散策

第3章　テンソルの散策

逆説の相対性理論　第3部に戻る

第２章　特殊相対性理論との統合に戻る

第４章　ブラックホ−ルへの道へ行く（工事前です。）

３−１）反変ベクトルと共変ベクトル

　 ａ）ｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αの解釈

　ｂ)反変ベクトル　Ａ^μ(Ｘ)

　ｃ)共変ベクトル　B_μ(Ｘ)

３−２）テンソルとは何？　その２

　ａ）ベクトルとは？　スカラ−とは？

　ｂ）テンソルとは？

ちょっと一服　「反変だ、共変だ、大変だ」

３−３）テンソルの階（ｶｲ）

３−４）テンソルの積と縮約

３−５）行列の積

３−６）変換と行列とテンソル　軽いまとめ

３−７）テンソルの積分と密度

　　３−７−１）スカラ−密度

　３−７−２)テンソル密度

　３−７−３）テンソル密度ε

　　３−７−４）テンソル密度εの応用

３−８）この章の終りに

ちょっと一服　「嵐の予感」

　テンソルの園にようこそ1

ここは仮想パ−ティの園、T,X,Y,Zと言う本名を名乗るものはおりません。Ｘ^υ,ｘ^αと仮面をかぶっております。その下にX^０,X¹,ｘ^０とまたまた仮面をかぶっております。

さらにＸ^υ,ｘ^αの仮面をかぶっている式には一族全員が参加しています。Σ_υ=0^３が省略されているものとお思いください。

全ては空間の性質に由来する数学的表現を簡易に表すための方便です。戸惑われると思いますがよろしくお願いいたします。チョンチョン

この章は「一般相対性と重力の理論 　　裳華房」より抽出しています。

３−１）反変ベクトルと共変ベクトル　

ａ）ｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αの解釈

さて第2章ではいきなり式　ｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αを使った。これは微小空間では必然的に成り立つ関係である。これは何を意味するのか説明したくとも実はできなかった。なぜならこれは反変ベクトル的関係であるから！

我々はまだテンソルに慣れていない。いまからそれをひとつずつ解釈して見る。さてＸ^υ,ｘ^αの仮面をかぶっている式は一族全員が参加している。Σ_υ=0^３が省略されている。これの仮面をαについてはがせば

ｄX^υ=Σ_α=0^３(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^α

となるだろう。

うっとしいから添え字υ,αを0,1のみとしてX⁰=T,X¹=X,x⁰=t,x¹=xとしよう。物理的意味は考慮しない。単に数学的に考えるだけである。すると上式は

dT=(∂T／∂t)dt＋(∂T／∂x)dx

dX=(∂X／∂t)dt＋(∂X／∂x)dx

となるだろう。

ここまで来ればなんとなく見えてきたがさらにはっきりさせる。ｄT,dX,dt,dxではなくT,X,t,xに置換えると

T=(∂T／∂t)t＋(∂T／∂x)x

X=(∂X／∂t)t＋(∂X／∂x)x

となる。

さらに∂T／∂t=a,∂T／∂x=b,∂X／∂t=A,∂X／∂x=Bとすれば

T=at＋bx　X=At＋Bxとなる。

行列式で説明したようにこの関係はT,Xを成分とするベクトルとt､xを成分とするベクトルの変換式である。aB-Ab=1でa,b､A,Bをうまく取ればガリレオ変換にもロ−レンツ変換にもできる。

するともとの式ｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αは微小空間におけるガリレオ変換やロ−レンツ変換に類似した変換が満足する微分方程式であると解釈して良いだろう。

　ｂ)反変ベクトル　Ａ^μ(Ｘ)

　＜Ｘ系で関数Ａ^μ(Ｘ)がある時　Ｘ'系ではＡ^μ'(Ｘ')になるとする＞

　この時Ａ^μ'(Ｘ')＝(∂Ｘ^μ'/∂Ｘ^υ)Ａ^υ(Ｘ)　なら

　このＡ^μ(Ｘ)は反変ベクトルである。

この式はｄX^υ=(∂X^υ／∂ｘ^α)ｄｘ^αと良く似ている。添え字αβυν等は勝手につければ良い。戸惑うのは関数Ａ^μ(Ｘ)だろう。これも一族全員が参加しているからＡ^０(Ｘ)、Ａ^１(Ｘ)、Ａ^２(Ｘ)、Ａ^３(Ｘ)が存在する。

