【問】

　ばね定数ｋ、自然長ｌのばねの左端を固定し、右端に質量ｍの物体をつけた。また、上面が右向きの速度vfで動くベルトコンベアーを用意し、物体がベルトの上に載るように設置した。物体とベルトとの静止摩擦係数をμ，動摩擦係数をμ’とする。いま、物体を自然長の位置に置き静かに手を離した。この後、物体はどんな動きをするか。

【解】

　ばねに沿って右向きに�I軸を取り、自然長の位置を原点とする。

　最初、物体は速度vfで等速度運動をする。なぜなら、このときの運動方程式は
　　　
ｆは静止摩擦力で弾性力kxとつり合うので右辺はゼロ。よって加速度ａ＝0で等速度運動となる。

　ｘは次第に大きくなり、弾性力が最大摩擦力を超えたとき、つまりkx > μmgとなったとき、物体は弾性力によってベルトに対して右側に滑り出す。このときの運動方程式は
　　　
μ’mgは動摩擦力。この式を見ると、変位ｘに比例する大きさの復元力F =−k(x−μ’mg/k)が働いているので、物体はx =μ’mg/kを中心とした単振動と同じ動きをすることがわかる。

　この単振動の振幅Aを求めるために、物体が滑り出した直後と、最右点に達しｖ＝0となった時に関して力学的エネルギーと仕事の関係を考える。滑り出した直後は、x =μmg/k，v = vf．最右点では、x =μ’mg/k+A，v = 0．また、動摩擦力がする仕事はW =μ’mg(μ’mg/k+A−μmg/k)．よって、（力学的エネルギーの増加分）＝（外力のした仕事）であるから
　　　
　　　
周期Tは、
　　　
この状態は物体がベルト上を滑っている限り、つまりv < vf が成り立つ限り続く。

　単振動とは振動の中心に対して対照的な運動なので、最左点で折り返したあと
　　　
でv=vf となり、ベルトに対して静止する。この後、静止摩擦力が働くようになり、再び速度vf で等速度運動を始める。つまり、最初の状態に戻る。

　後はこの繰り返しとなる。

　　　

【シミュレーション】

　上の問題はなんだか難しくなってしまいましたけど、とりあえず次のことを確認してください。
　物体が床に対して静止している間は外力の大きさに等しい静止摩擦力が逆向きに働き、外力の大きさが最大摩擦力を越えた時、物体は外力によって滑り出す。滑っている間は滑っている方向と逆向きに動摩擦力が働く。

• 背景の白い部分にマウスポインタを合わせ、クリックすることにより、物体の初期位置をマウスポインタの位置に合わせることができます。

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