₁₀＝(∂₁ｇ_ａ0＋∂₀ｇ_1ａ−∂_ａｇ₀₁）ｇ^ａａ／２であるからa＝０以外は０である。

Γ^０_1０=｛₁⁰₀｝=｛₀⁰₁｝＝(∂₁ｇ₀₀）ｇ⁰⁰／２ 　他のｂ＝０のΓ⁰_**は０

要するにａかｂが０なら、ａ＝ｂ＝０以外の｛₁^ａ_ｂ｝は０である。これらは少なくともｇ₀₀はX¹(=Ｒ)を含んでいなければならないことになる。

時間経過によって空間が変化しない条件とはｇ₀₀はX^０(=ＣＴ)を含んではならない　かつX¹(=Ｒ)を含んでいなければならない。

g₁₁ も同じような条件がでるはずだが、うまく行かない。ﾄﾎﾎ．．．．

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

教科書に従ってこのg₀₀を

g₀₀＝−１−（2Φ/Ｃ^2）とする。　　Φ；重力ポテンシャル　−−−−−？？

断っておくがこの章は教科書からかなり逸脱している。教科書通りだとまず分からない。さてΦは重力ポテンシャルである。引力とは−ｍ（ｇｒａｄΦ)である。よって力をＦ＝ｍＭＧ／Ｒ^2とした時、Φ＝−ＭＧ／Ｒとなる。つまり　座標の原点に質量Ｍを置いた時、質量の外側でかつ原点からＲだけ離れたところのΦはＲに反比例する。

g₀₀＝−１＋（2ＭＧ/Ｃ^2）／Ｒ　　テンソル表現ではg₀₀＝−１＋（2ＭＧ/Ｃ^2）/Ｘ¹である。

通常考えられる（2ＭＧ/Ｃ^2）/Ｘ¹は非常に小さい値である。この値が次第に大きくなりついに１となると、g₀₀＝０となるのだが．．．．．．その結果はどうなるかはさておき．．．　（2ＭＧ/Ｃ^2）/Ｘ¹＝１となるＸ¹の値をＲに戻して

Ｒ＝2ＭＧ/Ｃ^2　　とする時、このＲをシュバルツシルト半径　と言う。

このシュバルツシルト半径とは何か．．．．それはまたまた　さておき．．．．．．（2ＭＧ/Ｃ^2）＝ａとしておく。ａは普通　非常に小さい値である。（「この章の終りに」参照）

よって

g₀₀＝−（１−ａ/Ｘ¹）　　　g⁰⁰＝1/g₀₀＝−１/（１−ａ/Ｘ¹）

これに対して

g₁₁＝１/（１−ａ/Ｘ¹）　　　g¹¹＝1/g₁₁＝（１−ａ/Ｘ¹）

わけだが　今後　面倒な計算をまだ少しするので

g₁₁＝−（１−ａ(Ｘ¹)^-1）^-1　　　g¹¹＝1/g₁₁＝−（１−ａ(Ｘ¹)^-1）

とする。

早い話

g₀₀＝−（１−ａ/Ｘ¹）　g₁₁＝1/（１−ａ/Ｘ¹） 　　g₂₂＝（X¹）^2　　g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2　　他は０

g⁰⁰＝−1/（１−ａ/Ｘ¹）　g¹¹＝（１−ａ/Ｘ¹） 　　g²²＝1/（X¹）^2　　g³³＝1/（X¹sin(X²)）^2　

なら　R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　を満足する（ハズ）．．．．教科書では！！！

そして再度クリストッフェルのカッコΓ^σ_λν＝｛_λ^σ_ν｝＝(∂_λｇ_μν＋∂_νｇ_λμ−∂_μｇ_νλ）ｇ^σμ／２　を計算する。．．．．のだが、．．．．．．．

