速度Vでｘ方向に動く量子がある。量子とはある時は粒子、ある時は波動と言うやっかいな代物だ。核融合アルカルト2
こんなことでもないと『不確定性原理』を調べようとは思わない。そこで調べようとすると解説本は非常に難しい。どの程度難しいかと言うと専門書の方がはるかに簡単なほど難しい。これは皮肉ではない。
ここは有名な朝倉書房の物理学講座13の『量子力学』をﾍﾞ-ｽとする。どうみても解説本には程遠いのだが、もっとも分かり易い。この分かり易いと言うのは読みやすい、読んで分かる意味ではない。物理の特徴は式そのものが雄弁に意味を語り、解釈してくれる。我々は文章以上に『数式と話をする』ことに専念すれば良い。
これから書かれている式で (1.2)とか (1.3)とか 番号が付いているのは『量子力学』の中にある式である。『数式と話をする』ことで合意し納得した式と思って欲しい。そこまで至る行程はﾊﾟｸﾊﾟｸ独特である。
目次
3)オイラ－の公式とシュレディンガ－の波動方程式
3-2)自由粒子のｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-の波動方程式（不完全解）
速度Vでｘ方向に動く量子がある。量子とはある時は粒子、ある時は波動と言うやっかいな代物だ。
この量子の粒子状態での記述は誰でも分かるように
ｘ=Vt の関係にあるとする。
その量子の波動状態とは図のように考えれば良い。そうすると量子の波動も速度Vで動かなければならなくなる。速度Vで歩く人では持っている鞄(ｶﾊﾞﾝ)も服も帽子も速度Vで移動する。もちろん同じ速度で移動しない限り、歩くことは全裸になることになるからだ！ｱﾀﾘﾏｴﾀﾞｶﾞﾈ(^^)。
量子（粒子）が速度Vなら、波動速度言い換えれば位相速度もVでなければならない。
ところで位相速度がC（光速度）の波動はﾏｯｸｽｳｴﾙの電磁方程式で登場している。
Ey(x,t)=Asin(B(x-Ct)) A，B；定数
これをﾏｯｸｽｳｴﾙの電磁方程式
∂Ey(x,t)/∂x=-μ0(∂Hz(x,t)/∂t) 式1)
-∂Hz(x,t)/∂x=ε0(∂Ey(x,t)/∂t) 式2)
に当てはめると C^2ε0μ0=1 になるのでC=1/√（ε0μ0） となる。
第8章光速度不変の原理－考察光速度不変の原理 参照
sinでなくcosでも同じ結果になる。この場合電磁波の位相（Eの山や谷 Hの山や谷）の速度がCであることになる。今回速度がVであり、図よりcosを採用して波動Φ(x,t)を考えたなら
Φ(x,t)=acos(b(x-Vt)) a，b；定数
が波動Φ(x,t)の源式である。電磁波と区別するため、定数はa,bと小文字にした。これでとにかく「位相速度はV」は満足する。
ところでこの式のbは波長（=λ）を考えるとλとｂの関係は簡単に決まってしまう。t=0とすれば時間を固定した波動、
Φ(x,0)=acos(bx) a，b；定数
となるが波長がλなら Φ(x,0)=Φ(x+λ,0) になるからcosの中は b(x+λ)=bx+bλ=bx+2π となり
bλ=2π → b=2π/λ
になってしまう。
同じようにｘ=0 と位置を固定すれば波動の時間的変化になるが、
Φ(0,t)=acos(-bVt) Φ(0,t+T)=acos(-bVt-bVT) a，b；定数 T；周期
bVT=2π ；Φ(0,t)=Φ(0,t+T) として
b=2π/(VT)
となる。
当然 2π/(VT)=2π/λ → VT=λ → V=λν(=λ/T) となる。ただしν；振動数(=1/T) である。
ここに波動Φ(x,t)=acos((2π/λ)(x-Vt)) a；定数 が得られる。普通の粒子では V=ν*λ V；速度 である。
さらにここにｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの関係式とﾄﾞ･ﾌﾞﾛｲ波
E=hν，λ=h/P ν；振動数 λ；波長
を式の一部 （x-Vt） に巧妙に組み合わせることでν；振動数 λ；波長 を消すことができる。
