目次

興味深い数と式

 

数や数式には面白い性質を持つものがある。ここでは偶然見つけたり、あるいは意識的に作成した興味深い数と式を書く。殆どは結果だけを示している。

連分数に似て、連乗数とでも呼べる式。

連分数風に書くと

       

  

 

レムニスケート周率ω=2.622057…に関する上記式は、数値計算上での予想。

1と√2 の算術幾何平均は M=π/ω=1.198140… となる。その√2 は

上記3式を級数化した式。1,1,2,5,14,42,132,… はカタラン数。

 

乗積で表すと

     正確には

従って1と√2 の算術幾何平均は 

 

これらを変形すると、自然数で構成される単純な式になる。

      

 

連分数での表示は

 

ω/2 や M/2 は自然数の単純な並びで構成されるため、基本的な数値だと思われる。1に較べると少し特殊な√2 との平均でMが出現するが、「1とi の算術幾何平均」が M/2+i(M/2) となる事の結果とも考えられる。マイナスの付いた値間の平均を数値計算で求めると、次の様な規則性がある値になる。

2つの数	算術幾何平均値	規則性
+1 , +i	M/ 2+i( M/ 2)	M(1+1i)/(12+12)
-1 , +i	3M/10+i( M/10)	M(3+1i)/(32+12)
-1 , -i	3M/10-i( M/10)	M(3-1i)/(32+12)
+1 , -i	5M/34+i(3M/34)	M(5+3i)/(52+32)

π = ωM であるので

  ←→ 

円周率は自然数の平面的な二重螺旋構造になっている。

 

ウォリスの公式

に似た形でeを表現すると

つまり奇数の積は  (2n-1)!!=1*3*5*…*(2n-1)≒(√2)(2n/e)^n

 

ウォリスの公式に似た数字の並びである級数。

 

    

ゼータ関数の最初の非自明零点は T₁=14.1347… である。ζ(1/2+i14.1347…)=0
似たような数字があるものだ。141の部分はそれぞれ10倍になっている。

 T₁=14.1347…
 √2=1.4142…
  π=3.14159…

零点は2πや10と関係が深いことは「ゼータ関数の零点の分布」で説明の通りである。また連分数を使用すると面白い式が作れる。

3_1_4_1の部分は等号の左右で数字が対称になっている。

(π-T₁/100)^2=9.001472…     π+π+e=9.001467…

 

π と e が関係する数や式には興味が湧く。正確な値での関係は良く知られているので、最初は正確でない値に関係する式を書く。

 

(x+1)^(x+1)=x^(x+2) の根は x=3.141041…
    ちなみに  8 ln 2 - 2ζ(3)= 3.141063…

f(x)=(x+1)^(x+1)-x^(x+2) は e の付近で最大となり、πの付近で0 となる面白い関数だ。

 

(π+1)^(π+1)=359.7956…
    π ^(π+2)=359.8670…

円周率に関係の深い360(度)に少し足りないようだ。

 

(π+1)^(π+1)+π^(π+2)=719.66…
(ππe)^2=719.76…   ππeππe≒1*2*3*4*5*6

         π≒2√(3 √(5) / e )=3.1418…
         π≒√(5/2) (⁸√(3))⁵=3.1417…
         e≒ 2³/√(5* √(3)) =2.7184…
         π≒5(⁸√(3)/√(2))⁷e=3.14152…

素数       2(π+3) (π+5)=100.0046…
自然数   3(π+2)^(π-1)=100.0006…
奇数       5(e+3)^(e-1)=100.0381…

円周率を約3とする話があったが、πとπとeの平均であれば3と見なしても良い。

  (π+π+e)/3  =3.000489…        (9-e)/2=3.1408…       
  (ππe)^(1/3) =2.993629…        9/2-1/1!-2/3!-3/5!=3.14166…
1/π+1/π+1/e=1.004499…

 

π^π-π^e=14.0030018888…
π+π-π/e+e+e^e=23.0000020…

e と 10-e はたすきがけになる数字が多い。隣り合う数字の合計が9(あるいは10)になる事が多いからである。

  2.718281828459045…     2.7 18 28 18 28 45 90 45 235 36 028 …
  7.281718171540954…     　9　9 10　9 10　9　9　9　10　9　10

結果の数字構成が面白い式。[ ]内は数字を昇順にしている。

  2^25+1   = 33554433     2φ^25 = 335522.0000…     φ^25 = 167761.0000…
11*11*11+1 = 666+666
12345679*9 = 111111111
12345679*8 = 98765432
12345679*2 = 24691358     [12345689]
 17^6      = 24137569     [12345679]
 17^6+17^1 = 24137586     [12345678]
 17^6+17^3 = 24142482     [12224448]
 17^6*176  = 4248212144   [1122244448]

べき乗の式。

3^5-3*5!/2 = 2^6-1^6

4^7-4*7!/2 = 3^8-2^8-1^8

 

自然数の和と平方数。

1+2+3 = 1²-2²+3² = 1*2*3

1+2+3+4+5 = 1²-2²+3²-4²+5² = 1*3*5

 

1,2,3と自然対数と円周率。

1+2^ln 3 = 3^ln 2 +1 = 3.14148…      (ln 2)^(√3) = 0.53003141528…

(1/1+1/2)^(1/3) ≒ ln π     つまり   e^{(1/1+1/2)^(1/3)} = 3.141543…

 

自然数の平方根。√2 は1,2,3,4の数字で、√5 は2,2,3,6(富士山麓)の数字で構成している。

√2 ≒ 1+1/(1*2)-1/(3*4)-1/(12*34) = 1.4142156…

√5 ≒ 2+1/(2*2)-1/(2*2*3*6)-1/(2*2*3*6*322) =  2.23606797791…

 

