suisei
第８章 水星の近日点移動の異常
第7章 ｼｭﾊﾞﾙﾄｼﾙﾄの解（怪）に戻る
第9章 相対論的屈折へ行く
「水星の近日点移動の異常」は一般相対性理論により解明されました。これは一般相対性理論が正しいことの証明であり偉大な勝利です。．．．．．．と言うのが一般的解説なのですが．．．．．
どの本を読んでも典型的な相対論的表現（皮肉）しかないところです。要するにエライ人が言って、述べて、書いたことで、精密正確な観測事実がそれを裏付けてるから信じなさいと言うこと。
信じるも信じないも、一般相対性が予言するどの式をどう使ったらどうなり、それを観測結果にあてはめたらこうなるから一般相対性理論が正しいと考えるべきじゃないかと言うべきなんだけどなぁ〜
それでまず第7章をまとめて一般相対性が何を予言しているのか、そして今までの観測結果から何がどうなる、そして一般相対性の予言を大胆な設定をして当てはめるとこうなるから水星の近日点移動はこう起こるのだとまとめてみました。
全体にそれほど難しくはありません。
目次
８−１）静変換
８−２）水星の近日点移動
８−２−１）水星の軌道
８−２−２）一般的な説明
８−２−２）何が起こった！
８−３） 近日点の移動角度の算出
８−３−１）楕円軌道の計算
８−３−２）角度移動の関係式
８−３−３）数値代入 計算
８−３−４）式修正
８−４） この章の終りに
ちょっと一服 想像の世界に遊びます 「スフィンクスの秘密？」
８−１）静変換
第7章「シュバルツシルトの解（怪）」の重力赤方偏移で出た式 (λ0/λe)＝1/√(1-a/r) (te/t0)＝1/√(1-a/r) を検討する。式を λe＝√(1-a/r)λ0 te＝t0/√(1-a/r) としてλは波長だからｒ(距離)に置換え、ｒe→r' ｒ0→ｒ te→ｔ' t0→ｔ r→R にすれば
r'＝√(1-a/R)r t'＝t/√（1-a/R） となる。
一応この式は座標系（ｒ，ｔ）から座標系（ｒ’，ｔ’）への変換である。ふたつの系はお互いに静止しているので静変換と名付ける。性転換じゃないぞ！
r'＝√(1-a/R)r t'＝t/√（1-a/R） ；静変換（仮）
この式からr'/t'を求めれば
r'/t'＝(1-a/R)(r/t）となり r'/t'→V' r/t→V とすれば
V'＝(1-a/R)Vとなる。 これも無重力系（ｒ，ｔ）から重力系（ｒ’，ｔ’）への変換である。
だがこれは正確に言えば上記 r'＝√(1-a/R)r t'＝t/√（1-a/R） はdr'＝√(1-a/R)dr dt'＝dt/√（1-a/R） と、「ｄの字」を必要とする。さらに dt'＝dt/√（1-a/R） よりも Cdt'＝Cdt/√（1-a/R） とすべきである。C'ではなくCである。
dr'＝√(1-a/R)dr Cdt'＝Cdt/√（1-a/R） ；静変換
初心に返ってこの変換を「変換とは座標の網を被せなおすこと」 第1部第2章参照 として最初の網（Ct,ｒ）を重力の網（Ct',ｒ’）に被せなおすことで何を意味するか考察する。
dr'＝√(1-a/R)dr Cdt'＝Cdt/√（1-a/R） √（1-a/R）＝0.5とすると
赤い点を考えると無重力座標（ｄCt，ｄｒ）では(2，2) 重力下座標（ｄCt’，ｄｒ’）では(4，1)である。これは無重力の網（Ct,ｒ）を重力の網（Ct',ｒ’）に掛け直すことである。