x-Vt
=x-(ν*λ)t
=(λ/h){x(h/λ)-(hν)t}
=(λ/h)(xP-Et) ；E=hν，P=h/λ 代入
そして波動Φ(x,t)に代入すると
波動Φ(x,t)
=acos((2π/λ)(x-Vt))
=acos((2π/h)(xP-Et))
Φ(x,t)=acos((2π/h)(xP-Et)) になる。
実のところ、これはﾏｯｸｽｳｴﾙの電磁方程式の解の応用でしかない。
Φ(x,t)=acos((2π/h)(Px-Et))
この式だけから不確定性原理の式を導くことができる。簡単にするためx>0,P>0としておく。
t=0 と固定して (Px) を横軸にとれば左図（上）のようになる。
ｘ を横軸に取れば運動量Pは分母に現れるから、Pが大きいほど波動Φの波長は縮まりΦを通した波動効果は濃厚になる。図（中）
さらにそれを量子力学的解釈のもと、「Pが一定ならｘは飛び飛びの値 h/P の整数倍しか許されない」としたら、
禁止帯 △ｘ<h/P → △ｘ・P<h
となる。図（下）
これを禁止帯でなく存在可能帯(?)にすれば △ｘ・P≧h になる。
一方 横軸をPとして展開すると下ふたつの図で ｘ←→P ｘとPが入れ替わった図を書くことができる。それを「ｘが一定ならPは飛び飛びの値 h/ｘ の整数倍しか許されない」と解釈することもできるしそれによって
禁止帯 △P<h/x → ｘ・△P<h
存在可能帯(?) ｘ・△P≧h
となる。ここでふたつの式 △ｘ・P≧h ｘ・△P≧h を各々左辺同士、右辺同士かけ合わせると≧の向きは変わらないので
(△x△P)(xP)≧h^2
となる。ここで ｘ，P は各々存在可能なｘ，Pであるので図(上)より ｘP=h であるから
(△x△P)h≧h^2 → △x△P≧h
となる。
同様な方法で △ｔ△E≧h も導ける。end
ただし 他の導き方，他の結果もある。そしてそれにより△x△P≧hの右辺がh，h/2，h/4，h/2π，h/4π と七変化(?)する。
△x△P≧h or h/2 or h/4 or h/2π or h/4π ｸﾞﾗｲｶﾅ～(^^)
なぜなら Φ(x,t)=acos((2π/h)(Px-Et)) は式と粒子の全ての状態を表していないから！
3)オイラ－の公式とシュレディンガ－の波動方程式
通常 波動Φ(x,t)=acos((2π/h)(Px-Et)) とは書かれないらしい。本（量子力学 朝倉書店）では
波動Φ(x,t)
=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2)
となっている。ここで初めて『量子力学』と半分合意できる。
オイラ－の公式とは EXP(jθ)=cos(θ）＋jsin(θ) ｊ；虚数 である。オイラ－の公式を出すのは意外と簡単である。EXP(θ)のﾏｸﾛﾘﾝ展開は
EXP(θ)=1+θ+θ^2/2+θ^3/3!+θ^4/4!+θ^5/5!+．．．．．である。
よってEXP(jθ)のﾏｸﾛﾘﾝ展開は
EXP(θ)=1+jθ+(jθ)^2/2+(jθ)^3/3!+(jθ)^4/4!+(jθ)^5/5!+．．．．．
=1+jθ-θ^2/2-jθ^3/3!+θ^4/4!+jθ^5/5!+．．．．．
=1-θ^2/2!+θ^4/4!+jθ-jθ^3/3!+jθ^5/5!+．．．．．
=(1-θ^2/2!+θ^4/4!+．．．．．)+j(θ-θ^3/3!+θ^5/5!+．．．．．)である。
一方 cos（θ）のﾏｸﾛﾘﾝ展開は
cos（θ）=1-θ^2/2!+θ^4/4!+．．．．．である。
sin（θ）のﾏｸﾛﾘﾝ展開は
sin（θ）=θ-θ^3/3!+θ^5/5!+．．．．．である。
よって EXP(jθ)=cos(θ）＋jsin(θ) ｊ；虚数 である。end
ところで「何故ここでｵｲﾗ-表現を使ってもよいのかの説明、あるいはその注意点」といったものは当然のようにない！。使うのは常識らしい。人によっては虚数を使うことに違和感を感じるだろう。時間、距離、質量や他の物理量には虚数が入っていない。だから何ゆえΦに虚数が入るのだと！ 実際に量子力学では波動関数Φとｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-方程式に虚数がいたるところ入りこんでいる。