通常　関数は例えばX,Y,Z3次元ではX=X(Y,Z)またはY=Y(X,Z)またはZ=Z(X,Y)と表現すべきだろう。ただしこの3個の式は右辺にXを持ってくるかYを持ってくるかZを持ってくるかの違いはあるが同じ式である。同じ式が変形しているだけである。そうならば、パラメ−タ−X,Y,Zのかわりにｓを持ってきてX=X(ｓ),Y=Y(ｓ),Z=Z(ｓ)としてもよい。ｓを決めるとX=X(ｓ)によりXが決まり、Y=Y(ｓ)によりYが決まり、Z=Z(ｓ)によりZが決まる。X,Y,Zの関係はお互いの式からｓを消せば良い。

というわけで関数X=X(ｓ),Y=Y(ｓ),Z=Z(ｓ)が3次元で存在するとするわけだが、それを4次元に直し、さらにｓをXに置換え、テンソル表現に直すとＡ^μ(Ｘ)が誕生する。Ａ^μ(Ｘ)中のＸはＸ^μとは違うパラメ−タ−なのである。

この反変ベクトルは2次元に直すと

T=(∂T／∂t)t＋(∂T／∂x)x

X=(∂X／∂t)t＋(∂X／∂x)x

と等価なのであり、ガリレオ変換やロ−レンツ変換に類似した変換が満足する微分方程式である。

一般的な微小空間はdX^μ'=(∂X^μ'/∂X^υ)ｄX^υであるから反変ベクトル的と言える。

反変ベクトルは少なくともリニア−な関数で、リニア−な変換では成り立つ。よって微小空間では反変ベクトルが成り立つ。なぜならどんな複雑な関数でも、それがどんな複雑な変換でも微小空間ではリニア−な関数がリニア−な変換をするだけであるから。

計算にさっそくΣが入っていることに注意されたい。そしてロ−レンツ変換は微小空間でも巨大空間でも空間のサイズに関係なく成り立つことにも注目しておいて欲しい。

　ｃ)共変ベクトル　B_μ(Ｘ)　

反変ベクトルに対して共変ベクトルと言うものがある。どこが違うかは添え字μの位置である。反変ベクトルの添え字μはＡ^μ(Ｘ)と上であるが、共変ベクトルの添え字μはB_μ(Ｘ)と下である。

そして共変ベクトルの定義は　

＜Ｘ系で関数B_μ(Ｘ)がある時　Ｘ'系ではB_μ^'(Ｘ')になるとする＞

　この時B_μ^'(Ｘ')＝(∂Ｘ^υ/∂Ｘ^μ')B_υ(Ｘ)　なら

　このB_μ(Ｘ)は共変ベクトルである。

第2章の「行列式」からベクトルの花盛り、変換式での（X,T,Y)、（X',T',Y')の組をベクトルとしたのだが、ベクトルとはもともと大きさと方向を持つもの、物理では速度や運動量に相当する。行列式のベクトルは第2章の最初で説明したように原点から任意の点に引いた矢印のことであり、この章では反変ベクトルに相当する。

それに対して共変ベクトルと言うものがあるらしい。説明ではX^υに対して規定されるスカラ−量ψがある場合、すなわちψ＝ψ(X）である場合、∂ψ(X)/∂X^υであるベクトルが共変ベクトルとなるらしい。

このベクトルは原点から任意の点に引いた矢印ではない。あくまで任意の点の近傍の状態によってきまる。それは∂ψ(X)/∂X^υと書ける（この点でテンソルは便利！）

一方座標変換した後ではXはX'になり、ベクトルは∂ψ'(X')/∂X^μ' に変わる（この点でもテンソル表現は便利！）。一方　第1章から延々説明しているが、座標変換とは座標の網をかけ直すことである。ベクトルが∂ψ(X)/∂X^υ→∂ψ'(X')/∂X^μ' に変わるのは座標の網が変わったからに他ならない。

そう言う観点からB_μ^'(Ｘ')＝(∂Ｘ^υ/∂Ｘ^μ')B_υ(Ｘ)　を見てみる。すなわちB_μ^'(Ｘ')を∂ψ'(X')/∂X^μ' とし、B_υ(Ｘ)を∂ψ(X)/∂X^υとして式を再構築すれば

∂ψ'(X')/∂X^μ'＝(∂X^υ/∂X^μ')(∂ψ(X)/∂X^υ)

となる。トリックは簡単である。座標変換とは座標の網をかけ直すことである。ある系から見た点はX^υだが別の系から見た同じ点はX^μ'である。同じ点であるからそのスカラ−はψ(X)＝ψ'(X')である。よって

B_μ^'(Ｘ')

＝∂ψ'(X')/∂X^μ'

＝∂ψ(X)/∂X^μ'

＝(∂X^υ/∂X^μ')(∂ψ(X)/∂X^υ)

＝(∂X^υ/∂X^μ')B_υ(Ｘ)