分子が奇数で分母が偶数の乗積。右の式で (k/2^j) の2^jは、k以下で最大の数とする。

    

e とπによる整数に近い数値。

2^ 6 /(√3*5*e^2)=1.00013903…
2^16/(√3*7*9*11*e^4)=1.00001874…
2^40/(√3*7*13*15*17*19*21*23*e^8)=1.00000239…
1*2*3*e^1/6 - 3*4*5*e^1/18 + 1*3*5*7*e^1/9=61.00000000947…
-123*e^1/39 +   231*e^2/39  +    13*e^3/39   =131.00000000019…
9889/9999+(9999-9889)e=300.000000030…

 

61/12π-12π/61=1.000057027…

2/e^(π(1/2)²)+2/e^(π(2/2)²)+2/e^(π(3/2)²)=1.0000069687…

1/e^(π(1/3)²)+1/e^(π(2/3)²)+…+1/e^(π(8/3)²)=1.00000000000105040…

 

次の4式は自作ではないが有名なものである。

   e^π-π=19.999099979189…
   e^6/(π^5+π^4)=1.00000004380…
   e^(π√163)=262537412640768743.99999999999925007…
   163/ln 163=31.999998738…

大きな数である e^(π√163) に対して  (π√163)^e=22806.99923…  も整数に近いのは興味深い。

自然対数による整数に近い数値。

90/ln 90=20.0008459…
9/ln(90*90) + ln(90*90)/9=2.000000001788…

 1/( ln(6/5) )^2 =   30.08319…     1/( ln(   2) )^3 =   3.00278…             3/( ln 2 )^4 = 12.99629…
 1/( ln(6/5) )^3 = 165.00075…     1/( ln(2/3) )^4 =  36.99866…         3*4/( ln 2 )^5 = 74.99873…
 1/( ln(6/5) )^4 = 904.99862…     2/( ln(3/4) )^5 =-1014.99990…  3*4*5/( ln 2 )^6 = 541.00151…
 8/( ln(7/6) )^5 = 91909.99979…  1/( ln(8/7) )^3 = 420.00055…   1/( ln(5/4) )^3 =  90.00092…
 7/( ln(8/9) )^10 = 13622932563.0013…        1/( ln(25/24) )^3 = 14700.0001700…
10/( ln(9/8) )^7  = 31799537.0000067…        1/( ln(25/24) )^5 = 8821224.9999932…

自然対数のべき乗は、連続する自然数との組み合わせにより、広い範囲で整数に近い値となる。その理由は「級数と乗積　自然対数と階乗・整数」を参照。

 

次の近似式の[  ]内は小数点以下で一致する桁数を表す。

ln 3  ≒ ln 2 + 1/15^(1/3)       [ 4桁]        ln25 ≒ ln24 + 1/14700^(1/3)   [ 8桁]
ln 8  ≒ ln 7 + 1/420^(1/3)     [ 6桁]         ln 8 ≒ ln 7  + 1/23555^(1/5)   [10桁]

オイラーの定数の近似式。

γ≒(ln 2)/2+(ln 10)/10+(ln 163²)/163²=0.57721553…
2^5≒163/ln 163 に出てくる数字を使用すると ln (2^5*2*5)/(2*5)+(ln 163²)/163²  となる。
同様の数字を使用して  3 ln(2^5*2*5*2001)/√163=3.14159265358979301…  である。

2の自然対数の近似式。

ln 2≒(2/5)^(2/5)=0.693144…

 

素数を使用した e^π の近似式。

e^π≒23+13/(11*7)*5/(3*2)=10691/462=23.140692640…

 

初めは'+'で、途中から'+'と'-'が交互である調和級数。

π : (1/1+1/2+1/3+…+1/ 12+1/ 13-1/ 14+1/ 15-…+1/ 321-1/ 322)/1 = 3.141596796…
e : (1/1+1/2+1/3+…+1/128+1/129-1/130+1/131-…+1/1053-1/1054)/2 = 2.718281963…
φ : (1/1+1/2+1/3+…+1/ 71+1/ 72-1/ 73+1/ 74-…-1/2659+1/2660)/3 = 1.618033954…

途中まで10進数の数値そのもので構成した式。

π=3+1*4/15-9*2/(6*5)+(3+5){1/(5*7)+1/(9*11)+1/(13*15)+…}

 

e=2+7/18+28/(18*28)+4*5/90+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+…

近似式の作り方の例。

(2143/22)^(1/4)=3.14159265258… はラマヌジャンの式として有名であるが、この式を例に作成方法を示す。

ζ(4)=π⁴/90=1.0823232337… の値には規則的な部分がある。

π⁴=97.409091034… も同様である。0909 の部分とそれより前の部分を分数化すると

  9/990= 0.009090909…

97+4/10=97.4

従って  97+4/10+9/990=2143/22=97.409090909…   つまり π≒(2143/22)^(1/4)

初等的な計算のみを使用しているので、簡単に短時間で作成できる。

π と e , 2と奇数 の関係式。

π と e に i が加わると豊かな式になる。e^(πi)=-1 のように実数になる数字を探すと

         

 

 

i^(1/2)+i^(-1/2)=√2

i^(1/3)+i^(-1/3)=√3

i^(1/4)+i^(-1/4)=√(2+√2)

i^(1/5)+i^(-1/5)=(√(10+√20))/2

i^(1/6)+i^(-1/6)=(√2+√6)/2

 

iは含まないが似た形式で、無理数が消えて整数になる式がある。

(√3-√2)^2+(√3-√2)^(-2)=10

 

          目次