『ガロア理論』 は １９世紀初頭に，５次以上の 代数方程式に於いては代数的解法─ 方程式の係数に 加減乗除の四則と,ｎ乗根を求める開方，との 演算を有限回施して根を求める方法─ が存在しない,という証明に端を発し,それに関連して ”可換体のガロア理論 ”が生まれました．

　その後，非可換体,単純環,準素環,可換環及び非可換環等のガロア理論に拡張されたが,その 代数的構造の美しさ に加えて,その構造は 理論構成の一典型とみなされ,一時期は数学の理論の典型的存在として君臨していた感があった様です． また トポロジ−，ホモロジ−，及び ホップ代数 等の新概念の相次ぐ採用により,その取扱方も一段と単純明瞭になって来た様に思われます.

　本書は，著者が 代数学 特に 『 環のガロア理論 』 に興味を感じて，永年親しみを持って学んで来た ”数学遍歴の記録 ”であります．その道程に於いては，数学図書・論文の内容の理解に困難を感じた箇所が数多くありました．その原因には，多くは著者の不勉強が主ではありましたが，それにも増して，一般の数学書の大部分は,行間に書かれるべき説明が,種々の理由により余りにも多く省略して書かれ,そして出版されている点ではないかと,今になって痛切に思われてなりません．

　その為に,良き指導者に恵まれた人以外の数多くの人々が, 最初持った意欲を徐々に薄められて行くのは，数学界にとっては 大きなマイナスの筈です．数学は勉強をして先へ進めば進む程に,興味の増す分野の代表の一つです.

　以上の観点に立って，本書は，代数学 特に『 環のガロア理論 』 に興味を感じられる方々の中で,時間の都合上,数学図書,数学論文 等に目を通す余裕の少ない読者の良き ”共存･共学者”であることを目標にして書きました．

　従って ”一読しただけで理解できる ”ように，出来るだけ懇切丁寧に記述を試みました． その為に ”直観的に納得 ” して戴ける様に，敢えて定理と証明の 説明図 及び 定理の系統図 等も,出来る限り多数取り入れて, ”代数学の入門的解説書 ” をも兼ねた積もりであります．

　尚，本書で適用する定義及び全ての諸定理に関しては，その証明は本書内で完全に述べ（「付録(定理の証明)」を含めて),他書を一切参照しなくても,”この一冊だけ ”で全てが解決出来る様に鋭意配慮した積もりです．

　もしも読者が，以上の ”環のガロア理論の美しさ ”のほんの一鱗にでも，本書により触れ感じることが出来ましたら,著者の喜びは これに過ぎるものはありません.

　冒頭にも述べましたように，私が或る定理の証明の理解に苦しんでいた時，他書の同定理への証明を読んで直ぐに理解出来た時の喜びは,その著者の読者に対する愛情の深さに感謝すると共に,更なる数学の探求への意欲を駆り立てられた例は　枚挙にいとま 有りません．

　　ここで，本書を読むに当たっての利用法を述べますと次の通りです ：
　第１章は 本書全般にわたる ”基礎的予備知識 ”で，それ以上の 予備知識は各章に散在させました.即ち 各章の目標とする環のガロア理論を理解する為の ”最小限度の予備知識”は，その章の前半に位置する様に配慮してあります．またその予備知識に出てくる諸定理の内,余りに基礎的なものは,目標の環のガロア理論 の本筋の見通しを良くする為に,本文中ではその証明を省略して,巻末の「付録（定理の証明）」にその証明のみを移動した定理もあります．

　その為に，もし本文を読むに際して，理解に困難を感じた場合は，巻末の「付録」にその完全な証明を述べてありますので適時ご利用して下さい．
　又,尚読書中に,本文の用語などで理解しがたい箇所があれば,やはり巻末の　「索引」を活用して下されば,それに 関連した用語 も分かり,理解を深められることと思います．

　何分にも 浅学，非才の上，多くの数学図書，数学論文等に目を通す余裕の少ない為,全体に渡って不備の点も多々有ると思いますので,お気付きの点は是非 御教示を賜りたく，伏して お願い申し上げます．

