ハミルトンの正準運動方程式に関する問題

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問題

放物運動を行う物体について、、ハミルトニアンを記述せよ。

解答

ハミルトニアンを考える。



問題は2次元系なので、2変数は x、y を考えればよい。

すなわち、i = 1、2 として、q = x 、q = y とすればよい。



ここで、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



すると、定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



よって、



式を整理すると、

問題

単振り子について、ハミルトニアンを記述せよ。

解答

ハミルトニアンを考える。



本問題は2次元系なので、2変数 r 、θを考えればよい。

しかし、次の束縛条件がある。



よって、r を新しい変数として考える必要はない。
すなわち、i = 1 として、q=θ とすればよい。



ここで、極座標への変換より、



よって、



ただし、r は定数なので、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



すると、定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



すると、



式を整理すると、

問題

質点をつないで単振動させている1次元調和振動子について、、ハミルトニアンを記述せよ。

解答

ハミルトニアンを考える



問題は1次元系なので、1変数は x を考えればよい。

すなわち、i = 1 として、q = x とすればよい。



ここで、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



すると、定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



よって、

問題

万有引力により、質量Mの周りを楕円運動する質量mの物体について、ハミルトニアンを記述せよ。

解答

ハミルトニアンを考える。



問題は2次元系なので、2変数 r 、θを考えればよい。

すなわち、i = 1、2 として、q = r、q =θ とすればよい。



B2 ( 速度と加速度の極座標表示 ) より、



よって、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



すると、定義 ( 一般化運動量、ハミルトニアン ) より、



よって、












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