a^2 + b^2 = c^2 となる（a, b, c）の組を「ピタゴラス数」といいます。
(3, 4, 5)とか(5, 12, 13)などはよく知られていると思います。
今回、よく知られたピタゴラス数の、ほとんど誰も見たことのない領域をお目にかけようと、ただ好奇心で大量のピタゴラス数を生成してみました。
◆m, nを正の整数として
a = m^2 - n^2
b = 2mn
c = m^2 + n^2
と表すことができます。
但し
m > n, mとnは互いに素（公約数を持たない）, m+n は奇数、とします。
但し、m^2 - n^2 と 2mnのうち小さい方をaとしましょう。（見やすいように）。
◆例えば、m=2, n=1 とすれば、a=3, b=4, c=5 が得られ、
m=3, n=2 とすれば、a=5, b=12, c=13 が得られるわけです。
◆そこで、m を２から始めて、１００まで１ずつ増やし
各m について、n は、n=m-1 から始めて、n＞0 の間２ずつ減らすことにします。
◆「m+n が奇数」「n は、n=m-1 から始めて、n＞0 の間２ずつ減らす」ということの意味は次のようなことです。
・m, nが共に偶数では「互いに素」という条件に反しますから検討の必要なしです。
・m, nが共に奇数の場合、奇数の自乗の和も、自乗の差も偶数であり、積の２倍は当然偶数ですので、生じた数の組は必ず２で約せますので、これも検討する必要がありません。
◆この方針で、エクセル２００７のＶＢＡで書いたマクロを下に掲げます。
・このマクロでは、結果はセルに書き込まれます。ファイルに出力することもできますが、今回は省略します。
・先頭の１文字が大文字であとは小文字という語は、ＶＢＡ側が用意している「予約語」です。
・全部大文字の語（今回はLIMIT のみ）は、定数だ、ということを見やすくするための私のルールです。
・全部小文字の語は、私が自分で決めた変数または関数名です。
このようにしておくと、混乱が起きにくくなります。
・「Option Explicit」は、変数を必ずエクスプリシットに宣言しなければ使えないようにします。
これがないと、勝手に好きな変数を使えますが、自分が何をやっているのか自覚的でなくなりますし、変数の型も無駄になりがちで、お勧めできません。
変数は必ず自分で型とともに宣言して使いましょう。
・今回はmの上限を１００に設定しています。この「１００という数値」を「Ｆｏｒ〜Ｎｅｘｔ」 ループで直接書いてもループは回りますし、結果も同じですが、後で見たときに「１００って何の数値だったっけ？」などと迷うことになります。また、今回はＬＩＭＩＴを一か所でしか使っていませんからまぁ大丈夫ですが、大きなプログラムであちこちに使っていると、状況が変わったときに、書き直しミスが起こります。（世間を騒がす「プログラムミス」にもこのタイプのミスがありそうに思っています。）
数値をそのまま（即値で）書きこむことはやめましょう。定数で書くべきです。変更がおこっても、定数の宣言のところを書き直すだけで済みますので、簡単かつ安全です。
'------------------------------------------------------------
Option Explicit
Sub main()
Const LIMIT = 100 'm の上限
Dim m As Integer, n As Integer
Dim a As Integer, b As Integer, c As Integer
Dim count As Integer, work As Integer
count = 0
For m = 2 To LIMIT
n = m - 1
While (n > 0)
If (gcm(m, n) = 1) Then
count = count + 1
a = m * m - n * n
b = 2 * m * n
c = m * m + n * n
If (a > b) Then
work = a
a = b
b = work
End If
Cells(count, 1).Value = count
Cells(count, 2).Value = a
Cells(count, 3).Value = b
Cells(count, 4).Value = c
Cells(count, 5).Value = m
Cells(count, 6).Value = n
End If
n = n - 2
Wend
Next m
End Sub
'------------------------------------------------------------
Function gcm(a As Integer, b As Integer) As Integer
Dim r As Integer
r = a Mod b
If r = 0 Then
gcm = b
Else
gcm = gcm(b, r)
End If
End Function
'------------------------------------------------------------
・上の、gcm()という関数は最大公約数を求める関数です。
アルゴリズムは、ユークリッドの互除法です。
最大公約数が１の場合、互いに素であることになります。
・関数gcm()は引数として２つの整数を取り、整数値を返す、ということが宣言されています。
・関数は呼びだした側に値を返すものですが、関数名に値を代入すると、呼び出し側にその値が返ります。
「gcm」と単独で書かれた場合は関数名であり、「gcm( , )」という形で書かれているのは関数呼び出しです。
・見ると、gcm()という関数が、自分自身の中でgcm()を呼びだしています。
こういう書き方（考え方）をrecursive call（再帰呼び出し）といって、あまり大規模にやり過ぎると計算機に負担になったり、メモリーを食いすぎますが、この程度でしたら考え方が明瞭になってよいものです。（詳しくは説明しません）
もちろん、すべての再帰的表現はループで書くこともできますから、gcm()もループで書くことはできます。
・gcm()に与える引数の大小は考えなくて大丈夫です。
単純な例：gcm(5, 3)ならここでのr=2、gcm(3, 2)と再帰呼び出ししてr=1、gcm(2, 1)と呼んでr=0、ここで再帰は終了し、gcm=1という値が返ります。
このとき、gcm(3, 5)なら、r=3となるので、次の呼び出しはgcm(5, 3)となって、自動的にひっくり返りますね。ですから、引数の大小関係は考えなくていいのです。
・３つの数、例えば(r, s, t) の最大公約数を求めることもできます。
gcm(gcm(r, s), t)
こうすればよいのです。参考までに。
◆では、結果をお目にかけます。２０４０組もできました。じっくりご覧ください。（ヒマな時に）。
かいつまんで、ところどころ見ていただければ結構です。
count a b c m n
1 3 4 5 2 1