なのだ。

３−２）テンソルとは何？　その２

　　ａ）ベクトルとは？　スカラ−とは？

我々はこの章で反変ベクトルの添え字μはＡ^μ(Ｘ)と上であるが、共変ベクトルの添え字μはB_μ(Ｘ)と下であるとした。Ａ^μ(Ｘ)、B_μ(Ｘ)とも添え字はひとつである。つまりベクトルとは添え字がひとつのものであり、反変と共変がある。

我々の概念から言えばベクトルとは大きさと方向を持った量である。方向を持つためには少なくとも2次元以上の空間でなければベクトルは意味がない。ベクトルの成分はふたつ以上あるからテンソル的表現ではどうしても添え字が要る。ただし添え字ひとつで2次元以上何次元でも表すから添え字はひとつで良い。

その説明から行けば、添え字がないものがスカラ−である。スカラ−には反変も共変もない。

　　ｂ）テンソルとは？

そしてそして、添え字がふたつ以上のものがテンソルでありテンソルも反変と共変があるとしたいのだが、実はもうひとつある。反変と共変　両方の性質を併せ持っている混合テンソルというものがある。

まずは言葉の上で定義しておく。添え字がふたつ以上のものがテンソルでありテンソルも反変と共変と混合がある。

別の参考書によるテンソルの説明では（注意；導入部であるから３次元で扱っている）

ｕ^ｉ＝Ｔ^ｉｊｖ^ｊ 　　ｉ,ｊ=１，２，３　ｕ^ｉ　ｖ^ｊはベクトルとなる時、Ｔ^iｊはテンソルである。

狭い意味ではテンソルとはベクトルｖ^ｊがベクトルｕ^ｉに変換されるときのベクトルｖ^ｊの係数である。このあたりは行列式とリンクさせて考えると解り易い。すなわち

ｕ^ｉ＝Ｔ^iｊｖ^ｊ 　　ｉ,ｊ=１，２，３→　　ｕ¹＝Ｔ^1jｖ^ｊ 　　ｕ²＝Ｔ^2jｖ^ｊ 　　ｕ³＝Ｔ^3jｖ^ｊ 　　ｉ=１，２，３

ｕ¹＝Ｔ^1jｖ^ｊ →ｕ¹＝Ｔ¹¹ｖ¹ ＋Ｔ¹²ｖ² ＋Ｔ¹³ｖ³

ｕ²＝Ｔ^2jｖ^ｊ →ｕ²＝Ｔ²¹ｖ¹ ＋Ｔ²²ｖ² ＋Ｔ²³ｖ³

ｕ³＝Ｔ^3jｖ^ｊ →ｕ³＝Ｔ³¹ｖ¹ ＋Ｔ³²ｖ² ＋Ｔ³³ｖ³

この Ｔ¹¹〜Ｔ³³の数値の組9個がテンソルなのである。

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息抜きして下さい。ちょっと一服　「反変だ、共変だ、大変だ」

３−３）テンソルの階（ｶｲ）

しばらく言葉の説明が続く。肩に力を入れないで読んでいただきたい。添え字がふたつ以上のものがテンソルなのだがこの添え字の数を階（ｶｲ）と呼ぶ。具体的には

Ｔ^υν；２階反変テンソル　　 Ｔ^υνη；３階反変テンソル

Ｓ_υν；２階共変テンソル　　Ｓ_υνη；３階共変テンソル

Ｕ^υ_ν；２階混合テンソル　　Ｕ^υ_νη；３階混合テンソル

もちろん３階４階５階．．．．．ｎ階＊＊テンソルもある。．．．ｿﾗｵｿﾛｼｲ！(;;^^)

各テンソルはベクトルと同じく

Ｔ^υν'(Ｘ')＝(∂Ｘ^υ'/∂Ｘ^ａ)(∂Ｘ^ν'/∂Ｘ^ｂ)Ｔ^ａｂ(Ｘ)　なら２階反変テンソル

Ｓ_υν'(Ｘ')＝(∂Ｘ^ａ/∂Ｘ^υ')(∂Ｘ^ｂ/∂Ｘ^ν')Ｓ_ａｂ(Ｘ)　なら２階共変テンソル

Ｕ^υ_ν'(Ｘ')＝(∂Ｘ^υ'/∂Ｘ^ａ)(∂Ｘ^ｂ/∂Ｘ^ν')Ｕ^ａ_ｂ(Ｘ)　なら２階混合テンソル

となるわけだが．．．．．．．．．．．．（;;＾ω＾;;）ｳ〜

以上でようやくテンソルの入り口に来た。テンソルをあれこれ検討する上での必要最低な知識を得たわけである。今のところピンと来ない（パクパクも）のだが、今後反変なのか、共変なのか、混合なのかが結構重要になってくる。