　　　　　　　ｂ）クリストッフェルのカッコ

何回もニャンカイも、指摘したと思うが、ｇ^σμはｇ^σμ＝０（σ≠μ）であるから

Γ^σ_λν＝(∂_λｇ_σν＋∂_νｇ_λσ−∂_σｇ_νλ）ｇ^σσ／２である。

例によって青文字は０として

σ＝３の場合Γ³_λν＝(∂_λｇ_3ν＋∂_νｇ_λ3−∂₃ｇ_νλ）ｇ³³／２=(∂_λｇ_3ν＋∂_νｇ_λ3）ｇ³³／２

これはλ，νのどちらかは３で残りは３以外である。λ＝３とすると

Γ³_3ν＝(∂₃ｇ_3ν＋∂_νｇ₃₃）ｇ³³／２＝(∂_νｇ₃₃）ｇ³³／２

Γ³₃₀＝(∂₀ｇ₃₃）ｇ³³／２＝０ 　　Γ³₃₃＝(∂₃ｇ₃₃）ｇ³³／２＝０

Γ³₃₁＝(∂₁ｇ₃₃）ｇ³³／２＝(∂₁（X¹sin(X²)）^2）／｛２（X¹sin(X²)）^2}

＝２（X¹sin(X²)）／｛２（X¹sin(X²)）^2}＝１／（X¹sin(X²)）

結論　　Γ³₃₁＝Γ³₁₃＝１／（X¹sin(X²)）

Γ³₃₂＝(∂₂ｇ₃₃）ｇ³³／２＝(∂₂（X¹sin(X²)）^2）／｛２（X¹sin(X²)）^2}

＝２（X¹sin(X²)）cos(X²)／｛２（X¹sin(X²)）^2}＝cos(X²)／（X¹sin(X²)）

結論　　Γ³₃₂＝Γ³₂₃＝cos(X²)／（X¹sin(X²)）

σ＝２の場合Γ²_λν＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2−∂₂ｇ_νλ）ｇ²²／２

∂₂ｇ_νλ≠０はλ＝ν＝３　のみであるから先に計算する。

Γ²₃₃＝(∂₃ｇ₂₃＋∂₃ｇ₃₂−∂₂ｇ₃₃）ｇ²²／２

=−(∂₂ｇ₃₃）ｇ²²／２=−(∂₂（X¹sin(X²)）^2）／{２（X¹）^2}

＝２（X¹sin(X²)）cos(X²)／{２（X¹）^2}＝sin(X²)cos(X²)／X¹

λ≠νなら∂₂ｇ_νλ＝０であるからΓ²_λν＝(∂_λｇ_2ν＋∂_νｇ_λ2）ｇ²²／２　λ，νのどちらかは２で残りは２以外である。となるが、残りが０か３では結局０になるから残りは１しかない。

Γ²₂₁＝(∂₂ｇ₂₁＋∂₁ｇ₂₂）ｇ²²／２＝(∂₁ｇ₂₂）ｇ²²／２

＝(∂₁（X¹）^2）／{２（X¹）^2}＝１／X¹

結論　　Γ²₂₁＝Γ²₁₂＝１／X¹

σ＝１の場合Γ¹_λν＝(∂_λｇ_1ν＋∂_νｇ_λ1−∂₁ｇ_νλ）ｇ¹¹／２

∂₁ｇ_νλはλ＝νならばλ＝０，１，２，３すべて０以外の解がある。参考　g¹¹＝（１−ａ/Ｘ¹）

Γ¹₀₀＝(∂₀ｇ₁₀＋∂₀ｇ₀₁−∂₁ｇ₀₀）ｇ¹¹／２＝(−∂₁ｇ₀₀）（１−ａ/Ｘ¹）／２

Γ¹₁₁＝(∂₁ｇ₁₁＋∂₁ｇ₁₁−∂₁ｇ₁₁）ｇ¹¹／２＝(∂₁ｇ₁₁）（１−ａ/Ｘ¹）／２

Γ¹₂₂＝(∂₂ｇ₁₂＋∂₂ｇ₂₁−∂₁ｇ₂₂）ｇ¹¹／２＝(−∂₁ｇ₂₂）（１−ａ/Ｘ¹）／２

Γ¹₃₃＝(∂₃ｇ₁₃＋∂₃ｇ₃₁−∂₁ｇ₃₃）ｇ¹¹／２＝(−∂₁ｇ₃₃）（１−ａ/Ｘ¹）／２

計算する前に（忘れる前に）λ≠νの場合も考慮しておく。これは∂₁ｇ_νλ＝０だからΓ¹_λν＝(∂_λｇ_1ν＋∂_νｇ_λ1）ｇ¹¹／２であり、λ，νのどちらかは１である。ただしそうすれば０でないｇはｇ₁₁となるが、ｇ₁₁はX¹しか含んでないので結局０になる。