　最後に,本書を出版するに際して,今迄の 私の ”ガロア理論の研究 ”に多大のご援助を賜りました 諸先生の方々に心より厚く御礼を申し上げます。

　　　　　 　　　　　　 　　　（ My Wife をも含めて ）．

　 　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　１９９６年６月 吉日

　 　　−− 目　次 −−　

　　　　序　文
　　　　目　次
　　　　凡　例

　　　　　　　　　　M A S A S U G I　

　　　　　　　環 の ガ ロ ア 理 論

　　　　　　−−　入　門・図　解　付　−−

　　　　　　　　　　（ ある数学愛好者の遍歴 ）　　 　　　　　

　 　上記の内容を

　”代数学 ” 関係の 「基礎編」 と，

　”環のガロア理論 ” 関係の 「応用編」

　 　 とに ２分類 すれば， 次の如くなります．

　　　　　第 １ 部　 基 礎 編

　　第１章　 環と準同型 　　　　　　　 　 　　

［Ａ］ 群，環，準同型　

§１ 集合，群
　 　 １ 集合，束：集合族，類別，順序集合，Ｚorn の補題，
　　　　　　　　　連鎖条件，束
　 　 ２ 群 ：準群，群，加群，部分群，生成系，剰余群，直積

§２ 環，体
　 　 １ 環 ：環，部分環，イデアル，生成系，剰余環
　　　２ 体 ：体，代数拡大，分離拡大，

§３ 準同型
　　　１ 群の準同型：群の準同型，群の同型定理，準同型の誘導，
　　　　　　　　　　　　　　群の直積の部分群，加群の自己同型環
　　　２ 環の準同型：環の準同型,自己同型群，内部同型群
　　　３ 束の準同型：束の準同型

［Ｂ］ Ｒ−加群，完全系列，圏と関手　　　　　　　　 　　　

§４ Ｒ−加群，Ｒ−準同型，多元環
　　　１ Ｒ−加群　：作用域，Ｒ−加群，生成系，加群の零化イデアル
　　　２ 基　　　 　：一次独立，基，自由加群
　　　３ Ｒ−準同型：作用準同型，Ｒ−自己準同型環，Ｒι・Ｒｒ，
　　　　　　　　Ｈｏｍ（Ｒ，Ｒ）， Ｈｏｍ R（Ｍ，Ａ）
　　　４ 多元環 ：多元環，多元環の準同型

§５ 直和
　　　１ 直和 ：直積，（外部的）直和，標準的単射・全射，
　　　　　　　　（内部的）直和，環の直和，直既約加群
　　　２ 完全可約 ：完全可約，理想可約

§６ 完全系列，圏と関手
　　　１ 完全系列 ：完全系列，分解
　　　２ 圏と関手 ：圏，関手

［Ｃ］ 行列環，単純環　　　　　　　　 　

§７ 行列環
　 　 １ 環の上の行列環 ： 全行列環
　 　 ２ 加群の自己準同型環：

§８ 単純環
　　　１ 体の左加群：線形空間，体の左加群，次元，有限次代数拡大体
　 　 ２ 単純環 ：単純環，左イデアルの極小条件
　　　３ 有限拡大体 ：有限拡大体

［Ｄ］ 半線形同型　　　

§９ 単純環と半線形同型
　 　 １ 半線形同型：加群の半線形同型，Ｒ＝Ｒ’ の場合，
　 　 ２ 両側Ｒ−Ｒ−加群（Ｍ，σ）： Ｒι，Ｒｒ の自己同型，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　両側Ｒ−Ｒ−加群（Ｍ，σ）

　　第２章 　 べき等元，根基，半準素環

［Ａ］ べき等元，根基　　　

§１ べき等元
　 　 １ べき等元：べき等元，野元，
　　　　　　　　　　　べき等元と加群，べき等元と左右イデアル
　 　 ２ べき等元と法：

§２ 根基,直既約加群
　 　 １ 根基：擬乗法，右擬正則イデアル,根基,右原始環，根基の性質
　　　２ 直既約加群：既約加群，アルテｲン的Ｒ−加群，直既約加群
　　　３ 完全直既約加群： 完全準素環，完全直既約加群