もし本当に偉い先生に会ったら、「反変、共変、混合」と言う言葉を多用して質問して見ると良い。ちゃんと答えられる先生なら信用して良い。ポカンとする先生なら期待しない方が良い。まぁ　今のパクパクはポカン組だけど．．

でもこれだけは言えそう。η_υνは基準系（＝無重力系）でのテンソルでミンコフスキ−型計量テンソルと呼ばれる。ｇ_αβは加速度系でのテンソルで計量テンソルである。これらは当然２階共変テンソルと言うことになる。

３−４）テンソルの積と縮約

ひとつのベクトルＶ^υと別のベクトルＶ^νがＶ^υ＝Ｔ^υ_νＶ^νの関係であって、かつこのベクトルＶ^υと別のベクトルＶ^αがＶ^α＝Ｔ^αυＶ^υとする関係があるとき、

Ｖ^α＝Ｔ^αυＶ^υ＝Ｔ^αυＴ^υ_νＶ^ν

このＴ^αυＴ^υ_νをテンソルの掛け算、テンソル積と言うのだが、Ｔ^αυＴ^υ_ν≡Ｔ^α_νとも書ける。つまり

Ｖ^α＝Ｔ^α_νＶ^ν

「≡」は　そう定義したという記号、良く見ると添え字υが消えている。これを縮約と言う。まぁ　この辺は受け売り、変換とは第1章では「座標の網を被せなおす行為」であるし、第2章では反変ベクトルと反変ベクトルの行列式による記述であったが、第3章ではベクトルとテンソルとベクトルの関係である。

．．．．．．と．．．．ここまで来て．．．．気が付くと行列の積を知らなかった！。行列とテンソルはつかず離れずの関係にあるから、とりあえず検討しておく。

　３−５）行列の積

　このテンソルの積は「言う（書く）は易く、行う（計算）は難し」だ。はたと気が付くと行列の積が分からない。そこで教科書「一般相対性理論　および重力の理論　裳華房」を離れて．．．．行列の積を扱う。　

まず行列の積（図）を．．．　ポケッと眺める。このＣ_１１〜Ｃ_２２はＡ，Ｂに対してどうなるか、どんな関係にあるか？

それはこんな関係だった。天才的ヒラメキ？　否　違う！　単に行列の概念を無鉄砲に拡大しただけ！！でもちゃんとあってたんだなぁ〜　これが！

つまり行列式の積とは

ふたつの変換口と口が重なって表記されているわけだ。（結果的に）

それで何をやってるんだ　チュウことだけど

正体がはっきり分かっているロ−レンツ変換で具体的に考えよう。

ロ−レンツ変換はＸ’＝（Ｘ−ＶT）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）　,　T’＝（T-ＸＶ／Ｃ^２）／√（１−Ｖ^２／Ｃ^２）

なのだがＶ^０＝ＣＴ、Ｖ^０’＝ＣＴ’とすると下記の形になる。

これは（Ｘ^０、Ｘ）→（Ｘ^０’、Ｘ’）への変換である。逆変換は（Ｘ^０’、Ｘ’）→（Ｘ^０、Ｘ）であり、

である。（行列参照）すると下記の関係が成り立たなければならない。

実際に行列の積を計算すると下記のようになり上式は成り立つ。

このＣ^１１〜Ｃ^２２の行列をＥと呼ばれる。Ｅで変換されたベクトルは何も変化しない。

正変換テンソル（？）Ａに対して逆変換テンソル（？）Ａ’はＡＡ’＝Ｅの関係にある。

今度は少し複雑なものを扱う。

（Ｘ^０、Ｘ）→（Ｘ^０’、Ｘ’）の変換と、同じように（Ｘ^０’、Ｘ’）→（Ｘ^０’’、Ｘ’’）への変換を考えることが出きる。ここで区別するために最初の相対速度をＶ_１、（Ｘ^０’、Ｘ’）→（Ｘ^０’’、Ｘ’’）の相対速度をＶ_２とする。そして（Ｘ^０、Ｘ）→（Ｘ^０’’、Ｘ’’）の相対速度をＶ_３とする。　以上をまとめると

同じように

Ｃ^１１に注目しよう。Ｃ^１１はＸ^０’’とＸ^０の係数であり１／√（１−Ｖ_３^２／Ｃ^２）となるべきである。

一方Ｃ^１１はＡａ＋Ｂｂであり、

｛１／√（１−Ｖ_１^２／Ｃ^２）｝｛１／√（１−Ｖ_２^２／Ｃ^２）｝｛１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２｝

