最大値・最小値の定理

サイトのTOP→理系インデックス
微分積分のTOP→微分積分インデックス





C12 ( 最大値の定理 )

K を の有界閉集合とする。

K≠φとする。

f:K→ を連続関数とする。

このとき、f は K 上で最大値・最小値をもつ。

補足

『 有界閉集合 』 を 『 点列コンパクト 』 または 『 コンパクト 』 に言い換えてもよい。(※B20)

証明

(yn∈⊂f(K)を点列とする。

いま、各 y に対し、ある x∈K が存在して、y=f(x)となる。

いま、(xn∈⊂K である。

いま、K は点列コンパクトである。(※B20)

よって、ある収束部分列(xρ(n)n∈ が存在して、その極限 x は K に属する。

また、f は x において連続である。

よって、limn→∞ρ(n)=limn→∞f(xρ(n))=f(x)である。(※C1)

むろん、f(x)∈f(K)である。

よって、limn→∞ρ(n)∈f(K)である。

以上により、(yn∈ は収束部分列をもち、その極限は f(K)に属する。

よって、f(K)は点列コンパクトである。

よって、f(K)は有界である。(※B20)

( つまり、f は有界である )

よって、supf(K)が存在する。(※M1:上限・下限の存在)

そこで、b=supf(K)とおく。

いま、任意の n∈ に対し、ある z∈f(K)が存在して、z∈[b−1/n、b)となる。(★)

このとき、(zn∈⊂f(K)は b に収束する。

いま、f(K)は閉集合である。

よって、b∈f(K)である。(※B15)

よって、ある x∈K が存在して、b=f(x)となる。

また、b は f(K)の上限であり、b∈f(K)である。

よって、b は f(K)の最大値である。

( 最小値については、supf(K)の代わりに inff(K)を考えれば同様に示される )

(★)について補足

この部分を難しく感じる学生は多いかもしれない。

いま、b=supf(K)であることに注意しよう。

さらに、b は f(K)に属さないとする。

そして、b よりもわずかに小さい数 b−1/n を考えよう。

このとき、b−1/n と b の間に f(K)に属する点は存在するであろうか?

もし存在しないのだとしたら、これは b=supf(K)に矛盾する。

よって、b−1/n と b の間には f(K)に属する点が存在する。