図中の青い線は光速度を示す。無重力ではdr/(ｄCｔ）＝１→dr/dt＝C である。一方重力下ではdr’/(Cｄｔ’）＝１/4→dr’/(ｄｔ’）＝C/4である。光速度以外の速度もちゃんとV'＝(1-a/R)Vとなる。
ここにおける無矛盾性から
dr'＝√(1-a/R)dr dCt'＝dCt/√（1-a/R） を正規の静変換として採用する。
すると
dr＝dr'/√(1-a/R) dCt＝dCt'√（1-a/R） ； ’（ﾀﾞｯｼｭ）の位置に注意！
−(dCt)^2＋(dr)^2＝−（1-a/R）(dCt')^2＋(dr')^2/（1-a/R）
の計算が成り立つ。式の右辺は第7章 ７−２）シュバルツシルト半径での光速度 に出て来る
−−−−−−−−−−−−−−−
計量テンソルの値をいれて
dS^2＝g00(CdT)^2＋g11(dＲ)^2
＝-(1-a/Ｒ)(CdT)^2＋dＲ^2/(1-a/Ｒ) ；a＝2ＭＧ/Ｃ2
−−−−−−−−−−−−−−−−
に他ならない。．．．．と言うことは dr'＝√(1-a/R)dr Cdt'＝Cdt/√（1-a/R） はｱｲﾝｼｭﾀｲﾝのﾃﾝｿﾙからの結論でもある。
また
−(Cdt)^2＋(dr)^2＝−（1-a/R）(Cdt')^2＋(dr')^2/（1-a/R）＝（ｄS）^2
としても良いだろう。
そうすると−(Ct)^2＋r^2＝−(Ct")^2＋r"^2＝S^2である特殊相対性理論のロ−レンツ変換と静変換はS^2を通して結びつきそうであるが、「ｄの字」が話をややこしくする。静変換が dCt dr と「ｄの字」を必要とするのは局所的にしか成立しないことを強調するためであり、ロ−レンツ変換は逆に「ｄの字」は邪魔である。ロ−レンツ変換と静変換はそう簡単に結びつかない。残念ながら．．．．．．
ここでちょっと気をつけなくてはならない。「重力赤方偏移」では波長が伸び、振動数は減る。波長は距離であり振動数は時間の逆数であるから波長が伸び、振動数は減るとは距離が伸び、時間は縮むことである。これは
dr'＝√(1-a/R)dr Cdt'＝Cdt/√（1-a/R） 正規の静変換(dr,Cdt)→(dr',Cdt'）
ではなくて
dr＝dr'/√(1-a/R) Cdt＝√（1-a/R）Cdt' 逆静変換(dr',Cdt')→(dr,Cdt)
なのである。
この関係は 第1章のロ−レンツ変換で正変換を逆変換に直す方法 すなわち「ｒとｒ’を交換し、ｔとｔ’を交換し、Ｖを−Ｖに置換える」方法は通用しないことを意味する。ロ−レンツ変換でｒとｒ’を交換し、ｔとｔ’を交換することができるのはお互いの慣性系が等価であるからであり、俗に言う「絶対基準系は絶対にない！」事情による。
逆に言えば正静変換と逆静変換は絶対基準系があることになる。当たり前であり、もともとａ（ｼｭﾊﾞﾙﾂｼﾙﾄ半径）やＲは絶対基準系（無重力系）での距離である。ここの距離を重力系にすると頭が暴走する。 （@_@）ゴウ〜
特殊相対性理論における「絶対基準系は絶対にない！」主張はｴ-ﾃﾙの否定と言う下心(?)がﾐｴﾐｴなのだが、ここで言う絶対基準系は重力系から重力の元を取り除き、そこを原点とする無重力の系のことである。
もうひとつ 「重力赤方偏移」が成り立つには、光が発生する場所での振動数や波長は、そこでの系、重力系なら ｒ’，ｔ’ で記述され、無重力なら ｒ，ｔ で記述されるそこでの系の支配下で決まることである。これは一般相対性理論だけでなく特殊相対性理論でも同じである。