である。すなわちこれからＶ_３，Ｖ_２，Ｖ_１の関係が出なければならない。すなわち

１／√（１−Ｖ_３^２／Ｃ^２）＝｛１／√（１−Ｖ_１^２／Ｃ^２）｝｛１／√（１−Ｖ_２^２／Ｃ^２）｝｛１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２｝

両辺を2乗し分子と分母をひっくり返すと

（１−Ｖ_３^２／Ｃ^２）＝（１−Ｖ_１^２／Ｃ^２）（１−Ｖ_２^２／Ｃ^２）／（１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２）^２

よって

Ｖ_３^２／Ｃ^２＝｛（１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２）^２−（１−Ｖ_１^２／Ｃ^２）（１−Ｖ_２^２／Ｃ^２）｝／（１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２）^２

＝（Ｖ_１^２／Ｃ^２＋２Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２＋Ｖ_２^２／Ｃ^２）／（１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２）^２

あとは一声ﾜﾝと鳴けば

Ｖ_３＝（Ｖ_１＋Ｖ_２）／（１＋Ｖ_１Ｖ_２／Ｃ^２）

これぞ　加法定理とか　加法則とか言われているもの！　第1部第２章　参照

それにしても　うまく出来ているなぁ〜　特殊相対性理論は^（＾＾）

３−６）変換と行列とテンソル　軽いまとめ

変換とは第1部においては「座標の網を被せ直すこと」であった。この大原則は今もって変わらない。第1部第2章では光速度を４５度の直線にしたグラフでロ−レンツ変換を導いた。中学生にも解けるだろう初等幾何学でである。

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第２部では変換不変量が前面に出て来る。変換不変量は空間の任意の点と座標の原点に対して成立する。この変換不変量は最後の行列で始めて納得できる形を整える。その行列で空間の任意の点と座標の原点に対してベクトルの概念が出される。変換にからむベクトルであり、ベクトルが座標の網を被せなおすことにより別のベクトルになる。第２部においては変換とはベクトルが変わることであった。

これについてまたまた補足しよう。

第２部の行列式はＴ，ＸとＴ’,Ｘ’　及びY'=Yの関係　すなわち

　X'=（X-VT)/√(--)　T'=（T-XV/C^2)/√(--)　Y'=Yの関係である。

これは図の”第２章「行列式で扱った式」”の形式に書ける。＊は０でない数値を示す。これはX方向にだけ座標が平行移動する場合しか当てはめられない。

もし座標がY方向だけに移動するなら図の「Y方向へ移動」の形に書ける。証明は簡単であるから（ただし実際にするとややこしい、考え方だけは単純）省略する。

そして座標がX方向にいくつ、Y方向にいくつと言う具合に任意の向きに平行移動する場合は図の「X　Y　任意方向へ移動」の形に書ける。具体的数値は考えない。行列の成分が０か＊（０でない）かのみを考える。

それを４次元に拡大したのが左の図である。ベクトル（T,X,Y,.Z)をベクトル（T',X',Y',Z）に変換する行列の成分は１６個あるが、実際に変換に関与する成分は図の＊だけ、すなわち１０個の成分のみである。

この関係は移動する系が慣性系であろうと加速系であろうと変わらない。

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そして第３部、ここでも変換とは座標の網を被せなおすことによりベクトルが変わることである。上記の変換に関係する１６個の成分を持つ行列がそのままテンソルに置き換わる。早い話、テンソルは行列の概念を拡大したものでもある。テンソルは行列を理解していないと分かり難い。

ベクトルは反変、共変に分かれる。今まで扱っていたベクトルは反変ベクトルであった。そして変換の主役、テンソルは反変、共変、混合と３種類にもなる。

　さて反変ベクトルＡ^μ(Ｘ)はＡ^μ'(Ｘ')＝(∂Ｘ^μ'/∂Ｘ^υ)Ａ^υ(Ｘ)　を満足する。

一方Ａ^μ'(Ｘ')＝T^μ'υＡ^υ(Ｘ)なる関係も成り立ちそうだ。そうなると２階反変テンソルT^μ'υ＝(∂Ｘ^μ'/∂Ｘ^υ)としたくなるのだが一応別物としておく。

３−７）テンソルの積分と密度

テンソルの和と差は　同種のテンソル、同じ階でしか成り立たない。しかも時空内の一点でしか成立しない。．．．．．．簡単に想像できそうでこれがなかなかできない。

さっそく　出てきた。反変、共変、混合とは何か？．．．．ちゅうより、和と差は反変なら反変、共変なら共変、混合なら混合の間でしか成り立たない。第2章では時空の歪み(ﾕｶﾞﾐ)をｇ_αβ−η_υνと言う量とした。ｇ_αβ、η_υνともに共変だからこの関係は成り立つ。でも時空内の一点でしか成立しない。

