留数の計算、留数定理の計算

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次のような関数 f(z) を求めよ。



このとき、次の留数を求めよ。

(1)の解法

g(z)=1/(z−2) とおく。

すると、g(z) は点 1 において正則で、g(1)≠0 である。

よって、定理32より、点 1 は f(z) の2位の極である。

よって、定理31(2)より、

(2)の解法

g(z)=1/(z−1) とおく。

すると、g(z) は点 2 において正則で、g(2)≠0 である。

よって、定理32より、点 2 は f(z) の1位の極である。

よって、定理31(2)より、

次の積分を計算せよ。

(1)の解答

を次のようにおく。



円 C 内部の特異点は z= i である。

定理32 ( 位数の判定 )より、特異点 z= i は f(z) の1位の極である。

よって、定理31(1)より、



よって、定理33 ( 留数定理 ) より、

(2)の解答

次のようにおく。



円 C 内部の特異点は z=−1、2 である。

定理32 より、特異点 z= −1 は f(z) の2位の極であり、z=2 は1位の極である。

よって、定理31 ( 留数の公式 )より、





よって、定理33 ( 留数定理 ) より、

(3)の解答

次のようにおく。



円 C 内部の特異点は z=1/3 のみである。

定理32より、点1/3 は f(z) の1位の極である。

よって、定理31より、



よって、定理33 ( 留数定理 ) より、












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