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■はじめに
今回の話の内容の伝達関数の計算を夢の中で必死に解いていた事に始まります。
筆算にすれば簡単なのにと思いつつ（夢の中で）、暗算（夢の中の）で苦労したため、天啓 と思い、コンテンツにまとめました。

伝達関数を使っているので今までのコンテンツと比べるとちょっと難解ですが、ご容赦願います。
（機会があれば別途　伝達関数の話をするかも知れませんが、正直言って学校卒業してかなり時間がたつ為、忘れてることが多いので無理かもしれません。）

難解に見えますが、頑張って理解しようと思った方は、ラプラス変換、フィルター回路、制御工学の数学的背景が書かれている教科書を読むと容易に理解できるとおもいます。

■伝達関数と回路との関係
先ほど書いたように、今回のコンテンツは伝達関数を扱っており、 異質と思うかも知れません。
しかし、以下に着目すると、今まで書いてきた回路の計算式と伝達関数との共通点を見いだせると思います。

まあ、色々書いていますが、私の伝達関数の理解もこの程度だって言うことです。(^◇^;)
また今回は、 ので注意して下さい。

■位相器（All Pass Filter）の伝達関数（その1）
まずはフェイザー、phaserの■フィルターとしてのフェイザーの話を伝達関数を使って再度説明します。

まずは位相器（All Pass Filter）、フェイズシフター(phase shifter)を 伝達関数H(s)で表すと下のようになります。


この式を吟味します。
sH(s)解き方意味
0-1(0-1)/(0+1)s=jω/ω0=0だからω=0
DCの時
∞1(1-1/s)/(1+1/s)
分子、分母をsで割る		s=jω/ω0=∞だからω=∞
周波数が高いとき

H(s)の大きさ、|H(s)|=√((s-1)^2)/√((s+1)^2)=1です。
位相角を求めると (jω-1)/(jω+1)=(jω/ω0-1)(jω/ω0-1)/(jω/ω0+1)(jω/ω0-1)
という、分母から複素数をのぞくために共役複素数をかけて、
分子の虚軸の量を実軸で割ってarctan（アークタンジェント）を求めます。

今回は、あんまり重要ではないので、これくらいで許して下さい。m(__)m

ここで、フェイザー、phaserの■フィルターとしてのフェイザーの時に示した、グラフを示します。

なにか気がつきませんか？
180°位相がずれるって事は…(^◇^;)

■位相器（All Pass Filter）の伝達関数（その2）
この回路を縦続接続すると、各伝達関数の積になり、

上の右側の伝達関数になります。

先ほどと同様に、この式を吟味します。
sH(s)解き方意味
01(0^2-0+1)/(0^2+0+1)ω=0の時、1
DCの時
ω0-1((jω0/ω0)^2-2(jω0/ω0)+1)/((jω0/ω0)^2+2(jω0/ω0)+1)
(jω0/ω0)^2=-1なのでsの項だけ残る
ω0の時、-1。大きさは1のまま
∞1(1-2/s+1/s^2)/(1+2/s+1/s^2)
分子、分母をs^2で割ってs=∞を代入		ω=∞の時、1
周波数が高いとき


ここで、注目して欲しいのは分子、分母が２乗までの時、
分子の乗数で
s^2の項ω=∞の時に効いてくる。HPFの要素
sの項ω=ω0の時に効いてくる。BPFの要素
定数項
(この場合数字の1)		ω=0の時に効いてくる。LPFの要素
であることに着目してみて下さい。

■フェイザーの伝達関数

上の二段の位相器の出力に原音を加えると一番小さい構成のフェイザー(phaser)になります。
原音の伝達関数は１ですから
先ほどの伝達関数に1を加えます。


今回の式は定数2を掛けた形になっているので、それ以外の部分を吟味します。
sH(s)解き方意味
01(0^2+1)/(0^2+0+1)ω=0の時、1
DCの時
ω00((jω0/ω0)^2+1)/((jω0/ω0)^2+2(jω0/ω0)+1)
(jω0/ω0)^2=-1なのでsの項だけ残る
ω0の時、0。
∞1(1+1/s^2)/(1+2/s+1/s^2)
分子、分母をs^2で割ってs=∞を代入		ω=∞の時、1
周波数が高いとき

ω0の時、出力が0になっていることから、この式がノッチフィルターであることが 解ると思います。

フィルターとしてみたフェイザーの話を伝達関数で説明すると、こんな感じになります。

2次のフィルターの一般解では、分母のsの項の定数を1/Qの形で示すと、
Q:選択度(Quality factor)を表す形で求められます。
ここで、Qをついでに求めておくとQ=1/2になります。

ちなみに1/Q=2ζとすると、
フィルター関係発祥のQ:選択度(Quality factor)と
制御工学発祥のζ:減衰比(ジータ)が邂逅する非常に感動的な場面になります。

こういう、ほとんど一緒の物を、全く違う言葉を使って、別の授業で大学4年間掛けて 憶えさせられた方はたまったもんではありません。

電気屋というのはアナロジーを使って電気から音響、機械、制御の世界に広がっていった職種ですから、 用語の統一等をして、効率的な指導を検討してもらいたい物です。

■フェイザーの応用

回路規模がでかい割にメリットが少ないのであんまり、こういう実装はみませんが、 図のように、原音と位相器出力のどちらか一方の極性を反転させるとPHASERの回路を利用してBPF(Band Pass Filter)を作ることが出来ます。



今度は定数4を掛けた形になっているので、それ以外の部分を吟味します。
sH(s)解き方意味
000/(0^2+0+1)ω=0の時、0
DCの時
ω01/2(jω0/ω0)/((jω0/ω0)^2+2(jω0/ω0)+1)
(jω0/ω0)^2=-1なのでsの項だけ残る
ω0の時、1/2
∞0(1/s)/(1+2/s+1/s^2)
分子、分母をs^2で割ってs=∞を代入		ω=∞の時、0
周波数が高いとき

今度は、ω0のバンドパスフィルターになっていることが解ると思います。

位相器もフィルターの一種ですから、原音とフィルターを組み合わせると、 異なったフィルターが作れて、組み合わせ方によって、逆の特性も持たせることが出来る って所は面白い所だと思います。

■最後に
今回は位相器2段のフェイザーで説明しました。
理由は簡単で、4段にすると分母が4次の関数になり、展開が格段に面倒になりそうなので 省略していますが、大体同じようになります。

今回は伝達関数の吟味の話を書いたので、思ったより量が多く（つーか、式を書くのがしんどかったorz）、本来書きたいことはまだ先になりそうです。
もう少し、おつきあいお願いします。

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'11/01/13