「時空内の一点でしか成立しない」とはﾅﾝだ？　気付いているかもしれないが、「落下するエレベ−タ−」の別の表現である。「落下するエレベ−タ−」とは「局所的空間」であり「時空内の一点」である。その空間でこそｇ_αβ−η_υνと言うテンソルの差は成立し、その結果時空の歪み(ﾕｶﾞﾐ)は０にできる。すなわちﾏｺﾄの無重力が実現する。ただし局所で！！！！

宇宙に出れば無重力．．否そうではない。せいぜい地球の引力園を脱しただけであり、宇宙は星々の引力のネットワ−クに満たされている。無重力を感じるのはせいぜいスペ−スシャトル内部の局所でしかない。ある系を選べば全ての重力を消し去るわけには行かない。

ともかくテンソルの和と差は　同種のテンソルであり、時空内の一点でしか成立しない。

となると積分は可能か？積分はΣでも表せる。つまり無限に小さな成分の無数な和でもある。テンソルでなくスカラ−なら可能だろう。

　　３−７−１）スカラ−密度

スカラ−の積分を考える。まずは1次元のスカラ−ψ＝ψ(X）とする。

その積分∫ψ(X)ｄXは図のようなものだろう。1次元のくせに2次元で書けるのかと言われるかもしれないが、スカラ−量ψを上下に設定する。これは-∞から＋∞に積分してある値に収まるにはψ(−∞)=０、ψ(＋∞)=０である関数ψ(X)を選ばなければならない。

1次元と同じように考えれば2次元、3次元でも同じように考えられる。物理的に考えるなら　積分値（I）　は1次伝なら面積、2次元なら体積、3次元なら総質量、4次元なら．．．ﾅﾝだ？　てな　ところだろう。

積分してある値に収まるにはT,X,Y,Zが−∞、＋∞の時ψ=０でなければなるまい。

ということは　Ｉ＝∫∫∫∫ψ（Ｘ）（ｄＸ）^４　　ただし　Ｉ；スカラ−　（ｄＸ）^４＝ｄＸ^０ｄＸ^１ｄＸ^２ｄＸ^３としたとき、　∫∫∫∫ψ'（Ｘ’）（ｄＸ’）^４＝Iになることだ。

つまりＩ＝∫∫∫∫ψ'（Ｘ’）（ｄＸ’）^４＝∫∫∫∫ψ（Ｘ）（ｄＸ）^４

もっと噛み砕いて言えば∫∫∫ψ（Ｘ）（ｄＸ）^３を全宇宙の質量とすれば（Tは除いて考える）別の測定をした測定（原点をアンドロメダあたりにした測定）∫∫∫ψ'（Ｘ’）（ｄＸ’）^３もやはり　　全宇宙の質量であるから同じでなければならない。

ここで半分　分かるような分からないような書き方（ｄＸ’）^４＝∂(Ｘ')／∂(Ｘ)（ｄＸ）^４を使えば

∫∫∫∫ψ'（Ｘ’）（ｄＸ’）^４＝∫∫∫∫ψ'（Ｘ’）∂(Ｘ')／∂(Ｘ)（ｄＸ）^４であるから

∫∫∫∫{ψ'（Ｘ’）∂(Ｘ')／∂(Ｘ)−ψ（Ｘ）｝（ｄＸ）^４＝０である。

よって｛　｝内の{ψ'（Ｘ’）∂(Ｘ')／∂(Ｘ)−ψ（Ｘ）｝は０であり、

ψ’（Ｘ’）＝｛∂(Ｘ)／∂(Ｘ^’)｝ψ（Ｘ）が成立する

このψ(X)をスカラ−密度と言う．．．．．というわけだが

　なんとなく気に食わない。そしてこのスカラ−密度ψ(X)だが、よく見ればもとのスカラ−？？

要するに「全空間にわたって積分した値が収束するようなスカラ−は部分部分がスカラ−密度である。」とでも言っておこうか！！

　　３−７−２）テンソル密度

専門書のエゲツナイところはこの概念をケロッと拡大してテンソル密度にしてしまうところだ。

曰く　Ｓ_υν'(Ｘ')＝｛∂(Ｘ)／∂(Ｘ^’)｝(∂Ｘ^ａ/∂Ｘ^υ')(∂Ｘ^ｂ/∂Ｘ^ν')Ｓ_ａｂ(Ｘ)