では順番に行こう。下記の式をみて

g₀₀＝−（１−ａ/Ｘ¹）　g₁₁＝1/（１−ａ/Ｘ¹） 　　g₂₂＝（X¹）^2　　g₃₃＝（X¹sin(X²)）^2　

∂₁g₀₀＝−∂₁（１−ａ/Ｘ¹）＝−ａ/Ｘ¹^2

　∂₁g₁₁＝∂₁（１−ａ/Ｘ¹）^-1 ＝｛−1/（１−ａ/Ｘ¹）^2}{ａ/Ｘ¹^2}

　　∂₁g₂₂＝２X¹

　　∂₁g₃₃＝２sin(X²)^2X¹

　よって（結論）

Γ¹₀₀＝(−∂₁ｇ₀₀）（１−ａ/Ｘ¹）／２＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）

Γ¹₁₁＝(∂₁ｇ₁₁）（１−ａ/Ｘ¹）／２＝(−1/2)(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

Γ¹₂₂＝(−∂₁ｇ₂₂）（１−ａ/Ｘ¹）／２＝−X¹（１−ａ/Ｘ¹）

Γ¹₃₃＝(−∂₁ｇ₃₃）（１−ａ/Ｘ¹）／２＝−sin(X²)^2X¹（１−ａ/Ｘ¹）

σ＝０の場合Γ⁰_λν＝(∂_λｇ_0ν＋∂_νｇ_λ0−∂₀ｇ_νλ）ｇ⁰⁰／２＝(∂_λｇ_0ν＋∂_νｇ_λ0）ｇ⁰⁰／２

λ，νのどちらかは０で残りは０以外である。となるが、残りが２か３では結局０になるから残りは１しかない。

Γ⁰₀₁＝Γ⁰₁₀＝(∂₁ｇ₀₀＋∂₀ｇ₁₀）ｇ⁰⁰／２

＝(∂₁ｇ₀₀）ｇ⁰⁰／２＝(∂₁ｇ₀₀）（−１/2）/（１−ａ/Ｘ¹）

＝（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

結論　　Γ⁰₀₁＝Γ⁰₁₀＝（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

^{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

これで全部だ。結論をまとめると

Γ⁰₀₁＝Γ⁰₁₀＝（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）＝{₀⁰₁}＝{₁⁰₀}

Γ¹₀₀＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）＝{₀¹₀}

Γ¹₁₁＝(−1/2)(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）＝{₁¹₁}

Γ¹₂₂＝−X¹（１−ａ/Ｘ¹）＝{₂¹₂}

Γ¹₃₃＝−sin(X²)^2X¹（１−ａ/Ｘ¹）＝{₃¹₃}

Γ²₂₁＝Γ²₁₂＝１／X¹＝{₂²₁}＝{₁²₂}

Γ³₃₁＝Γ³₁₃＝１／（X¹sin(X²)）＝{₃³₁}＝{₁³₃}

Γ³₃₂＝Γ³₂₃＝cos(X²)／（X¹sin(X²)）＝{₃³₂}＝{₂³₃}

なんとも　スゴイ！

^{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

　　　　c)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R¹_0,01

リ−マンクリストッフェルのテンソルR^α_β,μυは（第5章　５−６）参照　ｹﾞｪｯ〜その２

R^α_β,μυ＝∂_μ｛_β^α_υ｝−∂_υ｛_β^α_μ｝＋｛_β^λ_υ｝｛_λ^α_μ｝−｛_β^λ_μ｝｛_λ^α_υ｝となる。5-6-1)式

υ＝α、μ＝βとして

R^α_β,βα＝∂_β｛_β^α_α｝−∂_α｛_β^α_β｝＋｛_β^λ_α｝｛_λ^α_β｝−｛_β^λ_β｝｛_λ^α_α｝

β＝０として

R^α_0,0α＝∂₀｛₀^α_α｝−∂_α｛₀^α₀｝＋｛₀^λ_α｝｛₀^α_λ｝−｛₀^λ₀｝｛_λ^α_α｝