［Ｂ］ 半準素環

§３ 半準素環，正則左加群
　 　 １ 半準素環　：半準素環
　 　 ２ 正則左加群：複加群，環の正則左加群

　　第３章 　 単純環，テンソル積，準素環　　　 　

［Ａ］ 単純環，弱正規的部分環　

§１ 多元環の直積，単純環における可換子環
　 　 １ 多元環の直積 ：可換体上の多元環の直積
　 　 ２ 単純環の両側加群：単純環の両側加群，単純多元環の直積
　 　 ３ 単純環における可換子環： 自己準同型環の単純部分環，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　単純環の基本定理

§２ 弱正規的部分環
　 　 １ 半線形準同型 ：半線形準同型，Ｒισ
　 　 ２ 弱正規的部分環：弱正規的部分環，単純環の自己同型

［Ｂ］ テンソル積，準素環　

§３ テンソル積
　 　 １ テンソル積 ：平衡写像，テンソル積，テンソル積の性質，
　　　　　　　　　　　　　　写像のテンソル積
　 　 ２ 準同型の群（Ｈｏｍ）の性質：Ｈｏｍの性質
　 　 ３ 中心的単純多元環：中心的単純多元環，Ｎoetherの補題

§４ べき零元イデアル，準素環
　 　 １ べき零元イデアル ：べき零元イデアル，べき零元根基
　 　 ２ アルテｲン的Ｒ−加群：左アルテｲン環，Ｒ−加群の組成列
　 　 ３ 準素環 ： 準素環

　　第４章 　位相空間　　　 　

§１ 位相空間
　 　 １ 位相空間　：位相，開集合，閉集合，近傍系，Ｈausdorff空間
　 　 ２ 位相の生成：位相の強弱，位相の生成，位相の基，基本近傍系

§２ 直積空間，コンパクト位相空間
　 　 １ 連続写像，直積空間：連続写像，誘導位相，
　　　　　　　　直積位相空間，位相群
　 　 ２ コンパクト位相空間

　　第５章 　射影加群，分離多元環

［Ａ］ 射影加群

§１ 射影加群，Ｈom-Ｔensor関係，森田の定理
　　　１ 射影加群 ：自由加群，射影加群
　　　２ 射影生成加群：生成加群，射影生成加群
　　　３ Ｈom−Ｔensor関係：Ｈｏｍの性質，Ｈom−Ｔensor関係

§２ 森田の定理，局所環
　　　１ 森田の定理 ：圏の同値，θr,θs，森田の定理
　　　２ 局所環 ：素イデアル，局所環，商環，局所化，射影加群の階数

［Ｂ］ 分離的多元環

§３ 分離的多元環
　　　１ 分離的多元環　 ：分離的多元環
　　　２ 両側Ａ／Ｒ−加群：両側Ａ／Ｒ−加群，Ｒ−部分加群Ｍα
　　　３ 分離的多元環のテンソル積：分離的多元環のテンソル積，
　　　　　　　　　　　　　　　　分離性の推移定理
　　　４ 体上の分離的多元環：体上の分離的多元環
　　　５ 中心的多元環 ：分離的な中心的多元環