なる関係がある時、このＳをテンソル密度と言う。テンソル密度とテンソルの違いは｛∂(Ｘ)／∂(Ｘ^’)｝の有無にある。このテンソル密度とは．．．．．チョと待て待て待て．．．．！！

　まず（ｄＸ’）^４＝∂(Ｘ')／∂(Ｘ)（ｄＸ）^４から考えよう。（ｄＸ）^４＝ｄＸ^０ｄＸ^１ｄＸ^２ｄＸ^３としたわけだから

（ｄＸ’）^４／（ｄＸ）^４＝∂(Ｘ')／∂(Ｘ)＝｛ｄＸ^０'／ｄＸ^０}{ｄＸ^１'／ｄＸ^１}{ｄＸ^２'／ｄＸ^２}{ｄＸ^３'／ｄＸ^３}

なのだがこれをｄ(Ｘ^０',Ｘ^１',Ｘ^２',Ｘ^３')／ｄ(Ｘ^０,Ｘ^１,Ｘ^２,Ｘ^３)と表現することもある。

また｛∂Ｘ^０'／∂Ｘ^０}{∂Ｘ^１'／∂Ｘ^１}{∂Ｘ^２'／∂Ｘ^２}{∂Ｘ^３'／∂Ｘ^３}と表現することもある。

ここで4階4次元共変テンソルＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）を考える。

共変テンソルであるから

S’_{ａ'ｂ'ｃ'ｄ'}(Ｘ')＝(∂Ｘ^ａ/∂Ｘ^ａ')(∂Ｘ^ｂ/∂Ｘ^ｂ')(∂Ｘ^ｃ/∂Ｘ^ｃ')(∂Ｘ^ｄ/∂Ｘ^ｄ')Ｓ_ａｂｃｄ(Ｘ）

ここで強引にａ＝a'＝０、ｂ＝ｂ'＝１、ｃ＝ｃ'＝２、ｄ＝ｄ'＝３　とすると

S’₀₁₂₃(Ｘ')＝(∂Ｘ⁰/∂Ｘ^0')(∂Ｘ¹/∂Ｘ^1')(∂Ｘ²/∂Ｘ^2')(∂Ｘ³/∂Ｘ^3')Ｓ₀₁₂₃(Ｘ）

これはＳ’（Ｘ’）＝｛∂(Ｘ)／∂(Ｘ^’)｝Ｓ（Ｘ）が成立する

つまりＳ₀₁₂₃(Ｘ）はスカラ−密度である。

一方Ｓ₀₁₂₃(Ｘ）はＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）の成分である。ただしＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）の成分　全てがスカラ−密度にはならず、ａｂｃｄが0,1,2,3をかならず含まなければならない。すなわちＳ_００１２(Ｘ）のようにａ＝ｂとなる成分はスカラ−密度にはならない。このようにスカラ−密度にはなれない成分を０とするテンソルＳ(Ｘ）を考えることはできる。すなわちスカラ−密度と０のみを成分とした4階4次元共変テンソルＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）を考えることができる。

　一方「３−６）変換と行列とテンソル　軽いまとめ」で述べたようにテンソルとは行列の概念を拡大したものであるのだが、行列とは文字通り、行と列のシステムをそなえたものであり、テンソルから言えば2階多次元テンソルしか正式には成り立たない。残念ながら．．．．（＾ω＾）

　その行列でａ＝ｂとなる成分がかならず０となる行列がある。交代行列と呼ばれるらしいが、反対称行列と呼んでもおかしくない。

行列の成分Ａabに対して成分Aba＝−Aabであれば反対称行列である。

視覚的に見ればわかりやすい。（図）　当然Aaa＝０である。

よってここで考えるのはスカラ−密度と０のみを成分とした4階4次元共変テンソルＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）ではなくスカラ−密度と０のみを成分とした4階4次元反対称共変テンソルＳ_ａｂｃｄ(Ｘ）である。（＾ω＾）ヤヤコシイ！！

さらにこの4階4次元反対称共変テンソルの０でない成分のひとつを１にする。すると０でない成分は全部１か−１に決まってしまう。ウソみたいだがホントの話だ。この特殊なテンソルで反変テンソルをテンソル密度εと呼ばれる。4階4次元反対称反変テンソルことテンソル密度εと言うわけだ。（＾ω＾）ﾅｶﾞｲﾅﾏｴ．．．

　３−７−３）テンソル密度ε

テンソル密度εはスポンジケ−キみたいなスポスポのテンソルだ。具体的に示そう。εは4階4次元であるから４^4個　２５６個の成分を持つ。その内０でない成分ε^ａｂｃｄはａｂｃｄがかならず０,１,２,３を含むから組み合わせであり、4×3×2通り　２４個である。