＝−∂_α｛₀^α₀｝＋｛₀^λ_α｝｛₀^α_λ｝−｛₀^λ₀｝｛_λ^α_α｝

α＝1の場合

R¹_0,01＝−∂₁｛₀¹₀｝＋｛₀^λ₁｝｛₀¹_λ｝−｛₀^λ₀｝｛_λ¹₁｝

右辺をふたつに分けて計算する。まず−∂₁｛₀¹₀｝

−∂₁｛₀¹₀｝＝−∂₁(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）

＝(−ａ/2)∂₁{(Ｘ¹^-2）−ａ(Ｘ¹^-3）｝

＝(−ａ/2){-2(Ｘ¹^-3）+3ａ(Ｘ¹^-4）｝

＝ａ(Ｘ¹^-3）−(3/2)ａ^2(Ｘ¹^-4）｝

次に｛₀^λ₁｝｛₀¹_λ｝−｛₀^λ₀｝｛_λ¹₁｝　　　；青字は０

＝｛₀⁰₁｝｛₀¹₀｝−｛₀⁰₀｝｛₀¹₁｝＋｛₀¹₁｝｛₀¹₁｝−｛₀¹₀｝｛₁¹₁｝

＋｛₀²₁｝｛₀¹₂｝−｛₀²₀｝｛₂¹₁｝＋｛₀³₁｝｛₀¹₃｝−｛₀³₀｝｛₃¹₁｝

＝｛₀⁰₁｝｛₀¹₀｝−｛₀¹₀｝｛₁¹₁｝＝｛₀¹₀｝(｛₀⁰₁｝−｛₁¹₁｝)

＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）｛（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）−(−1/2)(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）｝

＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）（１−ａ/Ｘ¹）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

＝(1/2)(ａ/Ｘ¹^2）^2

よって

R¹_0,01＝−∂₁｛₀¹₀｝＋｛₀¹₀｝(｛₀⁰₁｝−｛₁¹₁｝)

＝ａ(Ｘ¹^-3）−(3/2)ａ^2(Ｘ¹^-4）＋(1/2)ａ^2（Ｘ¹^4）

＝ａ(Ｘ¹^-3）−ａ^2（Ｘ¹^4)

＝(ａ/Ｘ¹^3）(１−ａ/Ｘ¹)

＝−(ａ/Ｘ¹^3）ｇ₀₀ 　　；g₀₀＝−（１−ａ/Ｘ¹）

つまりR₀₀＝R¹_0,01＝−(ａ/Ｘ¹^3）ｇ₀₀である。

　　　　 d)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R⁰_1,10

R⁰_1,10も同じように計算できる。

β＝１として

R^α_1,1α＝∂₁｛₁^α_α｝−∂_α｛₁^α₁｝＋｛₁^λ_α｝｛_λ^α₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ^α_α｝

α＝０として

R⁰_1,10＝∂₁｛₁⁰₀｝−∂₀｛₁⁰₁｝＋｛₁^λ₀｝｛_λ⁰₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ⁰₀｝

＝∂₁｛₁⁰₀｝＋｛₁^λ₀｝｛_λ⁰₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ⁰₀｝

ところで｛₁⁰₀｝＝｛₁⁰₁｝＝（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）であるので、

∂₁｛₁⁰₀｝＝∂₁｛₁⁰₁｝なのだがこれはR¹_0,01を出す時計算している。

∂₁｛₁⁰₀｝＝∂₁｛₁⁰₁｝＝−ａ(Ｘ¹^-3）＋(3/2)ａ^2(Ｘ¹^-4）

残りは

｛₁^λ₀｝｛_λ⁰₁｝−｛₁^λ₁｝｛_λ⁰₀｝

＝｛₁⁰₀｝｛₀⁰₁｝−｛₁⁰₁｝｛₀⁰₀｝＋｛₁¹₀｝｛₁⁰₁｝−｛₁¹₁｝｛₁⁰₀｝

＋｛₁²₀｝｛₂⁰₁｝−｛₁²₁｝｛₂⁰₀｝＋｛₁³₀｝｛₃⁰₁｝−｛₁³₁｝｛₃⁰₀｝

＝｛₁⁰₀｝(｛₀⁰₁｝−｛₁¹₁｝)

