ラグランジュの運動方程式に関する問題

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問題

自由落下運動を行う質点についてラグランジュの運動方程式を立て、運動方程式を記述せよ。

解答

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は1次元系であるから、1変数 x のみを考えればよい。

すなわち、i = 1 として、q = x とすればよい。 ( つまり自由度は 1 である。)



ここで、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



ラグランジアン L をそれぞれの変数で偏微分すると、



これらを(*)に代入すると、



式変形



( ※ このように、最終的にニュートンの運動方程式になった。これはラグランジュの運動方程式とニュートンの運動方程式が本質的に同じものであることを示唆している。)

問題

放物運動を行う質点についてラグランジュの運動方程式を立て、運動方程式を記述せよ。

解答

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は2次元系であるから、2変数 x 、 y を考えればよい。

すなわち、i = 1 、2 として考え、q =x 、q =y とすればよい。( つまり自由度は 2 である。)



ここで、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



ラグランジアン L をそれぞれの変数で偏微分すると、



これらを(*)に代入すると、



式変形

問題

下図のように、頂角2αの円錐の中を質量 m の質点が運動しているとする。

このとき、質点の運動方程式を記述せよ。



解答

円錐の運動を球座標に対応させて考える。

   

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は3次元系であるから、3変数 r 、θ、φを考えればよい。

しかし、θ=α という束縛条件があるので、θを新しい変数として考える必要はない。

すなわち、i = 1 、2 として、q =r、q =φ とすればよい。( つまり自由度は2である。)



ここで、極座標への変換より



よって、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



これを(*)に代入して整理すると、

問題

単振動している1次元調和振動子についてラグランジュの運動方程式を立て、運動方程式を記述せよ。

解答

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は1次元系なので、1変数 x のみ考えればよい。
すなわち、i = 1 として、q = x とすればよい。( つまり自由度は 1 である。)



ここで、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



ラグランジアン L をそれぞれの変数で偏微分すると、



これらを(*)に代入すると、



式変形

問題

単振り子について、ラグランジュの運動方程式を立て、運動方程式を記述せよ。

解答

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は2次元系なので、2変数 r 、θを考えればよい。

しかし、r=l という束縛条件があるので、r を新しい変数として考える必要はない。

すなわち、i = 1 として考え、q =θ とすればよい。( つまり自由度は 1 である。)



B2 ( 速度と加速度の極座標表示 ) より



よって、



ただし、r は定数なので



よって、ラグランジアン L=T−U は、



ラグランジアン L をそれぞれの変数で偏微分すると、



これらを(*)に代入すると、

問題

水平な y 軸 上に支点をもつ振り子を考える。

振り子の 支点O’は 原点O から距離S(t) に位置するとする。

すなわち、O’は時間 t に依存して移動するのである。

また、糸の長さを l とし、糸と鉛直線がなす角をθとする。



このとき、質点について運動方程式を記述せよ。

解法

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は2次元系なので、2変数 r 、θを考えればよい。

しかし、r=l という束縛条件があるので、r を新しい変数として考える必要はない。

すなわち、i = 1 として考え、q =θ とすればよい。( つまり自由度は 1 である。)



一方、



よって、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



これを(*)に代入して整理すると、

補足

傾角θが微小であるとし、S(t)=Acosωt とする。( すなわち、S(t)は単振動である。)

すると、



これは強制振動の式である。

S(t)=0 の場合、よく知られているように、振り子の振動数ω は、



A14 ( 強制振動 ) の補足で述べたように、ω≒ω のとき、振り子の振幅が増大する。

問題

自然長 l 、弾性定数 k のバネの一端を固定し、他端に質量 m の質点を吊るす。

すると、質点は鉛直面内で振動した。

このとき、支点から質点までの距離を r 、鉛直線とバネがなす角をθとする。

( これをバネ振り子という。)

質点の運動方程式を記述せよ。

解法

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は2次元系なので、2変数は r 、θを考えればよい。

すなわち、i = 1、2 として、q = r、q =θ とすればよい。( つまり自由度は 2 である。)



B2 ( 速度と加速度の極座標表示 ) より



また、



よって、



これらを(*)に代入すると、

問題

万有引力により、質量 M の質点の周りを楕円運動する質量 m の質点を考える。

質量 m の質点について、ラグランジュの運動方程式を立て、運動方程式を記述せよ。




解答

ラグランジュの運動方程式を考える。



問題は2次元系なので、2変数は r 、θを考えればよい。

すなわち、i = 1、2 として、q = r、q =θ とすればよい。( つまり自由度は 2 である。)



B2 ( 速度と加速度の極座標表示 ) より



よって、



よって、ラグランジアン L=T−U は、



ラグランジアン L をそれぞれの変数で偏微分すると、



これらを(*)に代入すると、

問題 ( 難 )

水平に距離 a だけ離れた固定点 A、B にそれぞれ長さ l の糸を付け、他端に長さ b の一様な棒を吊るす。

( この装置を 『 2本吊り 』 という。)

この棒を重心のまわりにわずかにねじって放したときの微小な振動を調べよ。

ただし、a > b とする。

解答

ねじれの角をθとする。

ねじると棒の重心は上昇するから、その高さを z とする。

重心のまわりの慣性モーメントを I とする。

運動エネルギー T を重心の運動と回転運動に分けて考えると、



よって、ラグランジアン L は、



さて、一般化座標はθだけで十分であるから、z をθの関数として表すことを考えよう。

つり合いの位置で、糸が鉛直線となす角αは、次式によって決まる。



棒がθだけ傾いたときに、糸と鉛直線がなす角をα’とする。

すると、余弦定理より、





θは微小であるから、近似的に、



すると、



よって、



よって、





θは微小量であるあら、



よって、(*1)の第1項は無視してよい。

また、棒の質量を M とすると、



(*1) に (*2)、(*3) を代入すると、



よって、ラグランジュの運動方程式は、



よって、



よって、A12 ( 単振動 ) より、












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