もし重力系で黄色いナトリュ−ムランプを点灯させれば、同じ重力系の支配下にある住民にとっては黄色いナトリュ−ムランプの光であるが、無重力系の住民がみれば赤みがかった光になる。
８−２）水星の近日点移動
８−２−１）水星の軌道
水星は楕円軌道で公転している。もっともほとんど全部の惑星は楕円軌道で公転しているのだが、水星の場合は楕円の歪み（離心率ｅ）が大きい。まずは楕円軌道での公転を示す離心率を説明方々、近日点移動の話に移行して行くことにする。
図中Reは楕円の中心と太陽との距離である。離心率ｅはReを軌道長半径Raで割ったものである。当然e=0なら軌道は真円になる。e=1はRa,Re共∞になり、水星は太陽の引力圏から脱出してしまう。楕円軌道はｅが０以上１以下の時に取る軌道である。
これだけで楕円軌道は決定されてしまう。
楕円を作図するには図のようにすれば良い。太陽の中心に画鋲を立て（燃える？）楕円中心から太陽の反対がわＲｅの地点にも画鋲を立て、長さ２Raの赤い糸(?)をくくり、ピンと張った軌跡を鉛筆で辿る。それだけである。
そうすると図のRcはいくらになるか 計算できる。
２Ra＝Rc＋√(4Re^2+Rc^2) であるから
(２Ra−Rc)^2＝4Re^2+Rc^2
Rc＝(Ra^2−Re^2)/Ra＝(Ra-Re)(1+Re/Ra)＞Ra−Re である。
Rc＞Ra−Re であるから図のように半径Rcのエリアを設定すると水星の軌道は回転角180度までエリアの中に入ってしまう。
なぜこんな設定をしたかは後で分かるとして少し計算をしておく。
Ra＝0.3871 e＝0.2058 e＝Re/Ra より
Re＝Ra×e＝0.0797 Rc＝(Ra-Re)(1+Re/Ra)＝0.3074×(1+0.2059)＝0.3707
いずれも単位は天文単位 つまり地球と太陽の距離を１とした単位である。....ﾄｯﾄｯﾄ
もとい 地球も楕円軌道で公転している。1天文単位とは地球と太陽の軌道長半径(Ra)を１とした単位である。その距離 およそ一億五千万km まぁ およそで言うのなら軌道長半径(Ra)と断らなくても良いのだが．．．
ともかく 水星の近日点は Ra−Re＝0.3074天文単位、遠日点ではRa＋Re＝0.4668であり、大体地球と太陽の距離の３割から５割弱まで変動する。
それで 近日点では0.3074×150×10^6＝46.11×10^6 km
遠日点では0.4668×150×10^6＝70.02×10^6 km
半径Rcでは0.3707×150×10^6＝55.06×10^6 km
そして 太陽のシュバルツシルト半径は約 3 km である。
各々のa/Rは, 近日点では6.506×10^-8 遠日点では4.284×10^-8 半径Rcでは5.449×10^-8
上のa/Rは後ほど使用します。
８−２−２）一般的な説明
「水星の近日点移動は100年間に角度にして574秒と言う僅かなものだ」 摂動論によると そのうち277秒は金星の重力効果、153秒は木星の効果、90秒は地球による効果、その他は11秒であってどうしても取りきれないのが43秒 残る。一般相対性理論を元にしたポストﾆｭ-トニｱﾝ近似により43秒が出た1915年のことであった。
ﾁｮﾝﾁｮﾝ！
