ハミルトンの正準運動方程式

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定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン )

質点系の自由度を n とする。

一般化座標を q 、・・・、q とする。

ラグランジアンを L とする。

このとき、次のように定義する。



を q に共役な 『 一般化運動量 』 といい、H を 『 ハミルトニアン 』 という。

一般化運動量を用いると、B9 ( ラグランジュの運動方程式 ) は、次のように書ける。

B14

質点系の自由度を n とする。

一般化座標を q 、・・・、q とし、q に共役な一般化運動量を p とする。

ラグランジアンを L 、ハミルトニアンを H とする。

一般に、各関数の変数は次のように表される。

(1)の導出

定義 ( 一般運動量、ハミルトニアン ) より、



B7 より、



よって、

(2)の導出

(1)の式は全部で n個 である。

そこで、q の微分について解くと、

(3)の導出

B7 より、



(2)を用いると、

(4)の導出

定義 ( 一般運動量、ハミルトニアン ) より、



(2)、(3)を用いると、

B15 ( ハミルトンの正準方程式 )

質点系の自由度を n とする。

一般化座標を q 、・・・、q とし、q に共役な一般化運動量を p とする。

ラグランジアンを L 、ハミルトニアンを H とする。

このとき、次が成り立つ。



これを 『 ハミルトンの正準方程式 』 という。

、q を 『 正準変数 』 という。

導出@

( L や H が時間 t に陽に依存していない場合のみを考える。)

B9 ( ラグランジュの運動方程式 ) より、



定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



(*1)、(*2) より、



B7より、( いま L は時間 t に陽に依存していないことに注意。)



よって、全微分 dL は、



(*3)、(*2) を用いると、



式変形



左辺の括弧の中身はハミルトニアン H であるから、



一方、B14より、( いま H は時間 t に陽に依存していないことに注意。)



よって、



(*4)、(*5) について、dq と dp の係数を比較すると、

導出A

( L や H が時間 t に陽に依存していない場合のみを考える。)

定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



式変形



B4 ( ハミルトンの原理 ) より、



また、



(*1)、(*2)より、



δp 、δq は微小であるが任意の値をとる。

よって、上の等式が常に成り立つための条件は、

導出B

( L や H が時間 t に陽に依存していない場合のみを考える。)



上の(*2)と導出@の(*3)より、



上の(*1)、(*3)をまとめると、












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