＝（１/2）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）(ａ/Ｘ¹^2)/（１−ａ/Ｘ¹）

＝（１/2）(ａ^2)(Ｘ¹^-4)/（１−ａ/Ｘ¹）^2

結局

R⁰_1,10＝−ａ(Ｘ¹^-3）＋(3/2)ａ^2(Ｘ¹^-4）＋（１/2）(ａ^2)(Ｘ¹^-4)/（１−ａ/Ｘ¹）^2

となるのだが．．．．少しややこしいので　ａ/Ｘ¹=Qとする。

R⁰_1,10

＝−Q(Ｘ¹^-2）＋(3/2)QQ(Ｘ¹^-2）＋（１/2）QQ(Ｘ¹^-2)/(1-Q)(1-Q)

＝−Q(Ｘ¹^-2）{1-(3/2)Q+（１/2）Q/((1-Q)(1-Q))}

＝−Q(Ｘ¹^-2）(１/2){2-3Q+Q/((1-Q)(1-Q))}

＝−Q(Ｘ¹^-2）(１/2)/((1-Q)(1-Q)){2(1-Q)(1-Q)-3Q(1-Q)(1-Q)+Q}

{ }内

2(1-Q)(1-Q)-3Q(1-Q)(1-Q)+Q

＝2-4Q+QQ-3Q+3QQ+Q

＝2-6Q+4QQ＝2(1-Q)(1-2Q)

改めて書きなおすと

R⁰_1,10＝−Q(Ｘ¹^-2）(１/2)/((1-Q)(1-Q)){2(1-Q)(1-Q)-3Q(1-Q)(1-Q)+Q}

＝−Q(Ｘ¹^-2）(１/2)2(1-Q)(1-2Q)/((1-Q)(1-Q))

＝−Q(Ｘ¹^-2）(1-2Q)/(1-Q)

＝−ａ/Ｘ¹(Ｘ¹^-2）(1-2ａ/Ｘ¹)/(1-ａ/Ｘ¹)

＝−ａ(Ｘ¹^-3）/(1-ａ/Ｘ¹)−(2ａ^2/Ｘ¹^4)/(1-ａ/Ｘ¹)

ここでａは非常に小さいからａ^2は０とみなし、(2ａ^2/Ｘ¹^4)/(1-ａ/Ｘ¹)＝０とすると

R⁰_1,10＝−ａ(Ｘ¹^-3）/(1-ａ/Ｘ¹)となる。

つまりR₁₁＝R⁰_1,10＝−ａ(Ｘ¹^-3）/(1-ａ/Ｘ¹)＝−(ａ/Ｘ¹^3）g₁₁である。；　g₁₁＝1/（１−ａ/Ｘ¹）

(^-^)(^-^)(^-^)

　　　　　 ｅ)どう曲がってる？

「c)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R¹_0,01」の結論　R₀₀＝R¹_0,01＝−(ａ/Ｘ¹^3）ｇ₀₀　と

「d)リ−マンクリストッフェルのテンソル　R⁰_1,10」の結論　R₁₁＝R⁰_1,10＝−(ａ/Ｘ¹^3）g₁₁　は

R_μν−(1/2)ｇ_μνＲ＝０　　；アインシュタインのテンソルの式

を満足しそうである。少なくとも「6-3-2)２次元空間の計算」の「ｂ）アインシュタインのテンソルの式を適用する。」ではテンソルR_μνとｇ_μνを行列と見立てたならばその各々の成分　R₀₀とｇ₀₀ , R_11νとｇ₁₁に対して

R₀₀−(1/2)ｇ₀₀Ｒ＝０　R₁₁−(1/2)ｇ₁₁Ｒ＝０

をも満足する．．．．．まで言いきってないかも知れないけど．．．．そうなのだ。

そして　c)，d)における−(ａ/Ｘ¹^3）は(1/2)Ｒに該当する。つまりスカラ−曲率は−2ａ/(Ｘ¹^3）なのである。でもそれは結局　ナニがどうなることか？

　まず曲がってない空間では計量テンソルηは、直行座標、曲座標によって多少違うが、成分(00)、(11)については-1､1となる言わば不動の値を取る。だが曲がった空間では計量テンソルｇの(00)成分、(11)成分が変化する。

