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図２
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図３
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図の簡単な説明
容器Ａ(容量約3.0L １個)：氷水を入れ、軽い台を介しテーブル上に置く 容器Ｂ(容量約0.2L １個)：熱湯を入れ、天井より糸で吊り下げる 容器Ｃ(容量約0.2L １個)：熱湯を入れ、軽い台を介しテーブル上に置く 氷水あるいは熱湯を入れる目安は容器の9分目程度とする(やけど注意) 容器Ｃを台ごとスライドさせ容器Ａに接近させたり離したりする。 それに合わせて容器Ｂはどのように振る舞うか観察する。 その変化は小さいので目盛板などを目安とする。 |
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上の実験を解析するための模式図は図４のようになる。
容器Ｂは天井のＤ点より糸で吊り下げられ、その重心Ｂ点が理想的に鉛直線上にあった場合の位置をＯ点とする。容器Ｃを容器Ａに接近させた状態では(容器Ａ＋容器Ｃ)の重心は点ＡCにあるとする。そのときＢ点は(容器Ａ＋容器Ｃ)との間の引力でＯ点からいくらかずれる。ただし、通常の場合高々kg単位の2物体間の引き合いは肉眼では観測できないので容器Ｃがどの位置にあろうが、さらには容器Ａ自体があってもなくても実質的に同じである。 したがって容器Ｃを離しているときの容器Ｂの位置はほとんどＯ点であり、容器Ｃを容器Ａに接近させることでそこから容器Ｂが移動した距離(つまり観測する値)は励起した状態の万有引力によるものと考えて問題ない。角でいえばθbに相当する。 |
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使用する各変数、定数の意味は以下のとおりとする。
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図４
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ｌ (m) ：糸の長さ
ｍ1(kg)：容器Ｂの質量 ｍ2(kg)：(容器Ａ＋容器Ｃ)の質量 ｒ (m)：容器Ｂの重心Ｂと(容器Ａ＋容器Ｃ)の重心Ａcの間の距離 θa ：糸が鉛直線ＤＯとなす角(通常時) θb ：糸が鉛直線ＤＯとなす角(励起時) Ｆa(N)：容器Ｂと(容器Ａ＋容器Ｃ)の間に働く万有引力(通常時) Ｆb(N)：容器Ｂと(容器Ａ＋容器Ｃ)の間に働く万有引力(励起時) Ｔa(N)：糸の張力(通常時) Ｔb(N)：糸の張力(励起時) ｇ ：重力加速度（＝9.8ｍ・sec-2） Ｇ ：万有引力定数（＝6.670×10-11ｍ3・kg-1・sec-1） Ｘ ：万有引力の増大倍率 |
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通常時、Ｆaは力の釣り合い関係により次のように表せる.
Ｆa＝Ｔaｓｉｎθａ (1) ｍ1ｇ＝Ｔaｃｏｓθa → Ｔa＝ｍ1ｇ／ｃｏｓθa (2) (2)を(1)に代入する. Ｆa＝ｍ1ｇｓｉｎθa／ｃｏｓθa (3) 一方、万有引力の法則より Ｆaは Ｆa＝Ｇｍ1ｍ2／ｒ2 (4) (3)と(4)より次の関係が成り立つ． ｓｉｎθa／ｃｏｓθa＝Ｇｍ2／ｒ2ｇ (5) |
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容器Ｂに関する運動方程式を立ててみる。
通常時に得られる加速度をαa(ｍ・sec-2)とすれば(4)より Ｆa＝Ｇｍ1ｍ2／ｒ2 ＝ｍ1αa (12) となるからαaは αa＝Ｇｍ2／ｒ2 (13) 励起時に得られる加速度をαb (ｍ・sec-2)とすれば(6)より Ｆb＝Ｘ・Ｇｍ1ｍ2／ｒ2 ＝ｍ1αb (14) となるからαbは αb＝Ｘ・Ｇｍ2／ｒ2 (15) 上式に各値を代入する。また重力加速度をｇとすればαa、αbは以下のような値 になる。加速度は何万倍にも増加したのであるが、地球の重力加速度に比較すれば まだ1万分の1であることが分かる。 |