もちろん本によりニュアンスは異なり、摂動論の勝利である天王星、海王星の発見に味をしめ(?)幻の星バルカンを探る話等があるわけだが、本質的には上記以上のことは書かれていない。角度で秒秒言ってるのでどうもピンとこないのだが、「時計の短針が１秒間に進む角度はズバリ30秒である」。
では質問！ 水星の近日点移動は100年間に角度にして574秒なら水星の公転１回で何秒進みますか？
答えられない？ 当然でしょう！ 水星の公転周期を言って無いのだから！ ハイ 88日です。
後は計算 1年を３６５．２５日として１００をかけて８８で割れば100年で水星が何回公転したか出る。415回！
すると水星の公転１回で近日点移動は574/415＝1．38 秒となる。
一般相対性理論で言われる部分43秒（100年）は水星の１公転に直すと
43/415＝0．1036＝1036×10^-4 秒
ラジアンに直すには×1/3600×π/180すれば良いから
1036×(10^-4)×1/3600×π/180
＝（1036×π)/3600×(10^-4)/180＝(0.904/180）×10^-4＝(904/180）×10^-7
＝5.02×10^-7 ﾗｼﾞｱﾝ これが目標になる。
金星や地球や木星による摂動の出し方も述べるべきだろうがこれはメチャクチャ煩わしい。なぜなら金星や地球や木星の質量がもろに効いてくるからだ。それより一般相対性理論によりなぜ近日点が移動するのか考えることに焦点を絞る。太陽系に水星と太陽しかなくても近日点が移動する。なぜか？
８−２−３）何が起こった！
まず 前に出した図をもう一度出す。イロイロおまけが付くがこのままでは単なるニュ−トン力学である。
さて半径Rcのエリア（図の水色）以外ではほぼニュ−トン力学が成り立つとする。（あくまで仮定）
そして半径Rcのエリア（図の水色）では一般相対性効果が働くものとする。一般相対性効果が働くとは何か？ すなわち空間として無重力系から重力系に変わる。（この言い回しは誤解されそうだなぁ〜）
言い方を少し変えて、空間そのものが変わる、 ｒ，ｔ が伸び縮みする系に入る．．．とでもショウマイ（名古屋弁）
早い話 静変換
dr'＝√(1-a/R)dr dCt'＝dCt/√（1-a/R） (dr,dCt)→(dr',dCt'）
のエリアになるわけだ。
半径Rcのエリア（図の水色）で何が行なわれるか、順に考える。
１）まずRcのエリア（図の水色）を抽出する。（そのまま）
２）Rcのエリア（図の水色）を静変換する。少なくとも ｒ は若干縮む 縮んだ小円は青色
３） １）の上に２）を重ねて合成する（ ２）が上）
ここで困ったことにRcのエリア（図の水色）に突入した直後、水星の軌道が切れてしまう。当然そんなアホなことはあり得ない。さてRcのエリア（図の水色）は単に重力系のエリアであり、重力系で許される諸法則を満足すればそれで良い。水星の軌道自体は突入直後は切れる直前の軌道を通るだろうから、切れないためには静変換の小円を回転させるしか手がない。
４）よって最終結論として水星の楕円軌道の中心自体が太陽に対して回転してしまう。
結局 水星の近日点が移動してしまう。
それでは具体的に近日点の移動角度を算出しよう。
８−３） 近日点の移動角度の算出
８−３−１）楕円軌道の計算
楕円軌道は下記Rdとθの関係(右の図)なら簡単に出る。楕円の書き方を拡大して考えると...