今回のように重力の元での曲座標による計量テンソルの変化はｇ₀₀は小さくなりｇ₁₁成分は大きくなる。（上　ﾏﾝｶﾞ）

空間の曲がりが非常に大きくなりついにｇ₀₀＝０となる場所の原点からの半径をシュバルツシルト半径と言う。その場所ではｇ₁₁＝∞となる。

ｇ₀₀＝０となるとは計量テンソルに寄与するＣＴ　つまり時間がなくなることを意味する。すなわち次元がひとつ減る！。すなわち時間が経過しない！。すなわち時間が凍りつく！。ブラックホ−ルに落ちて行く時、シュバルツシルト半径に到達するのに無限の時間がかかるというのは最後には時間がなくなることを意味する。時間が無いから因果律自体が成り立たない。それでだろうと思われるが、シュバルツシルト半径による地平線を「因果の地平線」と言う因果な名前で呼ぶ。

６−５）この章の終りに．．．実は口上

　普通　口上と言うものはなにかを始める前に言うものだけど、今回は逆！。いきなりシュバルツシルト半径とか因果の地平線なんかが唐突に出て来るから驚かれたかもしれない。普通、あまり科学的とは言い難い科学本でなくとも、「ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの重力場の方程式を一切の近似ﾅｼに完全に解いたのはシュバルツシルトが初めてである」くらいは述べる。

　実際問題として重力場の方程式をちゃんと解くのはメチャクチャ難しい。唯一　曲座標でなら簡単な設定ではいたる所に計算上０が多発するのでなんとか解けるわけである。

　ただし　今回は教科書を大幅に逸脱している。この章は完全にオリジナルである。それでも結構あれこれ計算できるし、あれこれ述べることが可能らしい。

　まぁ　以上のことを口上として述べてから始めるべきだった。スミマセン！！

ところで計算に使った　ａ＝（2ＭＧ/Ｃ^2）　である。別名シュバルツシルト半径である。　今現在、我々は重力g(=9.8m/S^2）のもとにいるのだがａの値に直すとどのくらいか？

Ｆ＝ｍg　　Ｆ＝ｍＭＧ／ｒ^２　　Ｍ；地球の質量　Ｇ；重力定数　　ｒ；地球の半径

となるから　　ＭＧ＝gｒ^２となり

ａ＝2g(ｒ/Ｃ）^2　である。

ここで「光は１秒間に地球を７．５周する」と言う格言（？）を使う。

式に直すと２πｒ×7.5＝Ｃ　→ｒ/Ｃ＝1/（２π×7.5)＝0.02

ａ＝2g(ｒ/Ｃ）^2＝0.0078　m　　　7.8 mm 結構大きいんだよねぇ〜？？．．．．

　ところで５次元空間について少し話す！。４次元空間は空間座標Ｘ，Ｙ，ＺにＣＴが加わり４個の次元を作る。それに対して５次元では．．．まぁ　空間座標Ｘ，Ｙ，Ｚに空間座標Ｗを加え、ＣＴも合わせて５次元とするなら

S^2＝−(ＣＴ)^2＋X^2＋Y^2＋Z^2＋Ｗ^2

として後を考えれば良い。良いのだが、これを曲座標でどう表せるのか？

X=Ｒsin（θ)cos（ψ) 　　Y=Ｒsin（θ)sin（ψ)　　　Z=Ｒcos（θ)　　Ｗ＝？？

　このＷの曲座標形式を固定しない限り、５次元空間でｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの方程式が満足されるか否か、判断できない。判断できないことは真偽も判断できない。　真偽は別として５次元空間、６次元空間理論を主張するものはあるのだが、そこまで書き込まれた理論は　まだ知らない。

　さてＨＰの行方だが、最低限　ブラックホ−ルの内部解までは探ってみる。タイトルはシュバルツシルトを全面に出して「第7章　シュバルツシルトの解（怪？）」としておく。

　多分アップは来年になると思う。　それでは良いお年を．．．．って　ちょっと早すぎるか！．．．．．

チョンチョン

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