演習問題(行列式)

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演習問題1

置換σ、τ、ρを次のようにおく。



関数 f を次のように定義する。



このとき、次の置換を求めよ。

(1)の解答

(2)の解答

(3)の解答

(4)の解答

演習問題2

次の行列について、それぞれ行列式を計算せよ。

解答

定理17より、



定理18’( サラスの公式 ) を用いると、

演習問題3

次の行列について、設問(1)〜(4)に答えよ。



(1) 第1行に関する余因子展開により、行列式の値を求めよ。

(2) 第2行に関する余因子展開により、行列式の値を求めよ。

(3) 第1列に関する余因子展開により、行列式の値を求めよ。

(4) 第3列に関する余因子展開により、行列式の値を求めよ。

( もちろん、この行列式はサラスの公式を用いて計算することもできる )

(1)の解答

第1行について展開すると、(※定理23)

(2)の解答

第2行について展開すると、(※定理23)

(3)の解答

第1列について展開すると、(※定理23)

(4)の解答

第3列について展開すると、(※定理23)

演習問題4

次の行列式の値を求めよ。

(1)の解答

問題の行列式に対して、次のような変形を行う。

(1行)−2×(3行)
(2行)+(3行)
(4行)−3×(3行)

上記のような変形をしても行列式の値が変化しないことは定理19(5)によって保障されている。

さらに、第1列に関する余因子展開を行う。(※定理23)

以上の手順により、

(2)の解答

定理19(2)、(5)、定理23 より、

演習問題5

次の行列式を因数分解せよ。

解答

問題の行列に対して、次のような変形を行う。

1列+(3列)×2
3行+(1行)×(−2)

上記のような変形をしても行列式の値が変化しないことは定理19(5)によって保障されている。

さらに、第1列に関する余因子展開を行う。(※定理23)

以上の手順により、



( 途中、定理22’を直接用いてもよい )

演習問題6

次の行列について、正則であれば、その逆行列を求めよ。

(1)の解答

|A|=6 であるから、A は正則である。(※定理26)

定理26’より、



そこで、余因子を求めると、



よって、

補足

実は、逆行列を求める方法はもう1つある。

それは第3章の定理38(掃き出し法)で扱う。

しかも、そちらの方が簡単に算出できる。

(2)の解答

|A|=0 となるので、逆行列は存在しない。(※定理26)












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