2Ra＝Rd+√{(Rdcos(θ))^2+(2Re-Rdsin(θ))^2}；√{ }は青色の長さ
(Rdcos(θ))^2+(2Re-Rdsin(θ))^2＝(2Ra-Rd)^2
左辺＝(Rdcos(θ))^2+4Re^2-4ReRdsin(θ)+(Rdsin(θ))^2
＝Rd^2+4Re^2-4ReRdsin(θ)
右辺＝4Ra^2-4RaRd+Rd^2
4Re^2-4ReRdsin(θ)＝4Ra^2-4RaRd ;左辺、右辺の Rd^2 消去してまとめる
Rd(Ra-Resin(θ))＝Ra^2-Re^2 ；全体を1/4してまとめる
よってRd＝(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(θ)) ；end
検算すれば −π/2＜θ＜π/2 の範囲で Ra-Re＜Rd＜Ra+Re となる。そしてRc＝(Ra^2-Re^2)/Ra
８−３−２）角度移動の関係式
８−２−４）何が起こった！ の 1)そのまま→2)静変換 で起きたことを数式化する。
１）そのままでRcのエリア（図の水色）に突入する時の太陽との距離 Rc はRc＝(Ra^2-Re^2)/Raである。
それはまた Rc＝Rd(θ＝0）でもある。それを静変換すると dr'＝√(1-a/R)dr であるから
Rc'＝√(1-a/R)Rd(θ＝0）
＝（√(1-a/R))(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(θ))(θ＝0）
；注意「ｄの字」は外して良い（と仮定した）
となるのだろうが、これは dr'＝√(1-a/R)dr しか考慮していない。これをCdt'＝Cdt/√（1-a/R）まで考慮すると
Rc'＝(1-a/Rc)(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(θ))(θ＝0）
となる。証明 ここ 8-4-3） 式修正
ここで 1),2)を合成し 「3)合成」 とし、 矛盾点を拡大する。Rc'＝(1-a/R)(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(θ))(θ＝0）となっているので、θにdθ(≠０）を代入して Rc'→Rc にすることができる。図の赤線はRc'→Rcで増えた軌道である。その後でdθだけ回転させると 4)回転後になる。
数式では
Rd'(dθ)＝Rc
(1-a/Rc)(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(dθ))＝(Ra^2-Re^2)/Ra となる。
整理すると (1-a/Rc)Ra＝Ra-Resin(dθ) である。
さらに整理すると sin(dθ)＝(a/Rc)(Ra/Re)である。； end
８−３−３） 数値代入 計算
Ra/Reは Re/Ra(離心率)の逆数である。水星の離心率は0.2056であるから
Ra/Re＝4.864 である。
各々のa/Rは, 近日点では6.506×10^-8 遠日点では4.284×10^-8 半径Rcでは5.449×10^-8
であるからa/Rc＝5.449×10^-8を代入して
sin(dθ)＝(a/Rc)(Ra/Re)
＝5.449×4.864×10^-8
＝26.49×10^-8
＝2.649×10^-7
このｵ-ﾀﾞ-なら dθ＝2.649×10^-7としても良い。
今 計算したのは水星がRcのエリア（図の水色）に突入した時の回転角である。今度は水星がRcのエリア（図の水色）から脱出する回転角が要る。だがこれは 今まで水星が逆時計回りで回ってるとしたが、時計回りで回っても同じ軌道を取るであろうから、突入角＝脱出角だろう。
つまり 一般相対性理論による水星の近日点移動角 θ＝２dθ＝5.298 ﾗｼﾞｱﾝ／回転
先に42秒/100年は 5.02×10^-7 ﾗｼﾞｱﾝ／回転 になることを計算していた。相当大胆な設定にもかかわらず結構近い値が出たなぁ〜！。ちなみに100年に直すと44.3秒になる。
８−４−３）式修正