2 5 12 13 3 2
3 7 24 25 4 3
4 8 15 17 4 1
5 9 40 41 5 4
6 20 21 29 5 2
7 11 60 61 6 5
8 12 35 37 6 1
9 13 84 85 7 6
10 33 56 65 7 4
11 28 45 53 7 2
12 15 112 113 8 7
13 39 80 89 8 5
14 48 55 73 8 3
15 16 63 65 8 1
16 17 144 145 9 8
17 65 72 97 9 4
18 36 77 85 9 2
19 19 180 181 10 9
20 51 140 149 10 7
21 60 91 109 10 3
22 20 99 101 10 1
23 21 220 221 11 10
24 57 176 185 11 8
25 85 132 157 11 6
26 88 105 137 11 4
27 44 117 125 11 2
28 23 264 265 12 11
29 95 168 193 12 7
30 119 120 169 12 5
31 24 143 145 12 1
32 25 312 313 13 12
33 69 260 269 13 10
34 105 208 233 13 8
35 133 156 205 13 6
36 104 153 185 13 4
37 52 165 173 13 2
38 27 364 365 14 13
39 75 308 317 14 11
40 115 252 277 14 9
41 140 171 221 14 5
42 84 187 205 14 3
43 28 195 197 14 1
44 29 420 421 15 14
45 161 240 289 15 8
46 120 209 241 15 4
47 60 221 229 15 2
48 31 480 481 16 15
49 87 416 425 16 13
50 135 352 377 16 11
51 175 288 337 16 9
52 207 224 305 16 7
53 160 231 281 16 5
54 96 247 265 16 3
55 32 255 257 16 1
56 33 544 545 17 16
57 93 476 485 17 14
58 145 408 433 17 12
59 189 340 389 17 10
60 225 272 353 17 8
61 204 253 325 17 6
62 136 273 305 17 4
63 68 285 293 17 2
64 35 612 613 18 17
65 155 468 493 18 13
66 203 396 445 18 11
67 252 275 373 18 7
68 180 299 349 18 5
69 36 323 325 18 1
70 37 684 685 19 18
71 105 608 617 19 16
72 165 532 557 19 14
73 217 456 505 19 12
74 261 380 461 19 10
75 297 304 425 19 8
76 228 325 397 19 6
77 152 345 377 19 4
78 76 357 365 19 2
79 39 760 761 20 19
80 111 680 689 20 17
81 231 520 569 20 13
82 279 440 521 20 11
83 319 360 481 20 9
84 280 351 449 20 7
85 120 391 409 20 3
86 40 399 401 20 1
87 41 840 841 21 20
88 185 672 697 21 16
89 341 420 541 21 10
90 336 377 505 21 8
91 168 425 457 21 4
92 84 437 445 21 2
93 43 924 925 22 21
94 123 836 845 22 19
95 195 748 773 22 17
96 259 660 709 22 15
97 315 572 653 22 13
98 396 403 565 22 9
99 308 435 533 22 7
100 220 459 509 22 5
101 132 475 493 22 3
102 44 483 485 22 1
103 45 1012 1013 23 22
104 129 920 929 23 20
105 205 828 853 23 18
106 273 736 785 23 16
107 333 644 725 23 14
108 385 552 673 23 12
109 429 460 629 23 10
110 368 465 593 23 8
111 276 493 565 23 6
112 184 513 545 23 4
113 92 525 533 23 2
114 47 1104 1105 24 23
115 215 912 937 24 19
116 287 816 865 24 17
117 407 624 745 24 13
118 455 528 697 24 11
119 336 527 625 24 7
120 240 551 601 24 5
121 48 575 577 24 1
122 49 1200 1201 25 24
123 141 1100 1109 25 22
124 301 900 949 25 18
125 369 800 881 25 16
126 429 700 821 25 14
127 481 600 769 25 12
128 400 561 689 25 8
129 300 589 661 25 6
130 200 609 641 25 4
131 100 621 629 25 2
132 51 1300 1301 26 25
133 147 1196 1205 26 23
134 235 1092 1117 26 21
135 315 988 1037 26 19
136 387 884 965 26 17
137 451 780 901 26 15
138 555 572 797 26 11
139 468 595 757 26 9
140 364 627 725 26 7
141 260 651 701 26 5
142 156 667 685 26 3
143 52 675 677 26 1
144 53 1404 1405 27 26
145 245 1188 1213 27 22
146 329 1080 1129 27 20
147 473 864 985 27 16
148 533 756 925 27 14
149 540 629 829 27 10
150 432 665 793 27 8
151 216 713 745 27 4
152 108 725 733 27 2
153 55 1512 1513 28 27
