行列の基本的な性質

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明白な定理が多いので、一部の定理を除いて証明は省略する。





A1

次が成り立つ。

証明

明らかである。

A2

次が成り立つ。

証明

明らかである。

A3

A、B を行列とする。

行列の積に関して可換則が成り立つとは限らない。

すなわち、AB=BA が成り立つとは限らない。

証明

成り立つとは限らないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい。

例えば、行列 A、B を次のようにおく。



このとき、AB≠BA である。

補足

すなわち、行列に積に関する計算では、勝手に計算の順序を入れ換えてはならないということだ。

A4

行列の積に関する計算では結合則が成り立つ。

すなわち、次が成り立つ。

証明 ( この証明は意外に面倒である )

A を m×n 行列、B を n×p 行列、C を p×q 行列とする。



参考のために図を示しておく。



ABの ( i 、r ) 成分は次のように表される。



よって、(AB)C の ( i 、s ) 成分は、



同様に、A(BC) の ( i 、s ) 成分は、



(*1) と (*2) により、(AB)C と A(BC) の ( i 、s ) 成分は一致しているので、

A5

単位行列 E、零行列 O について、次が成り立つ。

証明

明らかである。

A6

行列の積に関して分配則が成り立つ。

すなわち、次が成り立つ。

証明

明らかである。

補足

ただし、可換則は必ずしも成り立たないから、次が成り立つとは限らない。



行列の積に関する計算では勝手に順番を入れ替えてしまわないように注意が必要である。

A7

X≠O かつ Y≠O でも、次を満たす行列 X、Y が存在する。



このような行列 X、Y を 『 零因子 』 という。

証明

例えば、次のような行列が挙げられる。

補足

普通の数の場合、x≠0 かつ y≠0 ならば必ず xy≠0 となる。

すなわち、零因子の存在は行列特有の性質である。