r'＝√(1-a/R)rを考える。この式がそのまま成立するのは棒の長さが無重力ではｒであるが、重力系で改めて測りなおすとｒ'である場合等である。すなわちｒが時間とは無関係な長さに限られる。
さて r'＝√(1-a/R)r これはｒ ｒ'は太陽と水星との距離であるから、時間の関数である。ちゃんと書けば ｒ'(t')＝√(1-a/R)ｒ(t) と言うことである。
すなわち ｒ'(t')＝√(1-a/R)ｒ(t) Cdt'＝Cdt/√（1-a/R）
が同時に成り立つわけであり「dの字」を略せば
ｒ'(t/√（1-a/R）)＝√(1-a/R)ｒ(t) と言うことになる。
よってｒ'(t/√（1-a/R）)＝ｒ'(t)/√（1-a/R）であれば
ｒ'(t)＝(1-a/R)ｒ(t) と言うことになる。
ここで問題がふたつ生じる。
ｒ'(t/√（1-a/R）)＝ｒ'(t)/√（1-a/R）なのか？
ｒ'(t)＝(1-a/R)ｒ(t)からｒ'(θ)＝(1-a/R)ｒ(θ)が言えるのか？
楕円運動であるからｒはｔの関数であるばかりでなくθの関数でもある。ただｔは無重力系と重力系では異なるから重力系のｔ'を考えなければならないが、θについては無重力系と重力系では同じであり、θ'＝θとしても差し支えなかろう。そして極小さい範囲においてはθ＝ｋｔ ｋ；比例定数 と省略しても良かろう。
よってｒ'(t)＝(1-a/R)ｒ(t)→ｒ'(θ/ｋ)＝(1-a/R)ｒ(θ/k)
ｒ'(θ/ｋ)＝(1-a/R)ｒ(θ/k)→ｒ'(θ)/k＝(1-a/R)ｒ(θ)/k
ｒ'(θ)/k＝(1-a/R)ｒ(θ)/k→ｒ'(θ)＝(1-a/R)ｒ(θ)
となる。
ｒ'(t/√（1-a/R）)＝ｒ'(t)/√（1-a/R）も常時成り立つわけではない。ただ無重力系から重力系への突入、重力系から無重力系への脱出の極小さい範囲において成り立つ。
よってｒ'(θ)＝(1-a/R)ｒ(θ)であり、ｒ(θ)の具体的な式が適用可能になり
Rc'＝(1-a/Rc)(Ra^2-Re^2)/(Ra-Resin(θ))(θ＝0）となる。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
８−４） この章のおわりに
う〜む 何から話そうか！
最終結果が約5%程度狂ったけど、１天文単位が約1億5千万kmだの太陽のｼｭﾊﾞﾙﾂｼﾙﾄ半径が約3kmだの、かなりｲｲｶｹﾞﾝな数値を使っている。もっと精度のある数値を使ったらどうなるか？ もし興味のある方は計算して下さい。そして結果を知らせてください。
これで、何故第7章をリニュ−アルしなければならなかったかお分かりだろう。静変換をしっかり押さえなければ水星に手も足もでない。
水星の近日点移動は知っていた。ただし言葉だけ！ この辺は解説書は一般相対性の正統性を訴えることに先走り過ぎて、何故正しいのかを説得させることをきれいに忘れている。この章を書き終えた後で一般の解説本の説明を読み返してみた。う〜む やはり 信心の問題！
とは言っても、ﾊﾟｸﾊﾟｸ流解釈が全ての面でOKかと言えばトンでもない！
空間が縮むだ？ 軌道が切れるだ？オイオイ．．．．．もっとましな解釈はないのか？ う〜む
見栄えは悪いが、遺伝子操作なし、無農薬自然栽培で作った章なのです。好きか嫌いかは別としてともかく味はあるつもりなのです。静変換と言う言葉も実は造語！ どうしても疑問が残るのだが ご理解を．．．
何回も述べてるつもりだが、このＨＰはﾊﾟｸﾊﾟｸの解釈を押しつけるつもりはない。あれこれ異説が出るのは大いに結構、その中からﾊﾟｸﾊﾟｸを上回る説得力のあるものが出るならなお結構、喜んで負けを認める。認めるついでにその説を頂戴するけど！
さて これからだが、いよいよ重力波に迫って行く。今年に入って去年からの宿題に手をつけずに静的宇宙の諸現象、言葉を変えればｱｲﾝｼｭﾀｲﾝﾃﾝｿﾙ＝０の時の現象ばかり見てきたのだが、重力波となるとそうはウマくは行くまい。それで、少しづつ、去年の宿題を解きながら、重力波への条件を整えて行きたい。骨太の方針を出すだけでも早くて四月末頃になると思われます。
では また