その様子を全部書けないから(4次元の物体は書けないから)a＝０のみの限定で書いてみた。

まるでル−ビックキュ−ブみたいだ。

このε^0bcdブロックは64個の成分から出来ているがほとんどの成分は０（空色）である。

例えばε^00cdブロックは16個の成分であるが,０が2個あるため全部が０である。

成分が０でないε⁰¹²³を含むブロックε^01cdを取り出すと、ε⁰¹²³とε⁰¹³²は０でないが後はｃｄに０か１を含むので０である。

結局このブロックには０でない成分として

ε⁰¹²³,ε⁰¹³²,ε⁰²¹³,ε⁰²³¹,ε⁰³¹²,ε^032１

の6個しかない。

この6個の成分の内ε⁰¹²³を１(赤)とすれば、対称にあるε⁰¹³²は符号が反転し−１(オレンジ)になる。その様子を描いたのが相関図である。

6個の成分が全て決定される。これを拡大すればテンソル密度εの０でない成分24個はすべて決定される。

まとめれば4階4次元反対称反変テンソルことテンソル密度εはε⁰¹²³を１とすれば全ての成分が決定される。！！！

　３−７−４）テンソル密度εの応用

　さてこれよりもっとも難解な部分に入る。

１階、２階、３階、４階の反対称共変テンソルＡ_d(X)、Ａ_cd(X)、Ａ_ｂｃd(X)、Ａ_ａｂｃd(X)があるとする。

そのテンソルにテンソル密度εをかけたものを各々S^**(X)とするとき、

ε^ａｂｃｄＡ_d(X)≡S^ａｂｃ(X)

(1/2!)ε^ａｂｃｄＡ_cd(X)≡S^ａｂ(X)

(1/3!)ε^ａｂｃｄＡ_ｂｃd(X)≡S^ａ(X)

(1/4!)ε^ａｂｃｄＡ_ａｂｃd(X)≡S(X)

各々のS^**(X)はテンソル密度である。(最後のS(X)はスカラ−密度）

そして(1/3!)ε^ａｂｃｄＡ_ｂｃd(X)≡S^ａ(X)についての解釈は

反対称共変テンソルＡ_ｂｃd(X)の独立な０でない成分

Ａ₁₂₃Ａ₂₃₀Ａ₃₀₁Ａ₀₁₂

がそのままS^ａ(X)の成分だそうだ。

　残念だがここは分からない。

蟷螂の斧かもしれないが一応「ちょっと一服　嵐の予感」にて．．．

３−８）この章の終りに

　まず　分からない、分からないだけじゃなくて　何が言いたいのだ。一体　何を述べている。

目的は何だ。相対論とどう繋がる．．．．．等等々

ご批判を受けそうな内容である。これでもかなり省略したりまとめたつもりだけど

　「一般相対性と重力の理論 　　裳華房」では”本書はテンソルを数学的に扱わない”としているがなかなかどうして充分に数学的！。この章は理路整然と行きそうもないので”散策”としたのだが、相対論に突っ込む前の基礎知識としてどうしても外せない。

　これより「テンソルの微分」を経て、マックスウエルの方程式が変換で変わらないこと（＝光速度不変の真の証明）やら有名なアインシュタインの方程式を経過してブラックホ−ルの方程式に突き進むわけだが．．．．．テンソル密度εナンかがバンバン出て来る。

　どうもテンソルの世界は我々の想像以上に精密で複雑で胡散臭い代物らしい。そして一般相対性理論の世界も特殊相対性理論と同じく、「これは違う！　これが正しい」と主張すれば、まったく異なる方向から矛盾が出て来る。　胡散臭いと感じたからと言って直ちに間違いと断定できない。なぜか　いわゆる擬似科学は「正しいと仮定しよう。するとこれこれの矛盾が出る。」と言う論理、いわゆる背理法の攻撃に対する抵抗力がほとんどない。

　科学は実験や検証、反論や論争と言った戦いを通して勝ち残って行かなければならない。あらゆる攻撃に耐えるシステムとパワ−を持ち、歴戦の勝利が科学を不動のものにする。

しかしながらどんなに強いファイタ−も赤ちゃんの頃は弱い存在だ。理論の成立仮定で胡散臭いものが出るのも当然だろう。そして結果が正しければ成立仮定のうやむやはそのままになるかもしれない。（と　言うよりオマエの解説が悪い、ヘタだと言われたらその通りだが）

　．．．．と言うわけでここはふんばり所、我々としてもこの章は納得行かないので次章以下でテンソル密度εが出て来る度に検証してより分かりやすい解説に順次修正する。

どうか　短気を起こさないでご辛抱の程を

平成１３年３月３１日　パクパク

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