実数の数--アレフ１

さぁ困ったことになりました。有理数の数が自然数の数と同じだとすると、無限 には一種類しかないんでしょうか？

前の節まででわかったことは「一列に並べることができるものは自然数と同じ数 しかない」ということです。そして、一見一列に並べられそうにない有理数です ら、ちゃんと一列に並べる方法がありました。

では、実数だとどうなるでしょうか。実は実数は一列に並べることができないこ とがわかっています。そのことは、「もし実数が一列に並べることができたとし たら？」と仮定して考えてみるとわかります。

まず０以上１未満の実数を考え、左のように一列に数を並べることがもしできた とします。そこでまず、この対角線に並んでいる数（四角で囲んだ数）を集めて、 新しい数を作ります。右の図の場合は、これは0.127732...という数になります。 この数の全ての桁を１ずつ増やします。ただし、９だった時は０にすることにし ます。すると0.238843...という数字ができます。この数字は、左の表の中に入っ ていません。左の表の数字のどれをとっても、どこかの桁が違っているからです。

「０以上１未満の実数を一列に並べることができた」として話をはじめたのに、 その列に含まれていない数を作ることができました。これは最初の前提が間違っ ていたからです。つまり、「０以上１未満の実数を一列に並べることはできない」 のです。

このようにして、０から１までの実数の数は自然数より多い、ということがわか りました。数学では「自然数は$\aleph_0$(アレフ０と読む）個あるが、実数は $\aleph_1$(アレフ１と読む）個ある」と言い、この二つの無限大を区別してい ます。$\aleph$には２以上もどんどんあり、実数よりもさらに多い無限大もあることが わかっています。

いま、０から１までの範囲で実数を考えましたが、これは０から２までであろう が、０から0.5までであろうが（あるいはこの他のどんな範囲であろうが）同じ ことです。適当に数をかけたり足したりすることで、１対１に対応できるからで す。

このように、無限にもいろんな種類があり、そのいろんな種類の無限をちゃんと 区別しないで考えると、アキレスと亀や、無限ホテルのような不思議な話ができ てしまうのです。