パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積を求めるときに、次の便利な定理を知っていると非常に計算が楽なことがあります。
なかなか、図形的な意味もわかりやすいので自分は重宝しています。

パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積＝重心の移動距離×面積

V=2πRS


例えば、（0，2）を中心とした半径1の円、x²+(y-2)²=1をx軸の周りに回転させてできるドーナツの体積は、
面積S＝π、重心の移動距離4πなので、体積V=4π²

特に、直線に関して回転させるときに威力を発揮することが多いです。まともに考えると積分うざい！


この定理を利用した入試問題も見られます。
少し古いけど、H1宮城教育大に次のような問題が出ました。

（１）関数f(x), g(x) （ただし、[a, b] で f(x)≧g(x) ）がｙ＝Rに関して対称のとき，x=a, x=b, f(x), g(x) で囲まれた図形をx軸の周りに回転させた立体の体積に関して、V=2πRSが成り立つことを証明せよ。
（２）（１）を利用して、１辺の長さaの正１２角形をその１つの辺の周りに１回転させた立体の体積を求めよ．

(1)は、f(x)+g(x) ＝2Rであることを利用すると、鮮やかに計算できます。
(２)の答えは、3(7+4√3)πa³です。


※解答ミスを　えくぺこ　様よりご指摘いただきました。ありがとうございました。　　2006/12/02

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