だがそれを「虚とはｳｿである。虚数を使うことはｳｿをついてる」と感情的に言うのは失礼だ。非常識だと言われる。失礼な質問は失礼な返事が返される。これを作用反作用の法則と言う。←ｳｿﾃﾞｽ！
「大体それで計算した結果を支持する多くの証拠がある。今更使うなとは絶対に言えない。」から始まり科学を知らないﾄﾞｼﾛｳﾄだと延々と続く。およそ科学とは無縁の争いが実際に合った。
物理と数学の関係は政治と金以上の癒着関係(?)がある。お互いに利用できるところは利用しあっている。とは言っても最後に出る物理量には最終的に虚数が混ざらない程度の処置は施してある。そうであるから、虚数を使うことで根本的な矛盾を出さない限り、虚数を使うなとの提案はまず無視される。虚数を使うことは虚数を実在すると認めているのではない。『それにつけても虚数は便利』だから使うのである。
ただ最近の科学は確かにその辺の配慮がまるでない。『科学はＨｏｗを追及するがＷｈｙは追及しない』と平気でのたまう。
『赤信号皆で渡れば怖くない』と言う和の精神(?)がｸﾞﾛ－ﾊﾞﾙ化して全世界に波及している。せめて答える方も『虚数を使う目的は微積分の利便性にある。虚数を使ったために矛盾を引き起こした事象はいまのところない。』ぐらいは言わないとﾏｽﾞｲだろう。
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それで結局オイラ－の公式をあてはめると
波動Φ(x,t)
=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2)
=acos((2π/h)(xP-Et))+jasin((2π/h)(xP-Et))
であり、ﾊﾟｸﾊﾟｸが導いた物はｵｲﾗ-的表現の実数部でしかない。この(1.2)式はまだ不充分らしいのだがこれからｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-の波動方程式を導く展開になる。
その方法は(1.2)を t で偏微分すれば
∂Φ/∂ｔ=Φ・(2π/h)ｊ(-E) → ΦE=j(h/2π)∂Φ/∂ｔ とまとめる (1.3)
x で偏微分すれば
∂Φ/∂x=Φ・(2π/h)ｊP
ΦP=-j(h/2π)∂Φ/∂ｘ とまとめる (1.13)
再度微分して
∂2Φ/∂ｘ2=-Φ・(2π/h)^2P^2
ΦP^2=-(h/2π)^2（∂2Φ/∂ｘ2) とまとめる (1.4)
ここに ﾆｭ-ﾄﾝ力学の式 E=P^2/(2m) とすれば 両辺にΦをかけて
ΦE=ΦP^2/(2m)
各々ΦE，ΦP^2を上の式に置きかえると
j(h/2π)∂Φ/∂ｔ=-(h/2π)^2（∂2Φ/∂ｘ2)/(2m) (1.5)
そしてこの(1.5)式こそが「自由粒子のｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-の波動方程式」となっている。
だがいったい何をしているのか？ そして何が問題か？
そろそろ混乱してきた？ 実はﾊﾟｸﾊﾟｸも！
式 Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) は式(1.5)の解である。式(1.5)の上に展開したら E=P^2/(2m) になる。問題ない？ はたして？
ところがもしｱﾅﾀが間違ってﾆｭ-ﾄﾝ力学の式を E=P^2 としてしまったとする。そして同じように展開して
j(h/2π)∂Φ/∂ｔ=-(h/2π)^2（∂2Φ/∂ｘ2) (1.5Q)
を導き出したとする。式(1.5Q)の解はやはり Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) である。つまりmは何であっても成立する。．．．．．．(?。?)