154 159 1400 1409 28 25
155 255 1288 1313 28 23
156 423 1064 1145 28 19
157 495 952 1073 28 17
158 559 840 1009 28 15
159 615 728 953 28 13
160 616 663 905 28 11
161 504 703 865 28 9
162 280 759 809 28 5
163 168 775 793 28 3
164 56 783 785 28 1
165 57 1624 1625 29 28
166 165 1508 1517 29 26
167 265 1392 1417 29 24
168 357 1276 1325 29 22
169 441 1160 1241 29 20
170 517 1044 1165 29 18
171 585 928 1097 29 16
172 645 812 1037 29 14
173 696 697 985 29 12
174 580 741 941 29 10
175 464 777 905 29 8
176 348 805 877 29 6
177 232 825 857 29 4
178 116 837 845 29 2
179 59 1740 1741 30 29
180 371 1380 1429 30 23
181 539 1140 1261 30 19
182 611 1020 1189 30 17
183 731 780 1069 30 13
184 660 779 1021 30 11
185 420 851 949 30 7
186 60 899 901 30 1
187 61 1860 1861 31 30
188 177 1736 1745 31 28
189 285 1612 1637 31 26
190 385 1488 1537 31 24
191 477 1364 1445 31 22
192 561 1240 1361 31 20
193 637 1116 1285 31 18
194 705 992 1217 31 16
195 765 868 1157 31 14
196 744 817 1105 31 12
197 620 861 1061 31 10
198 496 897 1025 31 8
199 372 925 997 31 6
200 248 945 977 31 4
201 124 957 965 31 2
202 63 1984 1985 32 31
203 183 1856 1865 32 29
204 295 1728 1753 32 27
205 399 1600 1649 32 25
206 495 1472 1553 32 23
207 583 1344 1465 32 21
208 663 1216 1385 32 19
209 735 1088 1313 32 17
210 799 960 1249 32 15
211 832 855 1193 32 13
212 704 903 1145 32 11
213 576 943 1105 32 9
214 448 975 1073 32 7
215 320 999 1049 32 5
216 192 1015 1033 32 3
217 64 1023 1025 32 1
218 65 2112 2113 33 32
219 305 1848 1873 33 28
220 413 1716 1765 33 26
221 689 1320 1489 33 20
222 833 1056 1345 33 16
223 893 924 1285 33 14
224 660 989 1189 33 10
225 528 1025 1153 33 8
226 264 1073 1105 33 4
227 132 1085 1093 33 2
228 67 2244 2245 34 33
229 195 2108 2117 34 31
230 315 1972 1997 34 29
231 427 1836 1885 34 27
232 531 1700 1781 34 25
233 627 1564 1685 34 23
234 715 1428 1597 34 21
235 795 1292 1517 34 19
236 931 1020 1381 34 15
237 884 987 1325 34 13
238 748 1035 1277 34 11
239 612 1075 1237 34 9
240 476 1107 1205 34 7
241 340 1131 1181 34 5
242 204 1147 1165 34 3
243 68 1155 1157 34 1
244 69 2380 2381 35 34
245 201 2240 2249 35 32
246 549 1820 1901 35 26
247 649 1680 1801 35 24
248 741 1540 1709 35 22
249 901 1260 1549 35 18
250 969 1120 1481 35 16
251 840 1081 1369 35 12
252 560 1161 1289 35 8
253 420 1189 1261 35 6
254 280 1209 1241 35 4
255 140 1221 1229 35 2
256 71 2520 2521 36 35
257 335 2232 2257 36 31
258 455 2088 2137 36 29
259 671 1800 1921 36 25
260 767 1656 1825 36 23
261 935 1368 1657 36 19
262 1007 1224 1585 36 17
263 936 1127 1465 36 13
264 792 1175 1417 36 11
265 504 1247 1345 36 7
266 360 1271 1321 36 5
267 72 1295 1297 36 1
268 73 2664 2665 37 36
269 213 2516 2525 37 34
270 345 2368 2393 37 32
271 469 2220 2269 37 30
272 585 2072 2153 37 28
273 693 1924 2045 37 26
274 793 1776 1945 37 24
275 885 1628 1853 37 22
276 969 1480 1769 37 20
277 1045 1332 1693 37 18
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591 1691 3780 4141 54 35
592 1955 3348 3877 54 31
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