主人は重度の痴呆状態です。
最近、主人の父親が亡くなりました。
遺産相続の件で、主人の兄から「相続は放棄して欲しい」と頼まれました。
どうすれば良いでしょうか？

ご主人には、お兄さん同様の相続分が保証されています。
この保証された相続分と異なった遺産相続をしたい場合には、相続人全員の話し合い（遺産分割協議）によって、誰が何を相続するかを決めます。
ご主人が、この話し合いに参加されるのは無理と考えられますので、家庭裁判所に後見開始の審判を申し立て、成年後見人を選任してもらい、後見人が遺産相続の話し合いに出席することになります。
あなたを成年後見人として選任してもらうことも出来ますし、司法書士などの専門家を選任してもらえるよう、家庭裁判所に希望を述べることも出来ます。
以上のような手続きを経ずに奥様が独断で、相続しないと決めることは出来ませんので注意が必要です。

姉は現在一人暮らしをしていますが、交通事故の後遺症で話を理解できない状態になってしまいました。遠方のため、私が介護することも出来ません。
姉は事故に遭う前に、「この家を処分して良い老人ホームへ行きたい」と言っていました。

まったく会話が出来ない状態なら、家庭裁判所に後見開始の審判を申し立て、成年後見人を選任してもらいましょう。
後見人がお姉様の代わりに居宅の売買契約をし、老人ホームへの入居契約を結ぶことになります。
なお、居住用不動産の処分をするには、その旨、家庭裁判所の許可を別に得る必要が生じます。

以上は、成年後見に関する登記の一例として記載しました。