試しに勝手な ﾆｭ-ﾄﾝ力学の式「 E=P^2*Ｇ Ｇ；適当な数値 」を入れてみたまえ！ 全部通用する。ﾆｭ-ﾄﾝ力学の式 E=P^2/(2m) はΦに何の影響も与えない。
実は
式 Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) はｱｲﾝｼｭﾀｲﾝの関係式とﾄﾞ･ﾌﾞﾛｲ波
E=hν，λ=h/P ν；振動数 λ；波長 及び V=ν・λ
を利用して作り上げている。これらは全部電磁波の応用である。すなわち m=0 の究極の粒子！ ﾆｭ-ﾄﾝ力学の式 E=P^2/(2m) 、これは速度Vが充分に遅い場合である。相性が悪いのも仕方ない。
具体的に言うと(xP-Et)=Constが条件である。例えば xP-Et=0 は E=P(x/t) → E=PV である。この式は質量がほとんどなく、光速度に近い速度を持つから E=PV がほぼ成り立つ粒子にはほぼ成り立ち、その結果 式 Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) が成り立つし、お馴染みの△P△ｘ≧hも成り立つ。．．．ハズだ！
Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2)
(1.2)を t で偏微分すれば
∂Φ/∂ｔ=Φ・(2π/h)ｊ(-E) → ΦE=j(h/2π)∂Φ/∂ｔ とまとめる (1.3)
x で偏微分すれば
∂Φ/∂x=Φ・(2π/h)ｊP → ΦP=-j(h/2π)∂Φ/∂ｘ とまとめる(1.13)
よって E=PV であれば両辺にΦをかけて ΦE=ΦPV となるから(1.3)と(1.13)から
j(h/2π)∂Φ/∂ｔ=-j(h/2π)（∂Φ/∂ｘ)V
∂Φ/∂ｔ=-（∂Φ/∂ｘ)V となる？
あれ？ 何か変？ 数学的には確かに変だ！ だが物理的には変ではない！∂Φ/∂ｔ=-（∂Φ/∂ｘ)V を(∂Φ/∂ｔ)+（∂Φ/∂ｘ)V=0 として考えよう。
(∂Φ/∂ｔ)はΦのｔに対する傾きである。すなわちΦが⊿ｔだけ変化するならその変化は (∂Φ/∂ｔ)⊿ｔ である。同様にΦが⊿xだけ変化するならその変化は (∂Φ/∂x)⊿x である。
よってΦが⊿ｔだけ変化した後⊿ｘだけ変化するならその変化は
(∂Φ/∂ｔ)⊿ｔ＋(∂Φ/∂x)⊿x である。
ここでΦが⊿ｔだけ変化した後その変化を打ち消すように⊿ｘだけ変化したなら
(∂Φ/∂ｔ)⊿ｔ＋(∂Φ/∂x)⊿x=0 である。
この式は直ちに(∂Φ/∂ｔ)＋(∂Φ/∂x)V=0 ；V=⊿x/⊿ｔ に直せる。end
よって 粒子の式 E＝PV をｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-波動方程式に直す一般的なやり方
E→j(h/2π)∂/∂ｔ P→-j(h/2π)∂/∂ｘ と置換え
j(h/2π)(∂/∂ｔ)=-j(h/2π)(∂/∂ｘ)V としΦをかけて
j(h/2π)(∂Φ/∂ｔ)=-j(h/2π)(∂Φ/∂ｘ)V となり、これがｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-波動方程式になるのだが
それは Φが⊿ｔだけ変化した後その変化を打ち消すように⊿ｘだけ変化させる行為である。
ともかくこの式は Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2) を解とする。
なお本では
P→(2π/h)/j・grad (1.12) である。
この場合に置換えれば P→－ｊ(2π/h)∂/∂x にすることでﾊﾐﾙﾄﾝ演算子が得られることになっている。
E=PV のｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-波動方程式の解はΦ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2) なのだ！そしてそれは質量がほとんどなく、光速度に近い速度を持つ粒子に対して成り立つのだ。それが中間子、質量は電子の200倍程度しかなく速度は光速度の約７割という中間子では成り立つ。よってその中間子では △P△ｘ≧h が成り立つ。
