新ペリア方式


ゴルフ大会なんかで時々使われる「（新）ペリア方式」というハンディキャップの算出法があります
この「演算」は、「測定を繰り返して精度を上げる」ということの逆をやっており、
実力に対する得点獲得の精度を低下させ、これによって実力差を圧縮する事のようです。

最終更新 01/01/15

はじめに

ゴルフって一回行くと２万円くらいかかる結構贅沢なお遊びですが、コンペとか言うとゴルフ場に払うお金の他に、景品代とられて、でも毎回景品もらう人きまっててだんだんいやになります（＞あまりもらえない自分）。　ハンディキャップ（以下HDC）を自己申請すると不正が生じがちとか言うことで、ある時、職場のちょっと大きな大会で「新ペリア方式」というHDC計算方法を採用することになりました。当時(1990年ころ）はまだdosの98ノートとBASICなどという非力な組み合わせでしたが、何とか終了後の現場で４０人分ほどを演算処理して順位を決めることが出来ました。

さて、このような（新）ペリアという計算方式は、しばしば用いられているようなのですが、生のスコア値に、このような演算を施すことはどのような効果を持つことになるのか、ちょっと検討してみました。

計算の仕方とその解析

ちなみに、新ペリア方式の計算は、
  1. 全１８ホール中から競技者には秘密でHDC計算用の隠しホールを１２ホール（パー４８になるように）選定。
  2. 各隠しホールにおけるオーバーパー分を計算する。ただし、
    1. アンダーパーの場合はゼロにとどめ、負の値としない。
    2. ダブルパー以上の場合でも、オーバーパー分はパー相当値にとどめる。（打数としてはダブルパーに相当）
  3. この１２ホール分の超過打数を合計して得た値に1.2を乗じてとする。ここで、この乗数が1.5（=18ホールの全パー数／12ホールの全バー数）よりも小さいことに注意。
  4. 実際にプレーしたスコア集計の生値をグロスとして、
    ネット＝グロス　−　（上記ハンディ）

新ペリアの計算の精神は、統計的な誤差を含むデータに対する和や差に関することで、放射線計測にも一脈通じるところがあります。
今、データＡ、Ｂが誤差ａ、ｂを含むことを複号を用いて、 （Ａ±ａ）、（Ｂ±ｂ） と書くことにします。その和や差は、
　（Ａ±ａ）＋（Ｂ±ｂ）＝（Ａ＋Ｂ）±SQRT（ａ2＋b2）
　（Ａ±ａ）−（Ｂ±ｂ）＝（Ａ−Ｂ）±SQRT（ａ2＋b2）
となります。もちろんSQRTは平方根を表します。

例えば、同じ測定を１００回繰り返してその和をとると、当然、測定値の中心値は１００倍になりますが、誤差は１０倍にしかならない。従って、得た結果の和
（100Ａ±10ａ）
を１／１００すると
（Ａ±0.1ａ）
となり、精度が１０倍向上する、ってなわけです。よく言われるように、精度を一桁向上させるには、二桁多い測定が必要になるということを表しています。

ある人の各ホールあたりの平均オーバーパー数（例えばHDC36の人なら2）をＡ、実際にプレーしたときの打数の誤差をａとしたとき、全１８ホールでのオーバーパー分；GROSS+は；
GROSS+ = Σ（Ａ±ａ）i　；　i=1から18
　　　=18Ａ ± SQRT(18)ａ
　　　=18Ａ ± 4.2ａ
ここで便宜上Ｒ値という値を、
Ｒ＝（実力係数；中心値の係数）／（運係数；誤差の係数）
と定義しますと、全１８ホールでは、Ｒ＝4.2（=18/4.2）。
１ホールはＲ＝1なので、１８ホールでのＲ値が4.2に増えているというのは、より実力が反映されている、つまりたまにある１ホールでは自分よりうまい人に勝っても、１８ホール終わってみるとたいてい負けている；という、上記繰り返し測定による精度向上と同じ話であります。

さて、問題は引き算；
（Ａ±ａ）−（Ｂ±ｂ）＝（Ａ−Ｂ）±SQRT（ａ2＋b2）
の方で、中心値はもちろん引き算ですが、誤差の部分は和と同じように増えるってことがポイント。新ペリアのような計算では、これによる誤差成分の増加をはかる演算、ってことが言えます。

新ペリアによる算出HDCは、 HDC = 1.2 x Σ（Ａ±ａ）j　；　jは1から18のうち12個
従って、HDC補正後の得点でのオーバーパー分NET+は；
NET+ = GROSS+ - HDC
　　　= Σ（Ａ±ａ）i　；　i=1から18
　　　　- 1.2 x Σ（Ａ±ａ）j　；　jは12個

　　　=Σ（Ａ±ａ）i　；　iは6個
　　　　- 0.2 x Σ（Ａ±ａ）j　；　jは12個
　　　=　3.6Ａ　±　2.5ａ
∴　ＲNET+　=　3.6 / 2.5 = 1.4

一方、前述の通り、
ＲGROSS+　=　4.2

であるので
∴　ＲGROSS+　=　3 x ＲNET+

新ペリア換算後のＲ値は、生値のＲ値の1/3しかありません。

結果の解釈

新ペリアによるスコア換算後のＲ値は、生値のＲ値の1/3しかありません。
今、実力差がXである二人の対戦を考えます。おのおのの１８ホールの得点の分布の様子は例えば図１の様になります。これを新ペリア換算しますと、実力差の尺度を一定に考えて、誤差分布は３倍、図２の様になります。２人の対戦結果の勝ち負けを考えると、逆にこれは、誤差分布を様子を元のままにして考えると、実力差を1/3に圧縮した様になる、とも言えます。

ま、新ペリアってのはせっかく１８ホールやるのに、「２ホールで勝負をつける」というのと同程度のばくち加減、一発勝負的にするものです。

しかし、「どうせ新ペリアだから一生懸命やっても仕方がない」ってなことをおっしゃる実力者の方がいらっしゃいますが、これは間違いです。生値でスコアを１縮めることは、平均換算後のNET値を0.2でも縮めることになるのですから。これは冒頭HDC計算のために、１２ホールの結果から１８ホール分のオーバーパー分を求める際に、1.5でなく1.2しか掛けていない事に由来しています。

「新」でないペリア方式に比較して「旧」ペリアでは、隠しホール数が１ラウンド中６ホール。算出HDCはこのホールのオーバーパー分を３倍かつ0.8倍してHDCとする、 ってなことですが、「新ペリアでは旧ペリアでの隠しホール数を倍加して、変動による運不運の影響を受けにくくしたのが新ペリア」と専門書にもありますが、これは半分正しくて半分間違い。なぜなら、新ペリアでは、逆に少ない「非隠しホール」で勝負が決まります。両方式の本質的な差は実力差圧縮率の差。新ペリアでは上述の通り圧縮率３ですが、旧ペリアでは圧縮率は幾分高めの5.7。その分、新ペリアの方が上級者有利な方式といえます。

さらに、隠しホール１２ホールをパー４８になるように選ぶことから、全てをミドルホールから選ぶのは不可能で、ありがちなのが各ハーフでロング１、ショート１、ミドル４という組み合わせ。そうすると、ハーフの中の非隠しホール（勝負ホール）３つは、ロング１、ショート１、ミドル１ってなことに、通常の配分比率よりロング、ショートに強い人有利な組み合わせになりがち、ってことも言えます。


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