§４ 分離的多元環の性質
　　　１ 中心的多元環の性質：
　　　２ 分離的な中心的多元環の可換子環：
　　　３ 可換子環定理 ：

§５ 分離的な環
　　　１ 分離的な環 ：分離的な環，接合積
　　　２ 可換環上の多元環：

　　　　　第 ２ 部　 応 用 編

　　第１章 　 環の外部的ガロア理論 　　　　　　　 　 　　

§０ 環のガロア理論の基本的形式　

［Ａ］ 単純環の外部的ガロア理論　　　

§１ 単純環の接合積
　 　 １ 接合積 ：接合積，半線形同型と接合積

§２ 単純環のガロア理論
　 　 １ 単純環のガロア定理：

［Ｂ］ 半準素環の外部的ガロア理論　　　

§１ 環の接合積
　 　 １ 環の接合積：完全外部的な自己同型群，環の接合積
　 　 ２ 半準素環の接合積：

§２ 半準素環のガロア理論
　 　 １ 半準素環のガロア定理：

　　第２章 　環の一般ガロア理論 　　　 　　

［Ａ］ 単純環の一般ガロア理論　

§１ 単純環の一般ガロア理論
　　　１ 正則な自己同型群 ：正則な自己同型群
　　　２ 単純環の一般ガロア定理：

［Ｂ］ 準素環の一般ガロア理論　　　

§１ 正則な自己同型群
　　　１ 正則な自己同型群：正則な自己同型群
　　　２ 準素環と正則な自己同型群 ：

§２ 準素環の正則な自己同型群
　　　１ 準素環の正則な自己同型群：準素環の正則な自己同型群
　　　２ Ｒκ〜 ＫrＲι ：
　　　３ Ｖα（Ｔr） ： 　　　　　　　　　　

§３ 準素環の一般ガロア理論
　　　１ Ｇ（Ｔ） ：
　　　２ 準素環の一般ガロア定理：

　　第３章 　環の無限ガロア理論　　　　 　

§１ ガロア拡大，ｔotal群
　 　 １　ガロア拡大：局所単純，ガロア拡大，ｔotal群，
　　　　　　　　　　正規部分環，正則部分環，正則部分群
　 　 ２　ｔotal群 ：
　 　 ３　局所有限群：自己同型群の局所有限，外部的

§２ 正則な閉部分群
　　　１ 条件（＊）：
　　　２ 正則な閉部分群：

§３ 単純環の無限ガロア理論（局所有限の場合）
　　　１ 条件（＃）： 逆極限
　　　２ 単純環の無限ガロア定理（局所有限の場合）：

§４ 単純環の無限ガロア理論
　　　１ Ｗ ＝ ＶR（ＶR（Ｓ））
　　　２ 単純環の無限ガロア定理

　　第４章 　可換環のガロア理論　　　　　　

［Ａ］ 分離的多元環の有限ガロア理論 １

§１ ガロア拡大
　　　１ ガロア拡大：正規拡大，△（Ｒ，Ｇ），ガロア拡大，ｔr写像

§２ 分離的多元環の有限ガロア理論
　 　 １ 分離的多元環の有限ガロア定理：

［Ｂ］ 分離的多元環の有限ガロア理論 ２

§３ 分離的多元環の有限ガロア理論
　 　 １ ガロア拡大　　　：ガロア拡大
　 　 ２ 分離的多元環の有限ガロア定理２：
　　　　　　　Ｇ−Strong部分環，分離的多元環の有限ガロア定理２

　　第５章　 非可換環のガロア理論

［Ａ］ 非可換環の有限外部的ガロア理論 １

§１ 非可換環の接合積，ガロア拡大
　　　１ 接合積 ：接合積
　　　２ ガロア拡大：ガロア拡大，Ｇ−Strong部分環

§２ 接合積の部分環
　　　１ 接合積の部分環：
　　　２ ガロア拡大とＲの部分環

§３ ガロア拡大と部分群 　　　　　　　　　 　 　

§４ 非可換環の有限外部的ガロア定理 １ 　 　 　

［Ｂ］ 非可換環の有限外部的ガロア理論 ２

§５ ガロア拡大，分離拡大
　 　 １ ガロア拡大：ガロア拡大，分離拡大，接合積

§６ ガロア拡大の部分環 　　 　　　　　　　　　

§７ 非可換環の有限外部的ガロア定理 　　 　　

§８ 非可換環の有限外部的ガロア定理 ２ 　　

　　　追 録　 体のガロア理論　 　　　 　

§１ 有限拡大体
　　　　　：有限拡大体

§２ 可換体のガロア理論
　　　　　：ガロア拡大体の定義，可換体のガロア基本定理

　上記の　書籍　の詳しい　内容に関して　興味　の有る方　へ　！
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