ご苦労さん(^o^)
一方自由粒子のｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-の波動方程式
j(h/2π)∂Φ/∂ｔ=-(h/2π)^2（∂2Φ/∂ｘ2)/(2m) (1.5)
の方はさらに紆余曲折を経てこれを満足するΦは
Φ(x,t)=(h/(2π)^2)∫∞∞a（P)・EXP(j(2π/h)(xP-(P^2/2m）t)) (2.14)
にまで進む！ この式の行きつく先は △x△P≧ h/4π である。
量子力学はかならずしも軽くて速い粒子だけを扱うわけではない。不完全解のように E=(1/2)mV^2 がほぼ成り立つ重くて遅い粒子の場合もある。
質量がほとんどなく、光速度に近い速度を持つ粒子に対して E=PV がほぼ成り立ち、そのｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-波動方程式の解はΦ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2) である。そしてそれに対して △x△P≧ h 、△ｔ△E≧ h が成り立つ。
この質量がほとんどなく、光速度に近い速度を持つ粒子に電子の約200倍の質量であり、光速度の70%の速度を持つ中間子はとりあえず該当する。よって中間子の不確定性原理の式としては △x△P≧ h 、△ｔ△E≧ h がふさわしい。 △x△P≧ h/2π 、△ｔ△E≧ h/2π はふさわしくないであろう。
早い話 △x△P≧ h 、△ｔ△E≧ h は中間子に適用して良いと言う確信が欲しかったわけである。さて、皆さんが 納得できる水準だっただろうか？．．．．ﾄﾃﾓﾎﾝﾄﾄｵﾓｴﾅｲ（＾＾）？
怖いもの知らずで ｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-波動方程式の中に入りこんだのだが、これはもう1度ﾁｬﾝとやり直して本の例題くらいは解く実力を付けておいた方が良いだろう。章を改めてチャレンジしてみる。その内に．．．．．『寝ているﾗｲｵﾝが染み出す確率』を求めるために！
第一章で量子は粒子性と波動性を持つものであり、全ての物体は量子的存在であると言うｱｳﾄﾗｲﾝを設定した。その波動性と粒子性は同じ速度、運動量、ｴﾈﾙｷﾞ-を持つとするなら、波動Φは自ずと決定されて行く。その波動性を導いたのが電磁方程式の解の形である。それを数学的にｵｲﾗ-の公式を使用して導いて行ったのがｼｭﾚﾃﾞｨﾝｶﾞ-の波動方程式である。まとめるとまぁ こんなところだろう。
ただしﾊﾟｸﾊﾟｸの解釈も欠点はある。式 Φ(x,t)=aEXP(j(2π/h)(xP-Et)) (1.2) のａについて何も定義していない。
無限に伸びるｘ軸に対して粒子の重心(=波の中心）x0から充分離れたところはΦ=0としなければならない。a=ConstではΦ^2を確率と見なすと－∞～＋∞のΦ^2（確率）は無限大になってしまう。そうならないためには図のようにａを何かの関数にしなければならない。そう言う欠点はあるが、無視できる範囲では成り立つわけである。
その他にも △x△P≧ h 、△ｔ△E≧ h はむしろ
△x△P= h，2h，3h，4h，．．．．
△ｔ△E= h，2h，3h，4h，．．．．
とも解釈できると思われるしそれを巧みに『第2章 核融合』に当てはめている。それにしても『核融合』と言うことから始めたこのｱﾗｶﾙﾄｼﾘ-ｽﾞは思いつくまま書き続けたが、この辺で引き返さないといくらでも迷路に入る。最後に次回のｱﾗｶﾙﾄとして『中間子はその原子核内の陽子や中性子にキャッチボールされて、力を伝える。そのため強力な引力（=強い力）が生まれる』ことに言及して一応終わることにする。．．．予定である。(^^)