正規分布 （ ガウス分布 ） ： 公式の導出

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確率密度関数 ｆ（ｘ）は以下のように定義されるものとする。



確率変数 X の確率密度関数 f ( x ) について、以下の（１）〜（４）が成立することを示せ。

（１）　f ( x ) の全範囲にわたる積分は １ になる。　　　（２）　期待値は E（ X ）＝μで表される

（３）　分散は V（X）＝σ２ で表される。　　　（４）　f ( x ) は 『 ｘ ＝μ±σ』 で変曲点をもつ。

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設問（１）の解説

実際に確率密度関数 ｆ（ｘ） について、積分してみる。



次のように変数変換する。



すると、



ガウス積分の公式 より、



よって、

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設問（２）の解説

設問（１）と同様の変数変換を行う。



ここで、

であるから、

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設問（３）の解説

設問（１）と同様の変数変換を行う。



式を整理する。



次の積分計算に注意して、整理すると、



次の結果が得られる。



設問（２）より



よって、

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設問（４）の解説

ｆ（ｘ） の増減表を作成する。





よって確率密度関数 ｆ（ｘ） は 『 ｘ＝μ±σ 』 で変曲点をもつ。

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